2023-2024学年新疆阿勒泰地区高二下学期期末联考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年新疆阿勒泰地区高二下学期期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={0,1,2},B={3,m}，若A∩B={2}，则A∪B=(

)A.{0,1,2,3} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{2,3}2.命题“∃x>0,x2+x−1>0”的否定是A.∀x>0,x2+x−1>0 B.∀x>0,x2+x−1≤03.已知z=1+i1−i，则z=A.2 B.1 C.224.某工厂的每月各项开支x与毛利润y(单位：万元)之间有如表关系，y与x的线性回归方程y=6.5x+a，则a=(

)x24568y3040605070A.17.5 B.17 C.15 D.15.55.随机变量X∼N1,σ2(σ>0)，若P(1<X<2)=0.2，则A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.46.已知等差数列an的前15项之和为60，则a3+A.4 B.6 C.8 D.107.某市人民政府新招聘进5名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，每人只去一个部门，若教育部门必须安排2人，其余部门各安排1人，则不同的方案数为(

)A.52 B.60 C.72 D.3608.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的右支上有一点A,AF1A.2 B.6 C.7 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若两直线l1:a−1x−3y−2=0与l2:x−A.3 B.2 C.−2 D.110.下列函数求导正确的有(

)A.xsinx′=sinx−xcosx B.11.设m,n是不同的直线，α,β,γ是不同的平面，则下列说法不正确的是(

)A.若m//n，m//α，则n//α B.若m//α，m//β，则α//β

C.若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//β D.若α⊥β，α⊥γ，则β//γ12.已知数列an，bn中，an=2n+1,A.数列anbn的前4项和为226 B.(−1)nan的前100项和为100

C.1an三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.函数fx=2loga4x+1+1(a>014.若向量a，b的夹角为150∘，a=3，b=4，则15.2+1x(1−x)7的展开式中x16.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一，已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为2的圆形纸片，记为⊙O，在⊙O内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为⊙O1，并裁剪去该正方形内多余的部分(如图所示阴影部分)，记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作4次，最终得到该剪纸．则第4次裁剪操作结束后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为

．

四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)在锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a(1)求角A的大小；

(2)若a=7，b+c=10，求△ABC的面积．18.(本小题12分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=3，(1)求证：平面ACB1⊥(2)求直线AB与平面ACB119.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的方程；(2)过点F−43,0作斜率为32的直线交椭圆C于20.(本小题12分)某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450∼950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．(1)求a的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)现采用分层抽样的方式从分数落在550,650,750,850内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量X，求X21.(本小题12分)已知各项都不相等的等差数列an的前六项和为60，且a6为a1(1)求数列an的通项公式及前n项和S(2)若数列bn满足bn+1−bn=an，且b22.(本小题12分)已知函数f(1)若b=0，求函数y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)若b=2，求函数y=f(x)的极值;(3)讨论函数y=f(x)的单调性．

答案解析1.A

【解析】解：因为集合A={0,1,2},B={3,m}，若A∩B={2}，则m=2，即集合B={2,3}，所以A∪B=0,1,2,3故选：A2.B

【解析】解：根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即命题“∃x>0,x2+x−1>0”的否定为“故选：B．3.B

【解析】解：因为z=1+i所以z=1故选：B4.A

【解析】解：x−=2+4+5+6+85=5，y−=30+40+60+50+705=50．

因为y与x的线性回归方程为y=6.5x+a，

5.C

【解析】解：因为X∼N1,σ2所以P(0<X<1)=P(1<X<2)=0.2，则P(X<0)=P(X<1)−P(0<X<1)=0.5−0.2=0.3．故选：C6.C

【解析】解：∵S15=所以a3故选：C．7.B

【解析】解：

5

名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，

每人只去一个部门，人数分配为2,1,1,1，可得C5若教育部门必须安排

2

人，其余部门各安排

1

人，则可得C故选：B．8.C

【解析】解：

因为M是线段AF2的中点，且BM⊥AF又∠F1A设△ABF2的边长为m，由双曲线的定义知，AF所以AF又AF1−BF所以AF在△AF1F所以(2c即c=7a故选：C9.BC

【解析】解：若两直线l1:a−1则−a+1a−1−故选：BC．10.BC

【解析】解：(xsinx)′=sin(π+2)′=0lnx+x3x2+1x故选：BC11.ABD

【解析】解：对于A，若m//n，m//α，则n//α或n⊂α，故A错误；对于B，若α∩β=l，m//l，m⊄α,β，则l⊂α,β，从而有m//α，m//β，但不满足α//β，故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥β，m//n，所以n⊥α，因为α,β是不同的平面，所以α//β，故C正确；对于D，若α⊥β，α⊥γ，则β//γ或β与γ相交，故D错误．故选：ABD12.ABC

【解析】解：由数列an，bn中，对于A中，可得anbn=2n+1a1b1对于B中，由(−1)na则数列(−1)na(−1)na对于C中，由1a则1anan+1的前n项和对于D中，由log3b所以数列log3b故选：ABC．13.0,1

【解析】解：令4x+1=1，解得x=0，所以f0所以函数fx=2loga4x+1故答案为：0,1．14.7【解析】解：向量a，b的夹角为150∘，a=3则a+故答案为：715.7

【解析】解：(1−x)7的展开式通项公式当x=2时，T3当x=3时，T4故2+1x(1−x)7故答案为：716.15−15π【解析】解：第i次剪去正方形内多余部分的面积记为Si因为⊙O的半径为2，由其内接正方形对角线为直径，所以内接正方形的边长为2即a1=22，再作第一个内切圆所以第一次剪去部分的面积为S1同理：a2=2Ra3=2Ra4=2R所以前四次裁剪操作中裁剪去除部分的面积之和为：S1故答案为：15−15π17.解：(1)由2asinB=3b，

利用正弦定理得：2sinAsinB=3sinB，

∵sinB≠0，

∴sinA=32，又A为锐角，

则A=π3【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及三角面积公式，考查学生的思维转换能力，属基础题．

(1)由正弦定理，得到2sinAsinB=3sinB，根据角A为锐角，即可求出答案；

18.解：(1)证明：在直三棱柱中，AC⊥CC1，

∵AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，

又BC∩CC1=C，BC⊂平面CBB1C1，CC1⊂平面CBB1C1，

∴AC⊥平面C1CBB1，又AC⊂平面ACB1，

∴平面ACB1⊥平面C1CBB1；

(2)连接BC1交B1C于O，连接OA，

∵四边形【解析】本题考查了面面垂直的判定以及直线与平面所成角的计算，属于中档题

(1)先证得AC⊥CC1，AC⊥BC，即可得AC⊥平面C1CB19.解：(1)依题意得：c=1∵e=ca，即1∵b2∴椭圆C的方程为x(2)如图所示：

设Px1,y1所以x则k又P,Q两点在椭圆x2a两式相减可得x1y1−y过点F−43,0斜率为因为Mx0,y联立①②，解得x所以PQ中点坐标为−1,1【解析】(1)根据抛物线的焦点求出c的值，然后由椭圆的离心率计算a，再由平方关系得到b，可写出椭圆的方程；(2)设P,Q,M的坐标，点差法计算出坐标之间的关系，再根据中点所在直线可求出点的坐标．20.解：(1)由题意知100×0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001解得a=0.0035，样本平均数为x=500×0.15+600×0.35+700×0.25+800×0.15+900×0.10=670由于100×0.0015+0.0035=0.5，故中位数众数600．(2)由题意，从550,650中抽取7人，从750,850中抽取3人，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3．PX=k所以随机变量X的分布列为：X0123P3563211随机变量X的数学期望EX【解析】(1)由频率分布直方图中频率和为1可求得a，由频率分布直方图数据求解(2)由频率分布直方图知从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3，求出各概率得分布列，然后由期望公式得期望；21.解：(1)设等差数列an的公差为d(d≠0)则6解得d=2a∴S(2)由bn+1∴bb==n−15+2n+12+3=nn+2∴b∴T=1

【解析】(1)根据等差数列的前n项和公式及等比中项的概念，可建立首项和公差的方程组，解出首项和公差，写出通项公式及前n项和；(2)因为bn+1−bn=22.解：(1)因为b=0，所以f(x)=所以f′xf′∴函数y=f(x)在x=1处的切线方程为：y−1=x−1,即y=x．(2)若b=2，则fxf′x令f′x=0，所以当x>2时,f′x>0，fx当