2023-2024学年四川省绵阳市高二下学期期末教学质量测试数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省绵阳市高二下学期期末教学质量测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知首项为−1的数列{an}，满足an+1A.a1=a4 B.a1<2.已知(x+1)7=a0A.32 B.64 C.127 D.1283.现有3名学生，每人从四大名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》中选择一种进行阅读，每人选择互不影响，则不同的选择方式有(

)A.34种 B.43种 C.C43种4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a4A.32 B.64 C.84 D.1085.已知y=f′(x)为函数f(x)的导函数，如图所示，则f(x)的大致图象为(

)

A. B.

C. D.6.某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为13.若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为(

)A.527 B.427 C.8817.某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有(

)A.48种 B.36种 C.24种 D.18种8.已知函数f(x)=x2−ax+1,x⩽0(a−1)x+lnx+1,x>0图象与xA.[−2,+∞) B.(−1,0)

C.(−∞,−2]∪[0,+∞) D.(−1,+∞)∪{−2}二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.庚续绵延鱼水情，军民携手谱新篇，绵阳市开展双拥百日宣传活动.某中学向全校学生征集“拥军优属，拥政爱民”主题作文，共收到500篇作品，由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X(单位：分)近似服从正态分布N(75,σ2)，且及格率为80%，则下列说法正确的是A.随机取1篇征文，则评分在[60,90)内的概率为0.6B.已知优秀率为20%，则m=90

C.σ越大，P(X≥75)的值越小D.σ越小，评分在(70,80)的概率越大10.已知A，B分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列结论一定成立的是(

)A.P(B|A)=P(B|A)B.P(B|A)+P(B|A)=P(A)

C.若11.已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1A.a3=−52 B.数列{a2n−2}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x−1213.已知随机变量X的分布列如表：X−112Pm1n若E(X)=0，则σ(3X−1)=

．14.若存在非负实数a，b满足ea+4b≤4eab(e为自然对数的底数)，则a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹雳舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛.设校队中女生人数为X．(1)求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种?(2)求X的分布列及均值．16.(本小题15分)已知函数f(x)=x(1)讨论f(x)的极值点;(2)当0≤a≤2时，是否存在实数a，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出a的所有值;若不存在，请说明理由．17.(本小题15分)已知数列{an}满足a13+a23(1)求数列{an}，(2)若cn=bnan，求数列{18.(本小题17分)已知函数f(x)=lnx+(1)若a=2，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)无零点，求实数a的取值范围;(3)若存在x∈[1,+∞)，使得f(x)≥x−alnx−1成立，求实数a19.(本小题17分)已知新同学小王每天中午会在自己学校提供A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8;如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复．(1)求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率;(2)求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率P(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qi，i=1，2，⋯⋯，n，则E(i=1nXi)=i=1nqi.答案解析1.A

【解析】解：因为an+1=1−1an，a1=−1，

所以a2=1−1a1=2，

a32.D

【解析】解：在(x+1)7=a0+a1x+a23.B

【解析】解：每名同学都有4种不同的选择，每人选择互不影响，

所以3名同学不同的选择方式有4×4×4=43种.

故选4.C

【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，则2a3+a6=3a1+9d=3a5.D

【解析】解：由导数图象可知，f′x≥0，所以函数单调递增，故排除B；

并且f′0=0，故排除6.D

【解析】解：设建议栽种乙树木的人数为随机变量X，

由题意可知X∼B(4,13)，

所以至少有3人建议栽种乙树木的概率

P=C47.B

【解析】解：将5名学生分成三组，有两种分类方法：

若按2，2，1分组，甲乙两名同学同时去同一家公司实习，不同的安排方法有C31C32A22=18种；

若按3，1，1，分组，甲乙两名同学同时去同一家公司实习，不同的安排方法有C38.C

【解析】解：设函数gx=a−1x+lnx+1，

因此要函数gx的图象与x轴有交点，则直线y=a−1x+1与函数y=−lnx的图象有交点．

设直线y=a−1x+1与函数y=−lnx的图象相切于点Px0,y0，

则a−1=−1x0a−1x0+1=−lnx0，解得x0=1a=0,

因此由直线y=a−1x+1与函数y=−lnx的图象知：

要直线9.ABD

【解析】解：X∽N(75,σ2)，

P(0⩽X<60)=1−P(X>60)=1−0.8=0.2，

P(60⩽x<90)=1−2P(0⩽X<60)=0.6，故A正确；

P(0⩽X<60)=P(90⩽X⩽100)=0.2，则m=90，故B正确；

根据正态分布性质可得无论σ为何值，P(X≥75)的值均为0.5，故C错误；

根据正态分布密度曲线特点，数据集中在均值左右，σ越小，越稳定，曲线越瘦高，数据越集中，评分在(70,80)10.CD

【解析】解：A中，若A，B相互独立，则P(B|A)=P(B)，P(B|A)=P(B)，显然P(B|A)=P(B|A)不一定成立，故A错误；

B中：P(B|A)+P(B|A)=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故B错误；

C中：若P(B|A)=P(B)，A，B独立，则P(A|B)=P(AB)P(B)11.ABC

【解析】解：由已知可得an+1=14(3−cos⁡[(n+1)π])an−(−1)nn(2)1+cos(nπ)

={12an+n,n是奇数an−2n,n是偶数，所以a2=12a1+1=32，a3=a2−2×2=−52，故A正确；

a2n=12a2n−1+2n−1=12a12.−5【解析】解：展开式的通项为Tr+1=(−12)rC6rx3−r

令13.2【解析】解：由题意可得13+m+n=1−m+13+2n=0，解得m=59n=1914.4

【解析】解：由题意可知ab=0显然不成立，所以ab>0，由ea+4b≤4eab，两边同时取以e为底的对数，得a+4b≤ln(4eab)，

即a+4b≤ln4+1+12lnab，因为a，b都是非负实数，所以a+4b≥2a⋅4b=4ab，当且仅当a=4b时取等号，

所以4ab≤ln4+1+12lnab，即8ab≤2ln4+2+lnab，即8ab−lnab≤2ln4+2，令15.解：(1)高二年级至少2名同学入选校队包括以下情况：

高二年级仅2名同学入选校队有C42⋅C32=18种;

高二年级仅3名同学入选校队有C43⋅C31=12种;

高二年级4名同学入选校队有C44⋅C30=1种;

高二年级至少2名同学入选校队共有18+12+1=31种选法．

(2)由题意可知，随机变量X的取值为0，1，2，3，

校队由0个女生4个男生组成时，P(X=0)=C30C44C7X0123P112184

随机变量X的均值为：135×0+【解析】(1)根据高二年级同学人数分几种情况求解即可；

(2)易得随机变量X的取值为0，1，2，3，得出对应概率，可得X的分布列及均值．16.解：(1)f′(x)=(3x−a)(x+a)，

令f′(x)=0，则x1=a3，x2=−a，

 ①当a=0时，f′(x)=3x2≥0，所以f(x)为增函数，故f(x)无极值点;

 ②x(−∞,−a)−a(−a,a(f′(x)+0−0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

由此表可知f(x)的极值小点为a3，其极大值点−a;

 ③当a<0时，当x变化时，f′(x)及f(x)x(−∞,a(−a(−a,+∞)f′(x)+0−0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

由此表可知f(x)的极值小点为−a，其极大值点a3．

综上所述，当a=0时，f(x)无极值点;

当a>0时，f(x)的极值小点为a3，极大值点−a;

当a<0时，f(x)的极值小点为−a，其极大值点a3．

(2)假设存在实数a，使得在区间[0,1]的最小值为0，且最大值为1，

则∀x∈[0,1]，0≤f(x)≤1;

由已知可得，a≠0，则−a<0<a3≤23≤1，

由(1) ②可知，f(x)在区间[0,a3]上单调递减，在[a3,1]上单调递增，

∴f(x)min=f(a3)=a327+a⋅a29−a2⋅【解析】

(1)先求导，分a=0、a>0和a<0三种情况研究极值即可；

(2)由(1)得f(x)min=017.解：(1)由a13+a232+a333+…+an3n=n2，

可知当n=1时，a1=3;

当n≥2时，an3n=n2−(n−1)2=2n−1，

即an=(2n−1)⋅3n，其中a1=3也满足;

综上，an= (2n−1)⋅3n(n∈N∗).

又数列bn满足b1【解析】(1)分n=1和n⩾2两种情况讨论，当n⩾2时的等式与已知等式作差，可求得an3n=n2−(n−1)2=2n−1，检验n=1，即可求数列{18.解：(1)f(x)=lnx+2x−1，则f′(x)=1x−2x2=x−2x2，

∴切线斜率为：f′(1)=−1，

又f(1)=1，∴所求切线方程为x+y−2=0;

(2)令f(x)=0，则a=x−xlnx，

设g(x)=x−xlnx，则g′(x)=−lnx，

∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，

∴g(x)的最大值为g(1)=1，且x>e，g(x)<0，

∴要使f(x)在定义域上无零点，则a>1．

(3)令ℎ(x)=(a+1)lnx+ax−x(x≥1)，

则ℎ′(x)=a+1x−ax2−1=−(x−a)(x−1)x2，

 ①当a<1时，x−a>0，∴x∈[1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在[1,+∞)上单调递减，

此时，ℎ(x)max=ℎ(1)=a−1<0，不符合题意;

 ②当a=1时，∴x∈[1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在[1,+∞)上单调递减，

∴ℎ(x)≤ℎ(1)=0【解析】

(1)写出函数f(x)=lnx+2x−1，再利用导数求出切线的斜率，进而根据点斜式方程可得答案；

(2)令f(x)=0，则a=x−xlnx，设g(x)=x−xlnx，利用导数求出函数g(x)的最值，可得实数a19.解：设事件Ai表示：第i天中午去A餐厅用餐，

事件Bi:第i天中午去B餐厅用餐，其中i=1，2，⋯⋯．

(1)小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：

P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.8+0.5×0.4=0.6;

(2)设P(Bi)=Pi，依题可知，P(Ai)=1−Pi，P1=0.5，