《微波有源电路理论分析及设计》课件第1章

第一章微波网络基础1.1引言1.2微波网络的引入1.3采用等效电压和等效电流定义的网络参数1.4采用归一化入射波和归一化反射波定义的网络参数1.5不定导纳矩阵1.6不定散射矩阵1.7散射信号流图法

1.1引言

任何一个微波系统，都是由各种微波元件和微波传输线连接而成的。微波传输线的特性可以用广义传输线方程来描述，微波元件的特性可以用(类似于低频网络)等效电路来描述，于

是复杂的微波系统，就可以用电磁理论和低频网络理论相结合来求解，成为一门微波网络理论。微波网络理论以微波元件以及这些元件组合的系统为对象，研究它们的传输特性及其设计

和实现的方法。

1.2微波网络的引入

1.2.1微波传输线的电磁场方程

研究任意横截面的均匀微波传输线中的电磁场，应从麦克斯韦方程出发，在正弦交变场的作用下，假设其周围的空间是无源、线性、无耗、均匀的空间，其电场、磁场满足复数形式的麦克斯韦方程组：(1-1)

1.矢量磁位A，标量电位j，赫兹电矢量P

由麦克斯韦方程组得知∇·B=0，由于B=mH，所以∇

·H=0。在矢量分析中，任意一个矢量旋度的散度恒等于零，即∇

·∇×A≡0，则H=∇×A，我们将A称为矢量磁位，它具有任意性。由麦克斯韦方程组又可以得知∇×E=－jwmH=－jwm∇×A，可将此式写成如下形式∇×(E+jwmA)=0，由矢量恒等式得知∇×∇j≡0，则E+jwmA=－∇

j，j称为标量电位，负号的来源是为了与静电场取得一致。由此可以看出，求解电场、磁场的问题可以转化为求解矢量磁位A和标量电位j的问题。那么矢量磁位A和标量电位j满足什么方程呢？由麦克斯韦方程组得知∇×H=jweE，将上面分析中得到的E和H表达式代入此式可得∇×∇×A=jwe(－∇j－jwmA)，由矢量恒等式得令(∇·A+jwej)=0，并称为洛仑兹条件。洛仑兹条件给出了A和j之间的关系，使得矢量磁位A有了唯一的定义。则

(1-2)

矢量磁位A满足赫姆赫兹方程。由麦克斯韦方程组还得知∇·D=0，而D=eE，所以∇·E=0，将E=－jwmA-∇j代入得

∇

·(－jwmA－∇j)=0，则可得

将洛仑兹条件代入上式可得

(1-3)由以上分析可以得出矢量磁位A和标量电位j同时满足赫姆赫兹方程。我们知道H=∇×A，由麦克斯韦方程组知∇×H=jweE，则式中，，我们称其为赫兹电矢量。它也满足赫姆赫兹方程

(1-4)

小结：由∇·B=0引入矢量磁位A，由∇×E=－jwmH引入标量电位j，由∇×H=jweE证明A满足赫姆赫兹方程并给出A的唯一条件——洛仑兹条件，由∇·D=0证明标量电位j满足赫姆赫兹方程，最后定义了赫兹电矢量Pe，它也满足赫姆赫兹方程。经过分析可以得到如下结论：求解电磁场的问题可以转化为求解赫兹电矢量Pe的问题，在以后的分析中我们可以看出，虽然赫兹电矢量Pe是一个矢量，但在大多数的应用中赫兹电矢量Pe只存在一个方向分量，也就是说在求解矢量方程时，不必求解三个方程而只求解一个方程即可，这样就可以简化其运算。

2.矢量电位Ae，标量磁位y，赫兹磁矢量Pm

由麦克斯韦方程组，依照上述方法同样可以定义出矢量电位Ae，标量磁位y，赫兹磁矢量Pm

，其结果为(1-5)

小结：由∇·D=0引入矢量电位Ae，由∇×H=jweE引入标量磁位y，由∇×E=－jwmH

证明Ae满足赫姆赫兹方程并给出Ae的唯一条件——洛仑兹条件，由∇·B=0证明标量磁位ψ满足赫姆赫兹方程，最后定义了赫兹磁矢量Pm

，它也满足赫姆赫兹方程。经过分析可以得到如下结论：求解电磁场的问题可以转化为求解赫兹磁矢量Pm的问题，在以后的分析中可以看出，虽然赫兹磁矢量Pm是一个矢量，但在大多数的应用中赫兹磁矢量Pm只存在一个方向分量，也就是说在求解矢量方程时，不必求解三个方程而只求解一个方程即可。1.2.2传输线中电磁场的一般表达式

(1)在广义的柱坐标(u，v，z)下，令，而

，则(1-6)

(2)在广义的柱坐标(u，v，z)下，令而

同理可证(1-7)

(3)在直角坐标系，令赫兹电矢量解

可得(1-8)

(4)在直角坐标系，令赫兹磁矢量解

可得(1-9)

(5)在直角坐标系下，我们从麦克斯韦方程组出发把求解横磁波(TM波)转化为求解标量电位j的问题，把求解横电波(TE波)转化为求解标量磁位y的问题。标量电位f和标量磁位y均满足赫姆赫兹方程(1-10)由标量电位j和标量磁位y可直接计算出电磁场各分量。(1-11)1.2.3广义传输线方程

求解传输线中的电磁场时，不论哪一种模式都必须求解赫姆赫兹方程

(1-12)

在广义坐标系下令P(u，v，z)=f(u,v)Z(z)，而Z(z)=Be－gz，而g2=k2t－k20，则

(1-13)对于TM模，(1-14)对于TE模，(1-15)波印廷矢量

由该表达式看出，功率(能量)的传输取决于横向电场和横向磁场，而纵向电场和纵向磁场对于能量传输没有贡献。我们知道在低频电路中功率(能量)的传输取决于电压和电流，而电压和电流是沿着z方向传输的。因此我们仿照低频电路来定义等效的电压和等效的电流。令(1-16)根据波印廷定理，传输功率为

(1-17)

令称为模式矢量函数归一化条件，则

(1-18)

我们所得到的结果与电路理论的结果是一致的。而z点处的阻抗为

(1-19)1.2.4模式展开

在求解赫姆赫兹方程时，横向波数有很多个解ktn，一个ktn对应一个电磁场模式，与之对应存在一个传输常数gn，故波函数(赫兹矢量)也有很多个解，其总的波函数为

(1-20)

所以

(1-21)

传输功率

(1-22)

该式表明多模传输线可用多模单端口网络(以模式来划分端口)来表示，如图1-1所示。图1-1多模单端口网络示意图

图1-1中［U］和［I］分别为1.2.5单端口网络的电压、电流与电磁场的关系

如果在均匀微波传输线的一端接入负载或其它微波元件，如图1-2所示，则要引入不连续性，激励起高次模，产生反射。如果传输线只能传输单一主模，则高次模是一衰减模，在离开不连续性不远的位置高次模就被衰减得很小，可以忽略。于是传输线上只存在一个入射波和一个反射波，两者模式相同，横截面上场分布一样。可以把这种微波电路看成一段传输线端接一个集总元件负载，传输线是输入端口，故称为单端口网络。下面从电磁场理论出发研究单端口网络的特性。图1-2单端口网络等效关系示意图研究单端口网络的特性时，首先要在输入传输线上取一个参考面(即输入传输线的某一个横截面)，然后研究从参考面向负载看进去的电磁场能量的变化，从而得到它的等效电路。在图中我们做一个包括参考面在内的封闭曲面S把负载包围起来，除了输入端口的参考面上存在电磁场外，其余面上电磁场均为零。在封闭曲面所包围的体积内，麦克斯韦方程组中的两

个旋度方程为(1-23)式中s是介质的电导率，作如下等式(1-24)将上式在体积内进行体积分，并应用高斯定理把体积分变成面积分，可得(1-25)将电场强度和磁场强度用模式电压和模式电流来表示，

可得

所以(1-26)(1-27)

对于单模传输线U=IZ，所以(1-28)若单模传输线采用I=YU，那么(1-29)

1.3采用等效电压和等效电流

定义的网络参数

任何具有两个端口的微波元件，都可以看成微波双端口网络，如图1-3所示。图1-3双端口网络等效电压和电流规定方向示意图1.3.1阻抗参数和阻抗矩阵

如上所述，我们所研究的微波网络是线性的，等效电压

与等效电流的关系也是线性的，其电压和电流的方向如图1-3所示，它们之间的关系可以用一线性方程组来表征。(1-30)把上式写成矩阵的形式(1-31)

1.阻抗参数的特性

(1)若微波网络是互易网络(在微波网络中没有各向异性介质，即e或m不是张量，而是一个实数或复数，则这个网络称为互易网络)，则该网络阻抗参数满足

证明互易网络的特性应从电磁场理论出发来证明。

在各向同性的媒质中，电磁场满足互易定理(洛仑兹定理)，即

Ea、Eb、Ha、Hb是两个同频，不同模式或不同场源发出的电磁波。由网络中E、H与U、I的关系得知将上面两式代入电磁场互易定理的表达式，可得

当n＝2时则

(2)若网络在结构上是对称的，则该网络称为对称网络。对称网络阻抗参数满足

Z11=Z22

(3)若网络没有损耗，则称该网络为无耗网络。无耗网络阻抗参数满足

Zij=jXij

i=1，2

j=1，2

也就是说阻抗参数为纯虚数。

证明根据能量守恒定理来证明。

由1.2节的分析得知对于双端口网络

由于是无耗网络，所以Pd=0，上式可以改写成

将上式写成矩阵形式

式中［I］+称为哈密顿共轭矩阵，即矩阵的转置共轭。根据阻抗矩阵的关系［U］=［Z］［I］，则上式可写成

将阻抗矩阵实部和虚部分开则实部与实部相等，虚部与虚部相等可得要使上式恒等于零，必须使得R11=R22=R12=R21=0，所以

因此无耗网络满足

证明完毕。

2.阻抗参数的归一化

在微波电路中电压和电流是等效的，求解阻抗的方法有三种：一是用等效的电压和电流之比来求出其阻抗，即

二是用功率和电压来确定其阻抗，即三是用功率和电流来确定其阻抗，即用这三种方法确定的阻抗在数值上是不相等的，它们之间相差一个常数。为了避免采用不同方法所确定的阻抗不一致，在微波电路中常常使用归一化的概念。即各端口的电压、电流和阻抗均对其本身的特性阻抗归一化，得到的双端口网络称为归一化的双端口网络。在归一化双端口网络中要保证在归一化过程中传输功率不变，即(1-32)所以规定式中：大写的字母为未归一化值，小写的字母为归一化值，Z01为端口1的特性阻抗，Z02为端口2的特性阻抗。将归一值与未归一值之间的关系写成矩阵形式，可得(1-33)可以导出归一化阻抗参数矩阵与未归一化阻抗参数矩阵之间的关系：(1-34)称为归一化阻抗矩阵，其参数称为归一化阻抗参数。归一化阻抗参数与未归一化阻抗参数的关系为(1-35)

3.阻抗参数的求法

阻抗参数的含义是端口开路时(也就是端口电流等于零时)，端口的自阻抗或端口间的互阻抗。因此可以认为阻抗参数是开路参数，可用开路法来求解。如一个并联的阻抗(如图1-4所示)，其阻抗参数求法如下：

根据定义

则其阻抗矩阵和归一化阻抗矩阵为(在大多应用场合Z01=Z02=Z0)

(1-36)图1-4并联阻抗电路示意图

4.推广到n端口网络

对于线性多端口微波网络(如图1-5所示)其等效电压与等效电流的关系仍然可以用线性方程组来表征。

(1-37)图1-5多端口网络阻抗参数示意图其多端口网络的阻抗矩阵为

(1-38)多端口阻抗参数的归一化方法与双端口网络阻抗参数归一化方法一样，多端口网络归一化阻抗矩阵为

(1-39)

5.阻抗矩阵的应用举例

例1-1分析两个网络串联(如图1-6(a)所示)组成的电路时，如晶体管串联反馈电路(如图1-6(b)所示)，应该采用阻抗参

数矩阵，这是因为总的阻抗参数矩阵等于两个网络阻抗参数矩阵之和，即图1-6网络串联示意图(a)网络串联；(b)晶体管串联反馈电路1.3.2导纳参数与导纳矩阵

我们所研究的微波网络(如图1-7所示)是线性的，其等效电流与等效电压的关系也是线性的，它们之间的关系可以用一线性方程组来表征。

(1-40)

将其写成矩阵形式

(1-41)图1-7双端口网络等效电流和电压规定方向示意图矩阵［Y］具有导纳量纲，我们称其为导纳矩阵，导纳矩阵各元素称为导纳参数。

(1-42)

1.导纳参数的特性

(1)若两端口网络是互易网络，则Y12=Y21。

(2)若两端口网络是对称网络，则Y11=Y22。

(3)若两端口网络是无耗网络，则Yi,j=jBi,j(导纳参数为纯

电纳)。

2.导纳参数的归一化

与阻抗参数归一化一样，可以求出归一化的导纳参数。

(1-43)

(1-44)阻抗矩阵与导纳矩阵的关系为

(1-45)

3.导纳参数的求法

由于导纳参数是短路参数，所以导纳参数的求法采用短路法。如一个串联的导纳组成的双端口网络(如图1-8所示)，根据导纳参数的定义可得图1-8串联导纳电路示意图该网络的导纳矩阵为

(1-46)

该网络的归一化导纳矩阵为

(1-47)

4.推广到n端口网络

导纳参数和导纳矩阵与阻抗参数和阻抗矩阵一样可以推广到n个端口的情形(如图1-9所示)，其导纳矩阵和归一化导纳矩阵为

(1-48)

(1-49)图1-9多端口网络导纳参数示意图

5.导纳矩阵的应用举例

例1-2分析两个网络并联(如图1-10(a)所示)组成的电路时，如晶体管并联反馈电路(如图1-10(b)所示)，应该采用导纳参数矩阵，这是因为总的导纳矩阵等于两个网络导纳矩阵之和，即图1-10网络并联示意图(a)网络并联；(b)晶体管并联反馈1.3.3采用输入量与输出量定义的网络参数——转移参数矩阵

如果我们所研究的微波网络(如图1-11所示)是线性的，则端口1的等效电压和等效电流与端口2的等效电压和等效电流的关系也是线性的，它们之间的关系可以用一线性方程组来表征。

(1-50)

将其写成矩阵形式

(1-51)图1-11双端口网络转移参数等效电流和电压规定方向示意图矩阵［A］称为转移参数矩阵，也称为A矩阵，转移参数矩阵各元素称为转移参数，也称为A参数。

(1-52)

1.转移参数的特性

(1)若两端口网络是互易网络，则转移参数矩阵的行列式等于1。

证明由定义得知

1端口开路时，I1=0，则化简此式可得互易网络的阻抗参数满足Z21=Z12，则

所以

证明完毕。

(2)若两端口网络是对称网络(必须是互易网络)，则A11=A22。

(3)若两端口网络是无耗网络，则A11、A22为纯实数，

A12、A21为纯虚数。

2.转移参数的归一化

在归一化双端口网络中式中大写的字母为未归一化值，小写的字母为归一化值。将它们写成矩阵形式，可得

(1-53)

(1-54)归一化转移参数矩阵［a］为

(1-55)在大多数实际应用中Z01=Z02=Z0，所以

(1-56)

3.转移参数的求法

由于转移参数是开路短路参数，所以转移参数的求法采用开路短路法。如一个串联的阻抗组成的双端口网络(如图1-12

所示)，根据定义其转移参数为图1-12串联阻抗网络转移参数示意图一个串联的阻抗组成的双端口网络，其转移参数矩阵为

(1-57)

归一化转移参数矩阵为

(1-58)

下面给出几种常用基本电路的转移参数矩阵和归一化转移参数矩阵，如表1-1所示。

4.推广到n端口网络

转移参数描述输入量与输出量之间的关系，将它推广到多端口网络时，该网络的端口数必须是偶数，也就是n为偶数，否则输入端口和输出端口就不好分了。将转移参数矩阵用到多端口网络，常见到的是四端口网络，端口再多就很少见到了。下面我们给出四端口网络(如图1-13所示)的转移参数矩阵

的表达式。

(1-59)图1-13多端口网络转移参数示意图其四端口网络的转移参数矩阵为

(1-60)

5.转移参数矩阵的应用举例

例1-3分析两个网络级联组成的电路时，如π型或T型电路(如图1-14所示)，应该采用转移参数矩阵，这是因为总的转移参数矩阵等于两个网络转移参数矩阵之乘积，即

(1-61)图1-14网络级联示意图(a)网络级联；(b)网络级联

1.4采用归一化入射波和归一化

反射波定义的网络参数

1.4.1归一化入射波和归一化反射波的概念

根据传输线理论得知，传输线上任意点的电压等于入射波电压和反射波电压之和，而电流等于入射波电流与反射波电流之差，即

(1-62)入射波电压和入射波电流的解可以写成如下形式

(1-63)

特性阻抗的定义为

(1-64)入射波的功率为

(1-65)

反射波电压和反射波电流的解可以写成如下形式

(1-66)用反射波定义特性阻抗为

(1-67)

反射波的功率为

(1-68)特性阻抗归一化

(1-69)

定义归一化电压和归一化电流

(1-70)则归一化入射波电压和归一化反射波电压为

(1-71)

则归一化入射波电流和归一化反射波电流为

(1-72)传输线上任意点的归一化电压等于归一化入射波电压和归一化反射波电压之和，而归一化电流等于归一化入射波电流与归一化反射波电流之差，即

(1-73)

电压和电流归一化后应保持传输功率不变

(1-74)

因为所以u+=i+，又因为

所以u－=－i－

令

归一化入射波a=u+=i+，归一化反射波b=u－=－i－所以归一化电压u=a+b，归一化电流i=a－b，则

(1-75)

反射系数

(1-76)1.4.2归一化入射波和归一化反射波定义散射参数和散射

矩阵

在线性的双端口网络中归一化电压与归一化电流间的关系是线性关系，故由它们导出的归一化反射波与归一化入射波(如图1-15所示)也应该是线性的，因此各端口上的归一化反射波与归一化入射波可用线性方程组来表征：

(1-77)图1-15双端口网络散射参数归一化入射波和反射波方向示意图将它们写成矩阵形式

(1-78)

1.散射参数的特性

(1)若两端口网络是互易网络，则S12=S21，该特性可由电磁场互易定理获得证明。

(2)若两端口网络是对称网络，则S11=S22。

(3)若两端口网络是无耗网络，则满足么正性，即[[S]]T［S］=［1］。

证明网络是无耗的，则根据能量守恒定理输入的功率等于输出功率，即

网络的输入功率

网络的输出功率

所以

将绝对值符号去掉，并将a和b分开，可得

将上式写成矩阵形式

因为将上式代入可得

化简上式可得

证明完毕。网络的么正性反映出无耗网络的能量守恒，将［［S］］T［S］=［1］展开由此可得无耗网络满足的线性方程组

(1-79)上式中最后两式不是互相独立的，将其中一式取共轭，即可得到另一个。对于无耗互易网络，S12=S21，于是上式就变成

(1-80)由前两个方程给出反射功率与传输功率之和等于1，说明能量守恒，并且由前两个方程可得

(1-81)

令

并代入式(1-80)第三个式中，则得可以导出

即

(1-82)

这说明第三个方程给出了散射参数之间的相位关系。

2.散射参数的求法

由于散射参数是匹配参数，所以其求法采用匹配法，即终端接一个阻抗等于1的负载，如图1-16所示。下面用一个串联阻抗网络来说明其求法。图1-16串联阻抗网络散射参数示意图

2端口接一个匹配负载，所以

因为

可得

其解所以

同样在网络1端口接上匹配负载可以求出所以，串联阻抗网络的散射参数矩阵为

(1-83)

3.推广到n端口网络

若多端口网络(如图1-17所示)是线性网络，则归一化反射波与归一化入射波的关系是线性的，就可以用线性方程组来表征，它们的关系为

(1-84)图1-17多端口网络散射参数示意图写成矩阵形式

(1-85)式中

(1-86)

4.散射参数和散射矩阵的应用

1)两端口网络终端接一负载时的反射系数

例1-4一个两端口网络终端接一个反射系数为ΓL的负载，如图1-18所示，求其输入端的反射系数Γin。图1-18两端口网络终端接一负载示意图两端口网络归一化反射波与归一化入射波的关系为

b2是网络2端口的归一化反射波，但是负载的归一化入射波，而a2是网络2端口的归一化入射波，但是负载的归一化反射波，所以将该式写成并代入第二个方程，可得将上式代入第一个方程，可得

(1-87)

2)两端口网络级联时的散射矩阵

例1-5两个两端口网络级联，如图1-19所示，求其总的散射矩阵［S］。

第一个网络的归一化反射波与归一化入射波的关系是

第二个网络的归一化反射波与归一化入射波的关系是图1-19两个两端口网络级联示意图将其级联后总的网络的归一化反射波排在前面，将其内部相连接端口的归一化反射波排在后面，按照此方法把上面两个方程组重新组合排列可得写成矩阵形式

为了求解方便，将上式写成分块矩阵的形式由图可以看出，内部接口归一化反射波与归一化入射波

的关系是b2=a1′，b1′=a2，将此关系写成矩阵形式

此矩阵称为关联矩阵。将关联矩阵代入分块矩阵方程组第二个方程，可得化简此方程可得将化简结果代入分块矩阵方程组第一个方程，可得级联后总的网络的散射参数矩阵为

因为所以

(1-88)因此级联后新的双端口网络的散射参数为

(1-89)

3)多端口网络任意连接时的散射矩阵

例1-6在微波网络系统的分析中，散射矩阵广为应用。如果已经分析或测量求得各个网络的散射函数，而要确定组合网络的散射矩阵，一种可行的方法是把每个网络的散射矩阵转换为导纳矩阵(或阻抗矩阵，或转移矩阵)，然后根据拓扑连接，求得组合网络的导纳矩阵(或阻抗矩阵，或转移矩阵)，最后再转换成散射矩阵。这种矩阵多次转换很繁琐，应用也不方便。图1-20表示数个多端口网络按任意连接方式组成的一个

n端口网络，各相互连接端口具有相同的特性阻抗。若已知各个网络的散射矩阵参数，且任一个连接都不改变这些网络的矩阵参数，则分析的任务在于直接求解相互连接后的组合网络的散射矩阵。图1-20微波网络的任意连接为了导出组合网络的散射矩阵，首先需要对各个网络端口进行统一的编号。设各单个网络端口数目总和为n+m，其中端口1到端口n是不相互连接的端口，它们构成组合网络的外部端

口；端口n＋1到端口n+m是一对一相互连接的端口，连接方式是n＋1端口与n＋2端口级联，n＋3端口与n＋4端口级联，以此类推，最后是n+m－1端口与n+m端口级联。显然m必定为

偶数。在端口统一编号后，假定所有内连端口全部都未连接，则组成一个n+m端口网络。当按外部端口和内部连接端口分块组合，则此n+m端口网络的散射矩阵称为联合散射矩阵，以Sc表示，其关系为

(1-90)写成向量形式

b=Sca

(1-91)

由于网络尚未连接，各个网络端口相互隔离。因此，在联合散射矩阵Sc中，除仅含有各单个网络散射矩阵参数外，其余元素均为零。把联合散射矩阵Sc写成分块矩阵的形式

(1-92)

其中用下标e代表一组外部端口，下标r代表一组内连端口；be、ae为n元列阵，br、ar为m元列阵，即

(1-93)而See是n阶方阵，Srr是m阶方阵，Ser是n×m阶矩阵，Sre是m×n阶矩阵，即

(1-94)

(1-95)把所有内连端口连接起来，注意级联端口处的连接条件是写成矩阵形式

写成向量形式

br=Aar

(1-96)矩阵A是m阶方阵，称为关联矩阵。该矩阵中的元素是由

0或1构成的，它表示对应端口相互连接的情况。

将(1-92)式按分块矩阵展开后得

把(1-96)式代入上式中的第二方程中可得然后再把上式代入第一个方程可得

be=(See+Ser(A－Srr)－1Sre)ae

即有

be=Sae

其中

S=See+Ser(A－Srr)－1Sre

(1-97)

(1-97)式就是组合网络的散射矩阵。由于组合网络内部相连端口已被消除，所以组合网络的散射矩阵是不相连接端口的n阶方阵。1.4.3传输参数和传输矩阵

在线性双端口网络(如图1-21所示)中，若把1端口归一化入射波a1和1端口归一化反射波b1作为输入量，而把2端口归一化反射波b2和2端口归一化入射波a2作为输出量，则输入量与输出量的关系可以用一个线性方程组来表征

(1-98)图1-21双端口网络传输参数归一化入射波和反射波方向示意图写成矩阵形式

(1-99)

矩阵［T］称为传输矩阵，传输矩阵中的各元素称为传输参数。由线性方程组可以看出，传输参数是在a2=0或b2=0条件下定义的，除了T11是2端口匹配时，1端口向2端口传输系数的倒数外，其它没有明确的物理含义。对于互易网络其特性为

(1-100)

对于对称互易网络其特性为

(1-101)传输矩阵主要用来计算网络级联的参数，如图1-22所示，两个级联网络，它级联后总网络的传输矩阵等于两个网络各自传输矩阵的乘积。

(1-102)图1-22双端口网络级联传输参数示意图对于n个双端口网络的级联，则有

(1-103)

下面给出几种常用基本电路的散射参数矩阵和传输参数矩阵，如表1-2所示。1.4.4双端口网络的各种参数间的互换

1.［S］与［z］的关系

因为故有

由此可求得

(1-104)

2.［S］与［y］的关系

因为故有

由此可求得

(1-105)

3.［S］与［a］的关系

因为

可得上面两式相加可求得a1，上面两式相减可求得b1

根据S参数的定义可得

(1-106)同样的方法可以求得用散射参数表示的转移参数。

(1-107)

4.［S］与［T］的关系

因为按照传输参数的定义可以求得

(1-108)

反之可得

(1-109)1.4.5网络参数综合应用举例

例1-7一段传输线的阻抗参数，如图1-23所示。图1-23传输线阻抗参数示意图由传输线理论得知

U1=cosθU2+jZ0sinθ(－I2)

I1=jY0sinθU2+cosθ(－I2)

当2端口开路时，I2=0，则

U1=cosθU2

I1=jY0sinθU2此时

当1端口开路时，I1=0，则此时由于代入第一个方程可得

所以传输线是互易网络，所以一段传输线的阻抗矩阵为

(1-110)

例1-8一段传输线的导纳参数，如图1-24所示。

由导纳参数矩阵得知图1-24传输线导纳参数示意图所以

(1-111)

例1-9分支线桥的转移参数矩阵的求法。

分支线电桥是一个四端口网络，它由两根归一化特性导纳为H的四分之一波长竖形传输线和两根归一化特性导纳为K的四分之一波长横形传输线组成，如图1-25所示。把分支线桥看成由三个基本的四端口网络级联构成，如图1-26所示。图1-25微带型分支线电桥示意图图1-26分支线电桥分解成三个部分示意图总的转移参数矩阵为

我们讨论的转移参数矩阵是按电压、电流排列的，1端口和2端口是输入端口，而3端口和4端口是输出端口，即

(1-112)

(1)［a1］的求法。把四分之一波长竖形传输线等效为四端口网络(如图1-27所示)，当3端口和4端口开路时，I3=I4=0，上述方程组变为图1-27四分之一波长竖形传输线等效为四端口网络示意图当3端口和4端口开路时，I3=I4=0，同时U1=U3，U2=U4，由方程(1-113)和方程(1-114)得知a11=a22=1，a12=a21=0。方程

(1-115)和方程(1-116)就是归一化特性导纳为H，电长度为θ

的一段传输线的归一化导纳矩阵(归一化导纳参数)，如图1-28所示。图1-28竖形传输线等效电路根据传输线理论得知

(1-117)

(1-118)由(1-117)式可得

(1-119)

则

(1-120)式(1-115)、(1-116)与式(1-119)、(1-120)比较可得

当3端口和4端口短路时，U3=U4=0，上述方程组变为当3端口和4端口短路时，U3=U4=0，同时U1=U2=0，由方程(1-121)和方程(1-122)得知a13=a14=0，a23=a24=0。此时I1=I3，I2=I4由方程(1-123)和方程(1-124)可以得知a33=a44=1，a43=a34=0。则该端的四端口转移参数矩阵为

(1-125)

(2)［a2］的求法。该段实际上是两段相互独立，归一化特性导纳为K，长度为θ的传输线，如图1-29所示。图1-29两段横形传输线等效电路输入量与输出量之间的关系为方程(1-126)与方程(1-128)对应着第一根传输线，方程

(1-127)与方程(1-129)对应着第二根传输线。长度为θ的一段

传输线，输入量与输出量之间的关系为

(1-130)上式进行比较可得则该端的四端口转移参数矩阵为

(1-134)

(3)总［a］的求法。

［a］=［a1］［a2］［a1］(1-135)

(1-136)若传输线的电长度为θ=π/2，sinθ=1，cosθ=0，tanθ=∞，则

(1-137)

例1-10分支线桥的散射参数矩阵的求法。

(1)偶模和奇模分析方法。以分支线桥为例来说明偶模和奇模的分析方法。

如图1-30所示，对称面0—0′在实际应用中不是磁壁就是电壁，所以分支线桥可以看成对称面0—0′为磁壁情况和对称面0—0′为电壁之和，这样一来就变成两个独立的双端口网络，这样的双端口网络它的转移参数矩阵是可以求出的。图1-30分支线桥偶模和奇模分析方法示意图在第一端口输入归一化入射波为a1=，在第二端口输入归一化入射波为a2=，则对称面0—0′为磁壁(相当于开路)，所对应的模式称为偶模。在第一端口输入归一化入射波为a1=，在第二端口输入归一化入射波为a2=－，则对称面0—0′为电壁(相当于短路)，所对应的模式称为奇模。两种情况加起来，第一端口输入归一化入射波为a1=1(归一化波)，第二端口输入归一化入射波为a2=0，这就对应我们实际的使用情况。各端口的反射波可由偶模和奇模的反射系数和传输系数来确定。由图可知由于a1=1，所以

(1-138)

偶模和奇模的反射系数与传输系数，可由偶模和奇模的转移参数矩阵求出。这样S11、S21、S31、S41即可求出，再根据对称性和互易性就可以把全部S参数求出。

(2)利用偶奇模方法求解分支线桥的散射参数矩阵。根据偶奇模的分析方法，分支线桥可以画出如图1-31所示的等效电路，偶模的转移参数矩阵为

(1-139)图1-31分支线桥偶模和奇模的等效电路再根据归一化转移参数与散射参数之间的关系可以求出偶模的反射系数和偶模的传输系数。

(1-140)

(1-141)奇模的转移参数矩阵为

(1-142)再根据归一化转移参数与散射参数之间的关系可以求出奇模的反射系数和奇模的传输系数。

(1-143)

(1-144)由偶奇模分析方法得知

(1-145)所以b1、b2、b3、b4分别为

(1-146)

b1为1端口的归一化反射波，b2、b3、b4为1端口向2、3、4端口的传输波。对于分支线桥，希望b1=S11=0，即1端口无反射(因为a1=

1)，b2=S21=0，即2端口隔离，则可以求出1－K2+H2=0。此时b3=S31=－，b4=S41=－j。若希望端口3和端口4功率平分，则H=1，K=。也就是说竖形传输线的归一化特性导纳为1(非归一的特性阻抗为50Ω)，横形传输线的归一化特性导纳为(非归一的特性阻抗为35.36Ω)。此时b3=S31=－

b4=S41=－j。根据对称网络和互易网络的性质，分支线桥的理想散射参数为

(1-147)

例1-11利用分支线电桥构成功率合成模型的散射参数。

在放大器电路中，常常利用分支线电桥构成功率合成电路，来提高输出功率。图1-32就是一个利用分支线电桥进行功率合成的框图。为了分析方便，容易理解基本概念，我们假设分支线电桥和放大器都是理想的。图1-32分支线电桥构成功率合成器示意图理想分支线电桥的散射参数矩阵为

(1-148)理想放大器的散射参数矩阵为

(1-149)

我们先分析分支线电桥分别连接两个放大器后的散射参数，然后再分析两个四端口网络级联后总的散射参数矩阵。分支线电桥分别连接两个放大器的框图及标号如图1-33所示。图1-33分支线桥与功率放大器级联示意图根据散射参数级联的方法，我们先构造一个八端口网络，然后找出关联矩阵，最后化简矩阵，就可以求出新的四端口散射矩阵。

根据级联的方式首先构造一个八端口网络的散射参数矩阵

(1-150)将它写成分块矩阵的形式

(1-151)将方程(1-151)写成两个矩阵方程

(1-152)

(1-153)因为S31=S42=－，S32=S41=－j，其余均为零，所以方程(1-153)可以简化为

(1-154)由图可知，b3=a5，b4=a6，b5=a3，b6=a4，方程(1-154)可以写成下列形式

(1-155)将方程(1-155)重新排列可得

(1-156)在(1-152)式中，S11=S12=S21=S22=S77=S88=0，S13=S24=－，S23=S14=－j，S75=S86=K，所以方程(1-152)可以写成

(1-157)将方程(1-156)代入方程(1-157)可得

(1-158)上式就是分支线电桥与两个放大器连接后总的散射参数矩阵。它仍然是一个四端口网络，将此四端口网络与一个分支线电桥级联，组成一个新的四端口网络，其连接方式及标号如图1-34所示。图1-34分支线桥与放大器网络和分支线桥级联示意图分支线电桥及放大器网络总的散射参数矩阵为

(1-159)分支线电桥的散射参数矩阵为

(1-160)根据网络级联的基本原理，首先建立八端口网络的散射参数矩阵为

(1-161)写成分块矩阵的形式

(1-162)分解成两个矩阵方程

(1-163)

(1-164)因为

而则将参数代入方程(1-163)和方程(1-164)可得

(1-165)

(1-166)方程(1-165)可简化为

(1-167)方程(1-166)可简化为

(1-168)由于b3=a6，b4=a5，b5=a4，b6=a3，方程(1-168)可以改写为

(1-169)将方程(1-169)重新排列为

(1-170)将方程(1-170)代入方程(1-167)可得

(1-171)进行矩阵相乘可得总网络的散射参数矩阵

(1-172)

1.5不定导纳矩阵

设有一线性网络共有n个端点，每个端点与参考点P间接有电源，如图1-35所示。参考点P是在线性网络外部，不与网络直接连接，称为浮动点(浮地)。该线性网络构成n端网络，此

n端网络的导纳矩阵称为不定导纳矩阵。图1-35不定n端网络图1-36表示给定n个节点网络的局部电路，节点i和节点j之间的导纳用Yi，j或Yj，i表示，且Yi，j=Yj，i。当k节点与j节点(j=1，2，…，n－1而且k≠j)有支路相连时，此两节点间的导纳才能定为Yk，j，而与k节点不直接相连接的各节点l与k节点间的导纳应定为零，即Yk，l=0。图1-36

n个端点网络的局部电路在图1-36所示的电路结构中，根据克希霍夫电流定律可以写出k节点的电流方程

(1-173)

式中：Ik为流入k节点的外部电流，Vj为j节点的电位，Vk为k节点的电位。

(1-174)令

则

(1-175)全电路有n个端点，总计可以列出n个电流方程，写成矩阵形式

(1-176)

(1-177)

［Y］矩阵称为该网络的不定导纳矩阵，当网络有n个节点时，不定导纳矩阵［Y］是n×n矩阵。1.5.1不定导纳矩阵的性质

不定导纳矩阵有如下四个基本性质：

(1)不定导纳矩阵任一列的列元素之和等于零，即

(1-178)

证明：

根据克希霍夫电流定律得知

将上式展开为当各节点的电位(V1，V2，…，Vn)为任意值时，上式必定成

立，因此各项系数必定为零，即

(2)不定导纳矩阵任一行的行元素之和等于零，即

(1-179)

证明：

若各节点的电位都相等(V1=V2=…=Vn=V0)，即各节点之间无电位差，则此时各节点的电流都应为零，可得

由于V0≠0，所以

(3)不定导纳矩阵行列式值等于零，即

(1-180)

根据行列式的性质可知，若把不定导纳矩阵的第二行、第三行、直到第n行都加到第一行，则行列式值不变，但由不定导纳矩阵性质(2)得知第一行的各元素值为零，由行列式的性质得知，该行列式的值为零，所以不定导纳矩阵的行列式值为零。

(4)若网络第i个节点接地，则不定导纳矩阵降阶，转变为定导纳矩阵。

当网络第i个节点接地，则Vi=0，电流方程组中含有Vi的项均为零，因此不定导纳矩阵中的第i列消失。又由于第i个节点接地，所以Ii=0，因此不定导纳矩阵中的第i行消失。这样不定导纳矩阵降1阶，成为定导纳矩阵。不定导纳矩阵的上述性质使它在许多场合下获得应用。归纳起来，较突出的有以下几个方面：

(1)给定一个线性n端口网络，可以方便地用节点电流法写出它的不定导纳矩阵。

(2)若某一个网络的不定导纳矩阵［Y］已知，当网络的第i个节点接地，则只需删除第i行和第i列，就可以确定(n－1)端口的定导纳矩阵。

(3)两个网络并联，其不定导纳矩阵等于各自网络不定导纳矩阵之和。

(4)把一个导纳Y接到n端网络的第i个节点和第j个节点之间，所得到新网络的不定导纳矩阵，相当于在原网络不定导纳矩阵中的Yi，i和Yj，j元素加上导纳Y，同时在Yi，j和Yj，i元素减去导纳Y。1.5.2不定导纳矩阵建立方法

当电路给定时，不定导纳矩阵的建立可按照下列步骤进行：第一步先给全部节点编号，为了以后化简的方便，一般将输入端编为1号、将输出端编为2号、最后一个编号应为以后的接

地节点、其余的节点可以任意编号。第二步是求出每一个元件的不定导纳矩阵［Y］m(m=1，…，n)。第三步是将已求出每一个元件的不定导纳矩阵相加，相加后的不定导纳矩阵就是该电路的不定导纳矩阵。为了说明不定导纳矩阵的建立方法，我们用图1-37混合T型电路为例来说明不定导纳矩阵的建立方法。该电路有4个节点，将来的输入端定为节点1，将来的输出端定为节点2，将来

准备接地的节点定为节点4，节点编号已标注在图中。电路的不定导纳矩阵将是4×4矩阵。图1-37混合T型电路首先我们分析第一个元件Y1，它在节点1和节点3之间，根据不定导纳矩阵的性质，其元件的不定导纳矩阵为

(