机械控制理论基础 课件 第5章 控制系统的频率特性

FundamentalsofMechanicalControlTheory机械控制理论

基础FrequencyCharacteristicsofControlSystems控制系统的频率特性CHAPTER51对系统性能的评价：稳定性、准确性、快速性时域分析：在稳定前提下，解决系统的快速性、准确性问题频域分析：解决系统的稳定性、快速性问题频率特性分析是经典控制理论的核心内容工程实际中：振动问题：对以周期性振动的输入信号的响应分析问题材料的疲劳试验：施加的作用力为周期性交变信号汽车的减振效果桥梁（跨海大桥）的设计生活中：士兵过桥，挑担子2图（a）振荡初起之时图（b）灾难发生之时1940年7月1日建成通车的美国塔科马海湾（TacomaNarrows）大桥，在四个月后的11月7日被大风吹塌。大桥坍塌后，美国组建了一个事故调查委员会。其中成员就包括空气动力学家冯·卡门（TheodorevonKármán）。卡门是匈牙利犹太人，1930年移居美国后负责指导古根海姆气动力实验室和加州理工大学第一个风洞的设计和建设。NASA著名的喷气推进实验室（JPL）亦是由他创建。调查发现这场灾难源于一种卡门涡街现象，卡门涡街类似于将木桩插入水流时在木桩下游形成的两列非对称漩涡，进而形成侧向力作用，该作用是有规律的周期性现象（即具有一定频率），而塔科马大桥本身也有自己的频率，当两个频率接近的时候便会发生共振。而发生共振的后果，现在大家都知道了。4本章主要内容(MainContents)频率特性

(frequencyresponse)对数坐标图(LogMagnitudeandPhaseDiagram,BodeDiagram)极坐标图(PolarcoordinatePlot，NyquistPlot)最小相位系统(dynamicanalysisofhigh-ordersystem)闭环频率特性与频域性能指标(frequencycharacteristicsofclosed-loopsystems&

performancespecificationsinthefrequencydomain)5本章重点内容基本概念：频率特性、幅频特性、相频特性Bode图：注意对数幅频图的渐近线作图，强调工程应用的简化计算！！Nyquist图：频域性能指标特别强调：大学思维再加：高中知识（主要是复数的模与幅角的知识）65.1频率特性1.频率响应线性定常系统对正弦(谐波)输入的稳态响应，称为频率响应。一、频率响应与频率特性这里强调：系统为线性定常系统，且是稳定的，输入为正弦（谐波）信号（那么，余弦信号输入是否可以？）7其中：—幅频特性，稳态输出与输入的幅值比—相频特性，稳态输出与输入的相位差—频率特性，是幅频特性与相频特性的总称2.频率特性8由以上表达可知，频率特性本质上是个以为自变量的复变函数，其模与幅角的表达就是频率特性的幅值（幅频特性）与相位（相频特性）

系统的频率特性亦可表示为由于也可以写成实部和虚部之和，即实频特性虚频特性关于相位的符号：相位逆时针为正，顺时针为负；相位超前为正，相位滞后为负。对实际的物理系统，相位一般都是滞后的。9例5-1设系统传递函数为

当输入信号为时，求其稳态响应。解：系统的频率特性为

系统的稳态输出为

其中

所以系统的稳态响应为10频率响应只是时间响应的一个特例。当谐波频率不同时，其输出的幅值与相位也不同。进行拉氏反变换，可得响应为若要求其输出，则由指数衰减项谐波振荡项

11二、频率特性的含义与特点1.频率特性的含义将系统的传递函数G(s)中的s换为jω，即为系统的频率特性。即系统的频率特性为系统单位脉冲响应的傅里叶变换。12即系统的频率特性为系统稳态输出与输入的傅里叶变换之比。频率特性与输出和输入的关系：13求解观察线性微分方程性能指标传递函数时间响应频率响应拉氏变换拉氏反变换估算估算计算傅氏变换S=jω频率特性至此，建立起时域分析与频域分析以及各种数学模型之间的联系：为获取系统的动态特性，时域分析采用的方法是分析线性系统的过渡过程（瞬态响应）；而频域分析采用的方法是分析不同的谐波输入时系统的稳态响应。14采用频域分析的主要优点：（1）在研究系统结构及参数的变化对系统性能的影响时，许多情况下，在频域中分析要容易得多。特别是利用频率特性可方便地判别系统的稳定性和稳定储备量，参数选择或系统校正，使系统尽可能达到预期的性能指标。根据频率特性，易于确定系统频率范围。2.频率特性分析的优点（2）若线性系统的阶次较高，采用频率特性分析比在时域中分析系统的性能要容易。（3）采用频率特性分析法可设计出合适的通频带，以抑制系统中混入的噪声干扰的影响。（4）对任意时间函数的输入，只要满足傅氏变换的条件，频率特性分析方法都是适用的。15实际系统存在的非线性使得频率特性分析会产生误差难应用于时变系统和MIMO系统难以在线识别频率特性分析的缺点16对于机械系统而言，频率特性反映了系统机械阻抗的特性。三、机械系统动刚度的概念如图所示质量—弹簧—阻尼构成的机械系统：

其传递函数为：

17与虎克定律相似

所以

动刚度

而

动柔度

当时，

即该机械系统的静刚度。

其频率特性为：

18当时，动刚度幅值为：

令，可得：

称作系统的谐振频率。

此时系统的最小动刚度幅值：当时，19工程应用-动态吸振器弹簧吸振器简化模型如图5-6所示。若质量受到干扰力，如何选择吸振器参数，使质量产生的振幅为最小。解：建立系统微分方程为：求得位移x1与输入力之间的传递函数为：20动态吸振器该吸振器按输入干扰力的频率确定参数，若输入干扰力频率发生变化，其减振作用将会减弱。若要使，须动刚度为：而在车内螺纹时车刀柄过长，一次性加工会出现抖动情况，如果在刀柄内加个重力块能减轻震动，这靠谱吗？

21动态吸振器应用实例-减振刀柄这个减振刀柄是一个被动动态减振系统，内置预调过的重金属阻尼单元，由弹性原件支撑在刀柄的腔体内。选用密度最高的物质做成阻尼体，这样可以在有限的空间内达到最大的质量。22阻尼体的位置在设计时必须尽可能靠近刀柄前端，这样可以最大化阻尼效果。而阻尼体也必须经过预调，以使其自身频率与整个刀柄的频率一致。在实际加工过程中，刀柄前端刀具发生的振动变形在第一时间被阻尼体抵消，不会沿着刀柄向后传递，从而减少了整个刀柄的振动变形。

刀柄内的结构通过下面这个视频就能一目了然：23其它例子：磁共振仪（MRI：MagneticResonanceImaging）梯度线圈的被动式动态吸振24四.频率特性的作图表示方法

Bode图（对数坐标图，logarithmicplot）Nyquist图（极坐标图,NyquistPlot）Nichols图（对数幅-相图,NicholsPlot）重点要求学会Bode图和Nyquist图的作图方法，特别是其工程计算（简化计算），对Nichols图不作要求。25

1.对数坐标图5.2

频率特性的对数坐标图由对数幅频图和对数相频图组成:

横坐标：表示输入信号的频率，取对数分度纵坐标：表示对数幅值和相位差26横坐标的分度所以，横坐标采用对数分度，对低频段的频率特性表达比较充分！倍频：oct

十倍频：dec

lg1lg10027用Bode图表示频率特性的优点幅值采用对数形式，可将串联环节幅值的乘、除，化为幅值的加、减，因而简化了计算与作图过程。可用渐近线近似的方法作图，在进行控制系统设计、校正和辨识时，特别方便。横坐标采用对数分度，有效地扩展了低频段（工程上较为关心）的范围。28（1）比例环节2.典型环节的Bode图29（2）积分环节当时，即：积分环节的对数幅频图是过（1,0）点斜率是-20dB/dec的直线，相频特性为一条-90度线。两个积分环节时？30（3）微分环节当时，即：微分环节的对数幅频图是过（1,0）点斜率是20dB/dec的直线，相频特性为一条90度线。两个微分环节时？31（4）惯性环节在低频段误差

在高频段误差3233（5）一阶微分环节即一阶微分环节的对数幅频与相频图分别与惯性环节的对数幅频和相频图关于0dB线和0度线对称。

34（6）振荡环节35在低频段误差在高频段误差36振荡环节的bode图37振荡环节对数幅频特性的误差图38（7）二阶微分环节二阶微分环节的对数幅频与相频图分别与振荡环节的对数幅频和相频图关于0dB线和0度线对称。

39（8）延时环节40（1）将系统传递函数转化为若干个标准形式的环节的传递函数的乘积形式，并求出频率特性。（2）确定各典型环节的转角频率、固有频率以及阻尼比等参数，并将各典型环节按照转折频率从小到大排序。（3）将横坐标按照对数进行分度，将个典型环节按序以渐近线的方式绘制和叠加，画出整个系统的对数幅频曲线。（4）将得到的对数幅频渐近线，根据阻尼比对其进行修正。（5）按照相频特性表达式将整个系统的相频曲线画出，注意关键点。（6）当有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性则应加上-τω/π*180

。3.绘制系统Bode图的步骤与实例对于Bode图，要学会渐近线作图与近似估计计算！41例(1)比例(2)积分(3)振荡环节：固有频率与阻尼比(4)惯性环节：转折频率(5)一阶微分：转折频率过42对数幅频特性的渐近画法43%程序：画伯德图clear;closeall;clc;Num1=[10,3];Den1=[1,3,4,4,0];Gs1=tf（Num1,Den1）;figure（1）;bode（Gs1）;%伯德图gridon;用MATLAB画Bode图程序

44用MATLAB所画的Bode图如下

45②惯性环节③一阶微分环节④惯性环节①比例环节46s/rad)(Lww0.1110dB5100.01-20dB/dec-5-109.541000.4240-20dB/dec-4.4其对数幅频特性的渐近画法用MATLAB所画的Bode图如下

0.4240484.系统类型与系统对数幅频特性图之间的关系系统开环传递函数为：

开环频率特性

=K

=K

=K

当时，

当时，

当时，

当时，

49（1）静态位置误差系数

对于0型系统，其对数幅频曲线在低频段即时，其对数幅值为：即0型系统的低频渐近线是分贝的水平线。

当时，

50（2）静态速度误差系数

对于I型系统即其对数幅频曲线在低频段是一条斜率为-20dB/dec的线段当时，

51（3）静态加速度误差系数

对于II型系统即其对数幅频曲线在低频段是一条斜率为-40dB/dec的线段当时，

525.3

频率特性的极坐标图对于系统的频率特性，以横坐标表示其实部，以纵坐标表示其虚部。1.频率特性的极坐标图极坐标图的特点：优点：在同一图上表示了频率特性的幅值和相位；缺点：若数个环节串联，则其幅值相乘除，相角相加减。即当时，变化的规律。极坐标图对于系统的稳定性分析和校正极为重要。53

2.典型环节的Nyquist图（1）比例环节54（2）积分环节55（3）微分环节56（4）惯性环节57（5）一阶微分环节58（6）振荡环节59（6）振荡环节60（7）二阶微分环节61（8）延时环节

62

3.Nyquist图的一般画法例163例264例365总结：对于一般形式的系统频率特性其乃奎斯特图具有以下特点：当时，乃奎斯特图的起始点取决于系统的型次：0型系统，起始于正实轴上某一有限点（相位角为0º）；

Ⅰ型系统，起始于相位角为-90º的无穷远处，其渐近线为一平行于虚轴的直线；Ⅱ型系统，起始于相位角为-180º的无穷远处。66②当时，若n>m，乃奎斯特图以顺时针方向收敛于原点，即幅值为零，相位角与分母和分子的阶次之差有关，即③当G（s）含有零点时，其频率特性的相位将不随增大而单调减，Nyquist图会产生“变形”或“弯曲”，具体画法与各环节的时间常数有关。67例4

4.传递函数有零点时Nyquist图的画法68用Matlab绘制的Nyquist图：69例5例6705.5最小相位系统1.最小相位系统(mimimum-phasesystem)对于闭环系统，若其开环传递函数的所有零点和极点均在s平面的左半平面时,则该系统称为最小相位系统。对于最小相位系统而言，当频率从零变化到无穷大时，相位角的变化范围最小，即

当时，其相位角为712.非最小相位系统延时环节不稳定的一阶微分环节和二阶微分环节不稳定的惯性环节、振荡环节若系统开环传递函数有零点或极点在s平面的右半平面时,则该系统称为非最小相位系统。幅频特性相同的系统中，最小相位系统的相位变化最小。幅频特性确定后，其对应的最小相位系统是唯一的。（2）产生非最小相位的一些环节（1）定义72例5-10有三个不同的开环传递函数试判断它们是否为最小相位系统，分别画出它们的伯德图，并比较其相频特性。解：三个系统零、极点的分布图见图5-39。73它们中只有对应的系统为最小相位系统，和为非最小相位系统。它们的伯德图中幅频特性相同，相频特性不同，分别为74三个系统的幅频与相频特性如下图75例T1＝10T276(1)对应最小相位系统，根据开环频率特性L(ω)能唯一确定系统的开环传递函数—系统辨识问题。例5-11由实验得到的最小相位系统对数幅频曲线如图5-42所示，试估计它们的传递函数。3.最小相位系统的应用7778(2)对于最小相位系统，其幅频特性和相频特性一一对应，某频率段的相角主要由该频率段的幅频特性斜率所决定，也受相邻频段的影响。－20dB/dec————－900－40dB/dec————－1800－60dB/dec————－2700要使系统稳定，并有足够的稳定裕量，应使L(ω)以－20dB/dec斜率穿越0dB线，并保持ωc前后有一定宽度(10倍频程)。79以－20dB/dec斜率穿越0dB线，系统稳定。以－40dB/dec斜率穿越0dB线，系统可能稳定。以－60dB/dec斜率穿越0dB线，系统一般不稳定。805.6闭环频率特性与频域性能指标1.开环频率特性与闭环频率特性的关系

*在频域对系统性能进行分析有两种思路：（1）对闭环频率特性分析（直接）；（2）由开环频率特性分析估计闭环性能（间接）。（1）谐振频率(resonantfrequency)和谐振峰值

812.闭环频域性能指标频域性能指标是根据闭环控制系统的性能要求制定的。根据闭环频率特性定义的性能指标有：

将闭环频率特性的幅值用表示。

(resonantpeakmagnitude)82通常，一个系统的大小表征了系统相对稳定性的好坏。一般来说，值愈大，则该系统瞬态响应的超调量也大，表明系统的阻尼小，相对稳定性差。对于图5-46所示二阶系统，

83当时，