第02讲 三角形的内角（2大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测）人教版2024年暑假七升八《数学》衔接讲义（解析版）

第第页第02讲三角形的内角（2大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测）题型一三角形内角和定理的证明题型二与平行线有关的三角形内角和问题题型三与角平分线有关的三角形内角和问题题型四三角形折叠中的角度问题题型五三角形内角和定理的应用题型六直角三角形的两个锐角互余题型七锐角互余的三角形是直角三角形题型八三角形的外角的定义及性质知识点01：三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）两个角互余的三角形是直角三角形．（5）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．知识点02：三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．【典型例题一三角形内角和定理的证明】1．（22-23八年级下·广西来宾·期中）已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，则∠B的度数是（）A．30 B．35 C．40 D．50【答案】A【分析】直接根据直角三角形的性质解答即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，∴∠B＝30，故选：A．【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质两锐角互余解答．2．（22-23八年级上·湖南永州·期末）三角形的内角和等于A．100° B．150° C．180° D．360°【答案】C【分析】根据三角形内角和直接可得出答案.【详解】三角形内角和为180°故选C【点睛】本题主要考查三角形的内角和，掌握三角形的内角和是解题的关键.3．（22-23七年级上·全国·课前预习）三角形内角和定理：三角形内角和等于．【答案】180°【解析】略4．（22-23八年级下·全国·课前预习）小学阶段，通过度量或剪拼的方法，得出任意一个三角形的内角和等于度．【答案】180【解析】略5．（22-23七年级上·山东淄博·阶段练习）在△ABC中，∠B比∠A的4倍少10°，∠C比∠A的4倍多10°，你知道△ABC是什么三角形吗？请你简单说明理由.【答案】直角三角形，理由见解析【分析】根据“∠B比∠A的4倍少10°，∠C比∠A的4倍多10°”设出∠B和∠C，根据三角形内角和180°，列出方程，解方程，即可得出答案.【详解】解：∵∠B比∠A的4倍少10°，∠C比∠A的4倍多10°∴∠B=4∠A-10°，∠C=4∠A+10°又∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+4∠A-10°+4∠A+10°=180°解得：∠A=20°∠B=70°，∠C=90°∴△ABC为直角三角形【点睛】本题考查的是三角形的内角和，属于基础题型，三角形的内角和180°.6．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）证明：“三角形内角和是180°”．【答案】见解析【分析】过A作底边BC的平行线，结合平行线的性质证明即可．【详解】如图，过A点作，∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，（两直线平行，内错角相等）∠BAC+∠B+∠C=∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°．【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练运用平行线的性质是解题关键．【典型例题二与平行线有关的三角形内角和问题】1．（2023·山东临沂·一模）如图，直线，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可．【详解】解：∵，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．2．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，的顶点D，E在的边BC上，，，若，则的度数为（

）

A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得，，再根据三角形内角和定理得，即可得到答案．【详解】解：∵，∴，，∵，，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质和相似三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．3．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）在中，，，则为．【答案】【分析】根据三角形内角和即可求解．【详解】解：∵，∴故答案为：100°【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．4．（22-23七年级下·广东汕头·期末）将一副三角板如图放置，使点A在DE上，∠D＝60°，∠B=45°，BC∥DE，则∠ACF的度数为【答案】【分析】根据题意和三角板的特点，可以得到∠E和∠ACB的度数，再根据平行线的性质，可以得到∠BCE的度数，从而可以得到∠ACF的度数．【详解】解：由题意可得，∠D=60°，∠ECD=90°，故∠E=30°，∵DE∥BC，∴∠E=∠ECB，∴∠ECB=30°，∵∠B=45°，∠BAC=90°，∴∠BCA=45°，∴∠ACF=15°，故答案为：15°．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，AB∥CD，∠ABD、∠BDC的平分线交于E，求∠BED的度数．【答案】90°【分析】根据平行线性质得出∠ABD＋∠CDB＝180°，根据角平分线定义得出∠EBD＝∠ABD，∠BDE＝∠CDB，求出∠EBD＋∠EDB=90°，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】∵AB∥CD，∴∠ABD＋∠CDB＝180°，∵∠ABD与∠BDC的角平分线相交于点E，∴∠EBD＝∠ABD，∠BDE＝∠CDB，∴∠EBD＋∠EDB＝（∠ABD＋∠CDB）＝90°，∴∠BED＝180°−（∠EBD＋∠EDB）＝90°．【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，关键是求出∠EBD＋∠EDB的度数．6．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么吗？说明理由．【答案】，理由见解析【分析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是根据三角形内角和求出，再根据平行线的判定定理即可求解．【详解】解：，如图，在中，，在中，，，，，．【典型例题三与角平分线有关的三角形内角和问题】1．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，，平分，则度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形内角和定理得到，再根据平分，得到．【详解】解：，，，平分，，故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义，根据三角形内角和定理正确计算是解题的关键．2．（2024·广东惠州·二模）如图，在中，，平分，若，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．先求出，再根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则，即可得出答案．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，故选：C．3．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AE，AD分别是角平分线和高，则∠DAE的度数是．【答案】10°【分析】利用三角形的内角和定理，求出∠BAC、∠DAC，再利用角平分线的性质求出∠EAC，最后利用角的和差求出∠EAD．【详解】解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，∵AE是△ABC角平分线，∴∠CAE=∠BAC=40°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=90°-60°=30°，∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°．故答案为：10°【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等知识点，掌握三角形的内角和定理是解决本题的关键．4．（22-23七年级下·全国·单元测试）在中，平分，平分，当时，．【答案】115【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求解即可．【详解】解：∵在中，平分，平分，，∴，∴；故答案为：115．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和是解题的关键．5．（22-23七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，的角平分线交于点E，，．求的度数（温馨提示：用数字标角）．

【答案】【分析】由角平分线的定义先求解，结合，再利用三角形的内角和定理即可得到答案．【详解】解：∵平分，，∴．∵，∴．∴．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．6．（23-24八年级上·福建南平·阶段练习）如图，是的角平分线，是的高，已知，，求下列角的大小：

(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形内角和定理求得的度数；（2）根据角平分线的定义求得角，然后在直角中，求得的度数，则即可求解．【详解】（1）∵，∴．（2）∵是的角平分线，∴；∵是的高，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，正确理解定理和定义是解题的关键．【典型例题四三角形折叠中的角度问】1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，是直角三角形，，沿折叠，使点B恰好与边上的点E重合，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由折叠的性质可知：，分别求出即可．【详解】解：由折叠的性质可知：，，，，故选：A．【点睛】本题考查折叠的性质：对应角相等，解题的关键是熟记折叠的相关结论即可．2．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）如图，将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CEF=54°，则∠AED的度数是（）

A．56° B．63° C．68° D．76°【答案】B【分析】根据领补角先求出，然后根据翻折可知进而求解．【详解】解：由翻折可知故选：B．【点睛】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，是解决问题的关键．3．（22-23八年级上·四川自贡·期中）如图，把一张直角△ABC纸片沿DE折叠，已知∠1＝68°，则∠2的度数为．【答案】46°【分析】由题意得∠C′＝90°，由折叠得∠CDE＝∠C′DE，那么∠CDE＝180°﹣∠1＝112°，故∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°，进而推断出∠C′DA＝112°﹣68°＝44°，从而求得∠2．【详解】解：由题意得：∠C′＝90°，由折叠得∠CDE＝∠C′DE．∵∠1＝68°，∴∠CDE＝180°﹣∠1＝112°．∴∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°．∴∠C′DA＝112°﹣68°＝44°．∴∠2＝180°﹣∠C′﹣∠C′DA＝46°．故答案为：46°．【点睛】本题考查了三角形折叠问题和三角形内角和，解题关键是根据折叠得出角相等，利用三角形内角和求解．4．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BCDE，若∠A+∠B=104°，则∠FEC=°．

【答案】28°【详解】【分析】本题要求学生能够灵活运用平行线的性质，三角形的内角和定理以及折叠的性质．解：BC∥DE∠ADE=∠B∠A+∠B=104°∠ADE+∠A=104°∠AED=76°折叠∠DEF=∠AED=76°∠FEC=180°-76°-76°=28°故答案为28°5．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，两点落在点处，若，求的度数．【答案】65°【分析】根据折叠可得∠B′OG＝∠BOG，再根据∠AOB′＝50°，可得出的度数．【详解】根据折叠得：∠B′OG＝∠BOG，∵∠AOB′＝50°，∴∠B′OG+∠BOG＝130°，∴＝×130°＝65°．【点睛】本题考查了折叠问题中的角的计算，注意折叠前后不变的角是解此题的关键．6．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的度数．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理的应用；根据题意可知，直线是与的对称轴，进而可得．然后求得，进而根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：根据题意可知，直线是与的对称轴，所以．因为，所以，所以．在中，．【典型例题五三角形内角和定理的应用】1．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）若三角形三个内角度数之比为，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为，熟练掌握这个定理是解答此题的关键．先根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比三个内角中最大内角，然后再判断三角形的形状即可．【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为，∴三个内角中最大内角是∴该三角形是直角三角形．故选：B．2．（2024·广东潮州·一模）如图所示，在中，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形内角和定理得，将代入计算，即可求解，本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握三角形内角和定理．【详解】解：∵，，∴，∴，故选：C．3．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）在中，，则【答案】/度【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度进行求解即可．【详解】解：∵在中，，∴，故答案为：．4．（2024·湖北孝感·三模）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为．【答案】/度【分析】本题考查的知识点是三角形内角和定理的应用，解题关键是理解反射角等于入射角．根据题意得到后，结合三角形内角和定理即可求解．【详解】解：依题得：，，，中，．故答案为：．5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）中，，，求的各内角度数．【答案】，，【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为．利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解，，，，，解得：，，．6．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，在中，．求证：是直角三角形．【答案】见解析【分析】本题考查的是直角三角形的性质，可证明．在中，已知，等量代换可证是直角三角形，熟记直角三角形的判定定理是解题的关键．【详解】证明：，，，，是直角三角形．【典型例题六直角三角形的两个锐角互余】1．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）在直角三角形中，其中一个锐角是，则另一个锐角的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余进行求解即可．【详解】解：∵在直角三角形中，其中一个锐角是，∴另一个锐角的度数是，故选：C．2．（22-23七年级下·四川成都·期末）若直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查直角三角形的特征，直角三角形的两个锐角互余，由此可解．【详解】解：若直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于：，故选A．3．（23-24八年级上·甘肃陇南·期中）在中，，则的度数为．【答案】/34度【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求出答案，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．【详解】解：，故答案为：4．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，，，若，则°．

【答案】30【分析】本题考查了垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，解题的关键是熟练掌握垂直的定义，根据垂直的定义和直角三角形的性质即可求解【详解】解：故答案为：305．（22-23七年级·全国·假期作业）如图，中，，，，，求．

【答案】【分析】先求出，再根据直角三角形的性质得出，进而根据各角之间的关系得出答案．【详解】∵，∴．∵，，∴．∵，∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平角定义等，确定各角之间的数量关系是解题的关键．6．（22-23八年级上·云南普洱·期中）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，求证：∠CPO=∠DPO．【答案】见解析【分析】直接利用等角的余角相等即可证明．【详解】∵OP为∠AOB的角平分线∴∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴，∴∠CPO=∠DPO．【点睛】本题考查等角的余角相等，熟悉余角的性质是解题的关键，比较基础．【典型例题七锐角互余的三角形是直角三角形】1．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形．【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意；B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意；C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意；D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意故答案为：C【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键．2．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，，则是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】C【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形．【详解】解：在中，，∴，又∵，，∴，是直角三角形．故选：C．3．（22-23八年级上·全国·课后作业）直角三角形的判定定理：有两个角的三角形是直角三角形．【答案】互余【分析】根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，进行作答即可．【详解】解：有两个角互余的三角形是直角三角形；故答案为：互余．【点睛】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握有两个角互余的三角形是直角三角形，是解题的关键．4．（22-23七年级下·山东烟台·期末）由三角形内角和定理得到结论：有两个角的三角形是直角三角形．【答案】互余（或和为90°）【分析】根据互余的定义和三角形内角和定理即可得到答案．【详解】解：有两个角互余的三角形是直角三角形．故答案是：互余（或和为90°）．【点睛】本题主要考查直角三角形的判定，掌握互余的定义和三角形内角和定理是解题的关键．5．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．【答案】见解析【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立．【详解】解：∵是边上的高，∴，∴．∵，∴，∴是直角三角形．6．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图，中，．(1)试说明是的高；(2)如果，求的长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）由等量代换可得到，故是直角三角形，即；（2）由面积法可求得的长．【详解】（1）∵∴∵∴∴是直角三角形，即，∴是的高；（2）∵∴，∵，∴．【点睛】此题考查了同角的余角相等，三角形的面积，直角三角形的判定，正确理解直角三角形的判定是解题的关键．【典型例题八三角形的外角的定义及性质】1．（2024·广东阳江·二模）如图，已知，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了三角形的外角性质．由是的外角，利用三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可求出的度数．【详解】解：是的外角，，．故选：A．2．（2024·宁夏银川·二模）在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要工具之一，每副三角板由两个特殊的直角三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有的直角三角板，一副三角板如图摆放，其中、、共线，此时的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查三角形的外角，根据外角的性质，得到，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴；故选D．3．（2023·吉林长春·模拟预测）将一副三角板按如图所示放置，则的度数为．【答案】/75度【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，熟练掌握三角板中各个内角的度数，是解题的关键．根据三角板的形状，得出，，根据三角形外角的性质得到即可．【详解】解：根据三角板的形状可知，，，∴．故答案为：．4．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形纸片中，．若按图中虚线将剪去，则°．【答案】215【分析】本题考查三角形外角和的性质应用，三角形的外角和为360°．关键在于对三角形外角和的正确记忆，以及对题意的正确分析，进而根据已知条件求解出答案．【详解】∵在中，，∴的外角为145°，由三角形的外角和为360°可得，．故答案为：215．5．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，，，，求的度数．【答案】【分析】本题考查三角形的外角，延长，交于点，先求出，再根据三角形的外角性质即可得出答案．【详解】解：如图，延长，交于点．，．，．．，，．6．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，已知，，，求和的度数．

【答案】，【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可直接得出答案．【详解】解：，，，，．【变式训练1三角形内角和定理的证明】1．（22-23八年级上·湖北恩施·期中）三角形三个内角的和是（

）A．90° B．360° C．180° D．270°【答案】C【分析】根据三角形的内角和是180°解答即可．【详解】解：三角形的内角和是180°，故选．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和公理是关键．2．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，则∠A度数为(

).A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【分析】由三角形内角和定理得．【详解】∠A＝180°−∠B−∠C＝180°−45°−75°＝60°．故选：D．【点睛】考查三角形的内角和定理，三角形的内角和为180度．3．（22-23八年级下·湖南娄底·期中）在中，，若，则的度数是．【答案】25°【分析】根据三角形的内角和即可求解．【详解】∵在中，，，∴∠A=180°-∠C-∠B=25°故答案为：25°．【点睛】此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°．4．（22-23七年级下·辽宁锦州·期中）“生活中处处有数学”，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，我们就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是.【答案】三角形的内角和是180°【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．【详解】解：根据折叠的性质，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C+∠A=180°，∴定理为：三角形的内角和是180°．故答案为：三角形的内角和是180°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．5．（2024·山东菏泽·一模）已知，小明想证明其内角和为，请在图中作出一种辅助线的作法（写出作法）．【答案】见解析；作法见解析【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，利用平行线的性质把三个内角平移到一个顶点处构成一个平角是解题的关键．可过三角形的一个顶点作另一边的平行线，把三个内角转移到该顶点处构成平角，证得结论．【详解】解：作法：过点A作的平行线，即；

则，（两直线平行，内错角相等），（平角的定义），（等量代换）．即的内角和为．6．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．

【答案】证明见解析【分析】根据要求画出，写出已知，求证．构造平行线，利用平行线的性质解决问题即可．【详解】解：已知：．求证：．证明：如图，延长到F，过点B作．

∵，∴，，∵，∴，即．【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．【变式训练2与平行线有关的三角形内角和问题】1．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，ABCD，则的度数为（

）A．90° B．85° C．60° D．55°【答案】D【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：∵AB∥CD，∠ACD=40°，∴∠A=∠ACD=40°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-85°=55°，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理等于180°是解题的关键．2．（2023·湖北襄阳·一模）如图，已知直线AB∥CD，直线AC和BD相交于点E，若∠ABE=75°，∠ACD=35°，则∠AEB等于（）A．60° B．70° C．75° D．80°【答案】B【分析】利用平行线的性质，得到∠BAE与∠ACD的关系，再利用三角形的内角和，求出∠AEB．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠ACD=35°．∵∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°，∠ABE=75°，∴∠AEB=70°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，题目难度较小，利用平行线的性质把要求的角和已知角放在同一个三角形中，是解决本题的关键．3．（22-23七年级下·山东泰安·期中）如图，AB∥CD，∠CED=90°，∠AEC=35°，∠D=．【答案】55°【分析】求出∠C，再利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠C=35°，∵∠CED=90°，∴∠D=90°-35°=55°，故答案为55°．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＝°．【答案】5．【分析】由三角形的高得出∠ADB＝90，求出∠BAD，由角平分线求出∠BAE，即可得出∠EAD的度数．【详解】解：∵△ABC中，AD是BC边上的高，∴∠ADB＝90，∴∠BAD＝90﹣∠B＝90﹣60＝30°，∵∠BAC＝50，AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×50＝25，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝30﹣25＝5．故答案为：5．【点睛】此题主要考查三角形内的角度求解，解题的关键是熟知角平分线、高及三角形的内角和定理的性质．5．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，，平分，，，求的度数．【答案】的度数为【分析】由平行线的性质得到，根据角平分线的定义，得到，在中，根据三角形内角和定理，即可求解，本题考查了，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴,的度数为．6．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，求证：．

【答案】见解析【分析】本题考查三角形内角和定理以及平行线的判定与性质，先由三角形内角和定理证明，由平行线的性质得，等量代换可得，即可证明．【详解】证明：在和中，∵，，∴，∵，∴，∴，∴【变式训练3与角平分线有关的三角形内角和问题】1．（22-23八年级上·湖北黄石·期中）如图所示，AC⊥BC，AO，BO分别是∠A，∠B的平分线，且相交于点O，则∠AOB等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角平分线的定义得到∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠ABC=45°，再利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵AC⊥BC，∴∠C=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵AO，BO分别是∠A，∠B的平分线，且相交于点O，∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠ABC=45°，在△OAB中，∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-45°=135°，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．2．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，点是内一点，分别是和的平分线，则等于（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，根据即可求解.【详解】解：∵分别是和的平分线，∴，∴∵∴∴故选：B3．（22-23八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，的平分线和的平分线相交于点，则．

【答案】/度【分析】可求，从而可求，接可求解．【详解】解：，，的平分线和的平分线相交于点，，，，，．故答案：．【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理，理解定义，掌握定理是解题的关键．4．（22-23八年级上·河南三门峡·期中）如图，在中，，、分别平分、，、相交于点，则的度数是．【答案】【分析】利用角平分线的性质求出∠2+∠4的度数，再由三角形的内角和定理便可求出∠BOC．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠4=（180°-∠A）=（180°-62°）=59°，故∠BOC=180°-（∠2+∠4）=180°-59°=121°．故答案为：121°．【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．5．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，平分交于点，是的高，与交于点．若，，求的度数．【答案】【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及角平分线的定义．由平分，利用角平分线的定义，可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由是的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，再将其代入中，即可求出的度数．【详解】解：平分，．在中，，，．是的高，，，．6．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，平分，求的度数．【答案】【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和等于列式计算即可得解．【详解】解：，平分，，，．【变式训练4三角形折叠中的角度问题】1．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在三角形纸片ABC中，∠B＝32°，点D在BC上．沿AD将该纸片折叠，使点C落在AB边上的点E处．若∠EAC＝76°，则∠AED＝（

）A．64° B．72° C．76° D．78°【答案】B【分析】先由题意根据三角形内角和可得∠C＝180°-∠B-∠EAC=72°，再根据折叠的性质得到答案.【详解】因为∠B＝32°，∠EAC＝76°，所以根据三角形内角和可知∠C＝180°-∠B-∠EAC=72°，由题意，根据折叠的性质可知∠AED＝∠C，所以∠AED＝72°，故选择B.【点睛】本题考查三角形内角和以及折叠的性质，解题的关键是掌握三角形内角和以及折叠的性质.2．（22-23八年级上·河南平顶山·期末）如图，中，，沿着图中的折叠，点刚好落在边上的点处，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由折叠的性质可求得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，则可求得答案．【详解】解：由折叠可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=45°，∵∠A=30°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=30°+45°=75°，∴∠CDE=75°．故选C.【点睛】本题主要考查折叠的性质，掌握折叠前后图形的对应线段和对应角相等是解题的关键．3．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，将纸片的一角折叠，使点落在内部，若∠1=45°，则=．【答案】【分析】根据三角形内角和定理求出∠C的度数．进而在△CDE中，得出∠CDE与∠CED的和，由平角的性质即可求解．【详解】解：如图，∵，，∴∠C=40°，∴在△CDE中，则∠CDE+∠CED=140°，由折叠，可知：∵∠1+2∠CED=180°，∠2+2∠CDE=180°，∴∠1+∠2=360°-2（∠CDE+∠CED）=80°，∵∠1=45°，∴=35°.故答案为35°.【点睛】本题考查三角形内角和定理及平角的性质，折叠的性质，解题的关键是熟知三角形的内角和是180°．4．（22-23七年级上·上海·期末）如图，把沿直线翻折后得到，点的对应点是点，如果，那么度．【答案】【分析】先根据邻补角的定义求得的度数，再由对折的性质进行解答．【详解】∵，∴＝∵沿直线翻折后得到，点的对应点是点，∴．故答案为：．【点睛】考查了对折和邻补角的性质，解题关键是利用邻补角的定义求得的度数和对折前后的两个角的度数相等．5．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，将沿，，翻折，三个顶点均落在点O处，若，求的度数．

【答案】【分析】根据翻折的性质及三角形内角和定理可得，从而求得，最后求得．【详解】解：根据翻折的性质可知，，，，又，，，又，．【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折的性质，通过翻折前后对应角相等进行等量代换求解是关键．6．（22-23八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）（1）如图1，把沿DE折叠，使点A落在点处，试探索与的关系______（不必证明）．（2）如图2，BI平分，CI平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数；【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；（2）根据三角形角平分线的性质得出，得出的度数即可；【详解】（1）∵把沿DE折叠，使点A落在点处，∴∵又∴；（2）由（1），得，∴∵IB平分，IC平分，∴，∴；【点睛】本题主要考查了图形的翻折变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．【变式训练5三角形内角和定理的应用】1．（23-24七年级下·四川成都·期中）如果一个三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为，设三角形的三个内角分别为，，，根据题意，则；再根据，即可．【详解】设三角形的三个内角分别为，，，∵一个三角形的一个内角等于另外两个内角之和，∴，∵，∴，∴，∴该三角形为直角三角形．故选：B．2．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，分别过的顶点A、B作．若，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，得到，利用三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故选A．3．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）在中，，，则°.【答案】65【分析】此题考查三角形的内角和定理，根据三角形内角和为，及两底角相等即可求出，正确掌握三角形内角和定理是解题的关键．【详解】∵中，，，∴，故答案为：65．4．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）当三角形中的一个内角α是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”，如果一个半角三角形的“半角”为，那么这个“半角三角形”的最大内角是．【答案】/126度【分析】本题考查三角形的内角和定理．根据半角三角形的定义，求出另一个角的度数，再根据内角和定理求出最大的角的度数即可．【详解】解：由题意，得，∴，∴最大角的度数为：；故答案为：．5．（23-24七年级下·山东德州·期中）已知：如图，，于M，于F，且．求的度数．【答案】【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到，则可证明得到，进而求出，根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可．【详解】证明：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．6．（23-24八年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，，，点在边上，且，求的度数．【答案】【分析】此题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为求出，再由即可求出答案．【详解】，，，∵，．【变式训练6直角三角形的两个锐角互余】1．（23-24八年级上·全国·期末）直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于（）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．【详解】解：∵三角形是直角三角形，它的一个锐角等于50°，∴它的另一个锐角为：，故选：D．2．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）将一副三角板按如图所示摆放，其中，，则∠2为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了直角三角形的特征，在中，利用直角三角形两锐角互余得，在中，利用直角三角形两锐角互余得，再利用即可求解，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．【详解】解：，，，，，，故选D．3．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）在中，，，则的度数为．【答案】【分析】此题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的性质直接求解即可．【详解】解：在中，，，，．故答案为：．4．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，，，则的度数为．

【答案】/30度【分析】根据垂线定义得出，根据直角三角形两锐角互余，结合，求出结果即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了垂线定义，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余．5．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中．，，平分，．求证：．

【答案】见解析【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握直角三角形的性质和平行线的判定是解答本题的关键，先由直角三角形的性质证明，进而得到，再由与互余，求得，因此，最后利用内错角相等，两直线平行，即可证得结论．【详解】证明：，，，平分，，，且，，，．6．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，是的角平分线，是高，，，求的度数．

【答案】的度数为．【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的角平分线的定义．可求，从由，即可求解．【详解】解：，，平分，，是的高，，∴，；故的度数为．【变式训练7锐角互余的三角形是直角三角形】1．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别进行变形结合，进行逐一求解，即可判断．【详解】解：A.，，，，解得：，，，不是直角三角形，故符合题意；B.，，，，解得：，是直角三角形，故不符合题意；C.，设，，，，，解得：，，是直角三角形，故不符合题意；D.，，，，，解得：，，，是直角三角形，故不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握定理是解题的关键．2．（22-23八年级上·山东济宁·期中）在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【答案】C【分析】根据三角形内角和为，求出三角形中最大角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案．【详解】解：①∵，∴，∴，∴是直角三角形，故小题正确；②∵，∴最大角，故小题正确；③∵，∴，∴，故小题正确；综上所述，是直角三角形的是①②③共3个．故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，根据三角形内角和定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键．3．（22-23八年级·全国·假期作业）有两个角互余的三角形是直角三角形．()【答案】√【分析】由三角形的内角和定理可以得出判断.【详解】解：三角形的内角和等于，因此有两个角互余的三角形，则第三个角等于90°，是直角三角形.故答案为正确.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和定理是解题关键.比较基础.4．（22-23八年级上·浙江台州·期中）有两个角的三角形是直角三角形．【答案】互余【分析】由三角形中有两个角互余，结合三角形的内角和定理可得第三个角为，从而可得答案．【详解】解：有两个角互余的三角形是直角三角形，故答案：互余．【点睛】本题考查的是两个角互余的含义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．5．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形．【答案】见解析【分析】利用三角形内角和定理可得，据此即可证明是直角三角形．【详解】解：在中，D是AB上一点，，，∵，∴，即，∴，∴是直角三角形．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形三个内角和等于”是解题的关键．6．（22-23八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，．(1)判断的形状；(2)判断是否与垂直．【答案】(1)是直角三角形(2)【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出．【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：∵，，∴，∴，∴，∴是直角三角形．（2）解：，理由如下：∵，，∴，∴，∴．【变式训练8三角形的外角的定义及性质】1．（2024·湖南长沙·二模）如图，直线，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质．根据三角形外角的性质得到，再根据平行线的性质即可解答．【详解】解：∵，，∴，∵，∴．故选：B2．（2024·河北石家庄·二模）如图，直线，被直线所截，直线和不平行，根据图中数据可知直线和相交构成的锐角为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查三角形的外角，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【详解】解：设直线和相交构成的锐角为，根据三角形的外角定理可得，故选C．3．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图所示，在中，，，外角．【答案】/98度【分析】本题主要考查三角形外角的性质．根据三角形外角的定义和性质即可求解．【详解】解：∵是的外角，，，∴，故答案为：．4．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，是的一个外角，若，，则．【答案】/65度【分析】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．【详解】解：∵，，∴．故答案为：．5．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，求证：．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和分别得到，再由，，即可证明结论．【详解】证明：如图所示，延长到E，∵，∴，又∵，∴．6．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，和是的外角，若，求的度数．

【答案】【分析】先根据三角形外角的性质求出的度数，则由平角的定义可得答案．【详解】解：，．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平角的定义，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．1．（22-23七年级下·湖北黄石·期中）三角形的三个内角(

)A．至少有两个锐角 B．至少有一个直角C．至多有两个钝角 D．至少有一个钝角【答案】A【分析】根据三角形的内角和是180°判断即可．【详解】解：根据三角形的内角和是180°，知：三个内角可以都是60°，排除B；三个内角可以都是锐角，排除C和D；三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角．故选A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角和是180°．2．（22-23七年级下·山东济南·期中）如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E的度数是（

）．A．100° B．90° C．80° D．70°【答案】B【分析】根据平行线的性质求出∠EFC的度数，然后再根据三角形的内角和定理即可求出答案．【详解】如图，设CD交EB于点F，∵AB∥CD，∠B＝40°，∴∠EFC＝∠B＝40°，∴，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握相关定理正确推理计算是解题的关键．3．（22-23七年级下·山东烟台·单元测试）如图，在中，，，平分，平分，则的大小是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用角平分线的定义先求得和的大小，然后利用三角形的内角和定理即可得到答案．【详解】解：∵平分，平分，∴，．由三角形的内角和定理可知：．故选；B．【点睛】本题主要考查的是角平分线的定义、三角形的内角和定理，掌握角平分线的定义和三角形的内角和定理是解题的关键．4．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，如果∠1＝40°，∠2＝30°，那么∠A＝（

）A．40° B．30° C．70° D．35°【答案】D【分析】根据折叠的性质得到∠AED=∠A´ED，∠ADE=∠A´DE，一，再根据平角的性质和三角形内角和定理得出答案.【详解】因为折叠使∠AED=∠A´ED，∠ADE=∠A´DE，所以∠1+∠AEA´=180°，因为∠1=40°，所以∠AEA´=140°，即∠AED=∠A´ED=70°，同理求出∠ADE=∠A´DE=75°，因为ΔA´DE的内角和180°，所以∠A´=180°-70°-75°=35°，即∠A=35°.【点睛】本题考查折叠的性质、平角的性质、三角形内角和定理来解，熟练掌握折叠会出现相等的角和线段.5．（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，在中，，，则一定是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，先求出，进而利用三角形内角和定理得到，则，由此可得一定是直角三角形．【详解】解：∵在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∴一定是直角三角形，故选：C．6．（22-23七年级上·山东泰安·期末）若，则按角分的形状是．【答案】直角三角形【分析】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而