机械控制理论基础 课件 第2章 拉普拉斯变换的数学方法

FundamentalsofMechanicalControlEngineering机械控制工程基础Chapter2拉普拉斯变换的数学方法

MathematicalMethods

ofLaplaceTransform2拉普拉斯变换（L.T）Norbert.Wiener等人提出经典控制论：以传递函数概念为基础的理论体系特点：将系统从时间域变换为复数域和频率域对象：主要用于单输入－单输出(SISO)定常系统的分析与设计目的：将描述系统动态行为的复杂微分方程变换为复数域中简单得多的代数方程，即传递函数，以方便分析求解。3主要内容（MainContents）复数与复变函数拉氏变换与反变换定义典型时间函数的拉氏变换拉氏变换的性质拉氏反变换的部分分式法用拉氏变换解微分方程42-1复数与复变函数

（ComplexNumber&FunctionofComplexVariable）1.复数的概念（concept）复数，其中均为实数，分别称为的实部（RealPart）和虚部（ImaginaryPart）,记作为虚单位（ImaginaryUnit）。复数相等的条件复数为零的条件复数为实数的条件复数为纯虚数的条件5点（dot）表示法2.复数的表示（Expression

）向量（vector）表示法6三角函数（trigonometricfunction）表示法指数（exponential）表示法

Euler公式：2.复数的表示（Expression

）7对于复数，若以为自变量，则按某一确定法则构成的函数即称为复变函数，可写成分别为复变函数的实部和虚部。3.复变函数及其零、极点

(FunctionofComplexVariable&itsZerosPoles)在线性控制系统中，通常遇到的复变函数是的单值函数，即对应于一个给定值，就唯一被确定。8复变函数的零、极点（Zeros&Poles）若有复变函数当时，，则称为的零点；当时，，则称为的极点。92-2拉氏变换与拉氏反变换

LaplaceTransform&InverseLaplaceTransform

有时间函数，，则的拉氏变换记作：或，并定义为拉氏变换（L.T.）

为复数，称为原函数，为象函数。10的拉氏变换存在须满足的条件:在任一有限区间上，连续或分段连续，只有有限个间断点。

当时，的增长速度不超过某一指数函数，即满足式中均为实常数，为拉氏变换的定义域，称作为收敛坐标。该条件可保证拉氏变换的被积函数绝对收敛。11关于收敛坐标收敛坐标的临界值相当于s平面内的最右边的极点的实部。对于函数，其收敛坐标的极限值为零

关于时间域函数本课程后面所用到的时域函数，如不特加说明，均指：122.拉氏反变换（InverseL.T.）当已知的拉氏变换，欲求原函数时，称为拉氏反变换，记作，并定义为如下积分：

式中为大于所有奇异点实部的实常数（奇异点，即在该点不解析，也就是说在该点及其邻域不处处可导）。

13单位阶跃函数（Unit-stepFuncion）单位脉冲函数（Unit-impulseFunction）单位斜坡函数（Unit-rampfunction）指数函数（ExponentialFunction）正弦函数（SineFunction）余弦函数（Cosinefunction）幂函数（PowerFunction）2-3典型时间函数的拉氏变换

LaplaceTransformationofTypicalTimeFunction

141.单位阶跃函数（Unit-stepFunction）单位阶跃函数的拉氏变换152.单位脉冲函数（Unit-impulseFunction）单位脉冲函数的两个重要性质单位脉冲函数的拉氏变换（Dirac函数，函数）—采样性质163.单位斜坡函数（Unit-RampFunction）单位斜坡函数的拉氏变换174.指数函数（ExponentialFunction）185.正弦函数（SinusoidFunction）用Euler公式表示为指数函数进行拉氏变换19206.余弦函数（CosineFunction）用Euler公式表示为指数函数进行拉氏变换217.幂函数（PowerFunction）其拉氏变换采用换元法：则有:

222-4

拉氏变换的性质

PropertiesofLaplaceTransform1.

线性性质（LinearProperty）

若为常数，则

232.实数域的位移定理（延时定理）（Time-lapsetheorem

）若，则对于

例题：方波与三角波函数的拉氏变换24图示方波函数可以利用典型时间函数-阶跃函数及其延时函数表达为：利用单位阶跃函数的拉氏变换以及拉氏变换的线性性质和延时定理可得：图示三角波函数的时域表达式为：利用单位斜坡函数的拉氏变换以及拉氏变换的线性性质和延时定理可得：263.周期函数的拉氏变换

（L.T.ofPeriodicFunction）

若，则274.复数域的位移定理

（displacementtheorem）

若，则例如，类推：285.相似定理（AnalogicalTheorem）（时间比例尺改变）若，则类推29若，且其各阶导函数存在，则有6.微分定理（differentialtheorem）利用微分定理，可依次推得f(0+)是t=0+

时的f(t)值30若初始条件为零，即则上述各阶导函数的拉氏变换为31若，则有7.积分定理（IntegralTheorem）

32初值定理使用条件：若要存在，意味着时域中f(t)

本身不能包含冲击。但由于的存在,不影响的值,可把移去后再应用初值定理。例如：若存在，则8.初值定理（OriginalValueTheorem）339.终值定理（FinalValueTheorem）若存在，且终值存在，则注意：此定理对于周期函数、无界函数不适用！使用条件：若要

存在相当于在复频域中的极点都在S平面的左半平面和原点.

3410.的拉氏变换（复微分定理）11.的拉氏变换（复积分定理）3512.卷积定理（ConvolutionTheorem

）

若，则卷积分满足交换律、结合律与对加法的分配律。卷积分定义式362-5拉氏反变换的数学方法

MathematicalMethodofInverseL.T.由，可采用查表法留数定理法（ResidueTheorem）部分分式法√√卷积分法√MATLAB方法37部分分式法求原函数一般，是复数的有理代数式，可表示为式中均为实数。38分子、分母分解因式，得39（1）

无重极点的情况

将展开成以下部分分式和的形式其中40因此，可求得的拉氏反变换为41（2）有重极点的情况

设有重极点，其余极点均不相同42式中的系数按以下求解:43因此，求得的拉氏反变换为例：44用卷积法求拉氏反变换例如：因为，所以令452-6

用拉氏变换解常微分方程

用拉氏变换解常微分方程，首先是通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程，进而解出象函数，最后由拉氏反变换求得常微分方程的解。对于一般的n阶微分方程对方程式左边的每一项都进行拉氏变换，得46整理得47同理，对方程右边进行拉氏变换后，可整理得所以进行拉氏反变换，得与初始值有关与输入有关补函数特解函数式中与初始条件有关，称之为系统的补函数，与输入有关，称之为特解函数。为特征方程，特征根决定系统稳定性当为正弦函数时系统的稳态输出，即频率响应与初始值有关与输入有关补函数特解函数48求解观察线性微分方程性能指标传递函数时间响应频率响应拉氏变换拉氏反变换估算估算计算傅氏变换S=jω频率特性系统数学模型与系统分析内容间的相互联系50例：求图2-14所示机械系统，在单位脉冲力作用下，质量m的运动规律。解：列出系统的微分方程：对其进行拉氏变换引入初始条件51对求其进行拉氏反变换