复旦大学计算机科学与工程系吴永辉离散数学集合论经典习题省公共课一等奖全国赛课获奖课件

集合论习题解析

——经典习题与考研习题经典习题一、集合基础二、二元关系三、函数四、概念综合练习考研习题北京大学、中科院计算所、中科院软件所、中科院自动化所、北京师范大学、中科院成都计算所、上海交通大学、西安交通大学、西南交通大学、北京航空航天大学、复旦大学等第1页一、集合基础1.1与1.2集合运算1.3幂集第2页1.1与1设A,B,C是任意3个集合，假如AB,BC,则AC可能吗？AC常真吗？举例说明。第3页AC可能A={1},B={{1}},C={{1},{{1}}}AC不常真A={1},B={{1}},C={{{1}}}第4页2设A,B是任意2个集合，A

B与

AB同时成立，这可能吗？第5页可能A={1},B={{1},1}.第6页3设A,B,C是集合，判断以下命题真假，假如为真，给出证实；假如为假，给出反例：1)AB,BCAC;2)

AB,BCAC;3)

AB,BCAC;4)

AB,BCAC;5)aA,AB

aB.第7页1）假A={1},B={2},C={{2}}

2）假A={1},B={2},C={{1}}3）假A={1},B={{1}},C={{1},1}第8页4）假A={1},B={{1},1}，C={{1},2}5）真子集定义第9页4设A,B,C是U子集，判断以下命题真假，假如为真，给出证实；假如为假，给出反例：1)ABAB=B;2)ABAB=A;3)ABAB=A;4)ABAB=B;5)ABA(B-A)=B;6)BA(A-B)B=A;第10页1）假，A=B时不成立/*

与

不一样*/分析：I)ABAB=B：因为BAB；对于任意xAB，假如xA,因为AB,所以xB,则对任意xAB，xB成立。所以AB=B。II)A=B

AB=B，但AB不成立。第11页2）假，A={1}，B={1，2}，不成立；3）假，A=B时不成立；4）假，A={1}，B={1，2}，不成立；5）假，A=B时不成立6）假，A={1，2}，B={1}，不成立；第12页1.2集合运算5设A,B,C是任意3个集合，（1）AB=AC，则B=C吗？（2）AB=AC，则B=C吗？（3）AB=AC且AB=AC，则B=C吗？第13页（1）假A={1,2},B={1},C={2}（2）假A={1},B={1,2},C={1,3}（3）真/*基本法、反证法证实*/设xB，假设xC。因为xB，所以x

AB；因为AB=AC，所以xAC；因为xC，所以x

A；又因为xB，所以xAB；因为AB=AC，所以xAC；则xC，这与xC矛盾。所以B=C。第14页6设A,B是任意2个集合，（1）若A-B=B，则A与B有何关系？（2）若A-B=B-A，则A与B有何关系？（3）若A

B=A

B，则A与B有何关系？（4）若AB=A，则A与B有何关系？/*用文氏图辅助*/第15页证实：(1)由A-B=B，可得出A=B=

。第16页(2)由A-B=B-A，可导出A=B。第17页(3)A=B第18页(4)B=

第19页7给出以下命题成立充分必要条件（1）(A-B)(A-C)=A（2）(A-B)(A-C)=（3）(A-B)(A-C)=（4）(A-B)(A-C)=/*等式推导*/第20页解：(1)1)：设(A-B)(A-C)=A，对任意x，xA，则xA-B或xA-C；则有第21页2）：设A

BC=，对任意x，xA，则xB或xC，则有第22页对任意x，x(A-B)(A-C)，则xA-B或

xA-C，则有第23页（2）

(A-B)(A-C)=(A-B)=或(A-C)=

AB而且ACABC所以，充要条件为ABC。第24页（3）1)设(A-B)(A-C)=，对任意x，xA，x(A-B)而且x(A-C)；所以xB-A或xC-A；则有xB或xC；得xBC。所以ABC。2)ABCAB或AC；所以A-B=或A-C=。得(A-B)(A-C)=。从而，(A-B)(A-C)=ABC。第25页（4）(A-B)(A-C)=((A-B)-(A-C))((A-C)-(A-B))=

(A-B)(A-C)而且(A-C)(A-B)

(A-B)=(A-C)第26页1.3幂集7设A,B是任意2个集合，证实：（1）ABP(A)P(B)（2）P(A)P(B)A

B（3）P(A)=P(B)A=B第27页/*利用基本法证实集合包含关系*/证实：(1)对任意xP(A),有xA,又因为AB，所以xB,即xP(B)；所以P(A)P(B)。(2)/*证实方法同(1)；*/对任意xA,则{x}P(A)，又因为P(A)P(B)，所以{x}P(B)，即xB；所以A

B。(3)由(1)和(2)证实导出。第28页二、二元关系1设R是集合A上关系（1）R是自反，则RR是自反；（2）R是对称，则RR是对称；（3）R是反自反和传递，则R是反对称；第29页/*证实思想：依据定义给出性质证实*/证实：（1）证实思想与（2）和（3）相同（2）设(a,b)

RR,则存在c,(a,c)

R,(c,b)

R;因为R是对称，所以(b,c)

R,(c,a)

R;所以(b,a)

RR。则RR是对称。（3）假设(a,b)

R,(b,a)R。因为R是传递，所以(a,a)R，(b,b)R；因为R是反自反，所以造成矛盾。第30页2设R是A上关系，若R是自反和传递，则R

R=R。其逆命题也成立吗？证实思想：证实R

R=R，1）证实R

R

R；2）证实R

R

R：第31页证实：1）证实R

R

R：设(a,b)

R

R，存在cA,使得(a,c)

R,(c,b)

R，因为R是传递，所以(a,b)

R；则R

R

R；2）证实R

R

R：设(a,b)

R，R是自反，(b,b)

R，所以(a,b)

R

R；则R

R

R。所以R

R=R。第32页自反不成立传递成立第33页特殊关系3设S={1,2,3,4}，并设A=SS，在A上定义关系R为：（a,b）R（c,d）当且仅当a+b=c+d。（1）证实R是等价关系；（2）计算出A/R。第34页（1）证实：/*依据等价关系定义证实*/1）/*证实R是自反；*/对于任意(a,b)SS，因为a+b=a+b，所以(a,b)R(a,b)，即R是自反。2）/*证实R是对称；*/假如(a,b)R(c,d)，则a+b=c+d，那么有c+d=a+b；所以(c,d)R(a,b)，即R是对称。3）/*证实R是传递；*/假如(a,b)R(c,d)，(c,d)R(e,f)，则a+b=c+d，c+d=e+f；所以a+b=e+f，得(a,b)R(e,f)，即R是传递。第35页（2）假如(a,b)R(c,d)，则a+b=c+d，所以依据和数来划分。第36页4设R,S是A上等价关系，证实：R

S是A上等价关系

R

S=S

R。第37页证实思想：1）R

S是A上等价关系

R

S=S

R；证实(i)R

S

S

R；(ii)S

R

R

S；2）R

S=S

R

R

S是A上等价关系；证实R

S是(i)自反；(ii)对称；(iii)传递；第38页证实：1）R

S是A上等价关系

R

S=S

R：假如(a,b)

R

S,因为R

S是对称，所以(b,a)

R

S,所以存在cA,使得(b,c)

R,(c,a)

S；因为R和S是对称，所以(c,b)

R,(a,c)

S；则(a,b)

S

R；同理，S

R

R

S；第39页2）R

S=S

R

R

S是A上等价关系：/*证实R

S是自反、对称比较轻易*/第40页传递性证实：对任意a,b,cA，假如(a,b)

R

S,(b,c)

R

S，因为R

S=S

R，则有(b,c)

S

R，即存在e,fA，使(a,e)

R，(e,b)

S，(b,f)

S，(f,c)

R。因为S是传递，(e,b)

S，(b,f)

S，所以(e,f)

S；因为(a,e)

R，所以(a,f)

R

S；R

S是对称，则(f,a)

R

S；因为R是对称，(f,c)

R，则(c,f)

R。因为(f,a)

R

S，则存在gA，使得(f,g)

R，(g,a)

S；因为R是传递，由(c,f)

R，(f,g)

R，则(c,g)

R；因为(c,g)

R，(g,a)

S，所以(c,a)

R

S。因为已经证实，R

S是对称，所以(a,c)

R

S。第41页函数12设f:XY是函数，A,B是X子集，证实：（1）f(AB)f(A)f(B)（2）f(AB)=f(A)f(B)（3）f(A)-f(B)f(A-B)第42页/*基本法证实*/证实：（1）对任意yf(AB)，存在x，xAB，使得y=f(x)。因为xA，所以yf(A)；因为xB，所以yf(B)。所以yf(A)f(B)。则f(AB)f(A)f(B)。第43页13设R是A上一个二元关系，S={(a,b)|a,b

A而且对于某个c

A，有(a,c)

R且(c,b)

R}。证实：若R是A上等价关系，则S是A上等价关系。/*证实是S自反、对称和传递*/第44页四、概念综合练习一、选择题（北京理工大学考研）1以下集合运算中（）对满足分配律。A)B)C)¯D)

第45页2A、B是集合，P(A)、P(B)为其幂集，且AB=，则P(A)P(B)=（）A)

B){}C){{}}D){,{}}第46页3A、B是集合，以下各式除（）之外，均与A

B等价。A)A

B

BB)AB=BC)AB=AD)ABB2第47页4R是集合A上自反关系，则（）A)RоRB)R

RоRC)R

R-1=IAD)Rо

R-1=IA第48页5集合A中有n个元素，则A上共有（）个既对称又反对称关系。A)0B)2nC)n2D)2n第49页6R是可传递二元关系，则在RR-1,RR-1,R-R-1,R-1-R中，有（）个一定是可传递。A)1B)2C)3D)4第50页7函数f:R

R，其中R为实数集合，以下四个命题中（）为真。A)f(x)=5是内射B)f(x)=5是满射C)f(x)=5是双射D)A),B),C)都不真第51页8集合A到B共有64个不一样函数，则B中元素不可能是（）个。A)4B)8C)16D)64第52页二、选择题（北京理工大学1999）1已知A

B={1,2,3}，AC={2,3,4}，若2B，则

。A)1CB)2CC)3CD)4C第53页2对任何二元关系R，在RR-1,RR-1,RR-1,RR-1中有

个一定是对称关系。A)1B)2C)3D)4第54页3R={(1,4),(2,3),(3,1),(4,3)},则

t(R)。A)(1,1)B)(1,2)C)(1,3)D)(1,4)第55页集合论——考研习题考研习题一、集合基础二、二元关系三、函数第56页一、集合基础1.1集合运算——容斥原理1.2集合运算——证实1.3幂集1.4相类似练习题目第57页1.1集合运算——容斥原理中国科学院自动化所1997120个学生参加考试，考试有A、B和C3道题，考试结果以下：12个学生3道题都做对了，20个学生做对A和B，16个学生做对A和C，28个学生做对B和C，做对A有48个学生，做对B有56个学生，有16个学生一道也没有做对。试求做对了C学生有多少个？直接使用容斥原理第58页解：设做对A题学生集合为PA，做对B题学生集合为PB，做对C题学生集合为PC。/*依据容斥原理，列出计算式*/|PAPBPC|=12,|PAPB|=20,|PAPC|=16,|PBPC|=28,|PA|=48,|PB|=56,

第59页/*依据容斥原理，进行计算*/|PAPBPC|=120-16,|PAPBPC|=|PA|+|PB|+|PC|-|PAPB|-|PAPC|-|PBPC|+|PAPBPC|,所以|PC|=20+16+28+104-12-48-56=52，做对C题学生为52人。第60页容斥原了解题总结使用容斥原理时，首先搞清论域，划定全集；其次对全集进行分类，列出计算式；最终依据容斥原理公式进行计算。第61页北京师范大学证实容斥原理：设A1,A2,……,An都是有限集，则|A1A2……An|=其中：{i1,i2,…in}是遍历{1,2,…,n}全部k元子集。/*证实思想：数学归纳法*/第62页证实：1）归纳基础：当k=2时，集合A1和A2公共元素个数为|A1A2|，这些元素中每一个在|A1|+|A2|里计算了两次，但在|A1A2|中是作为一个元素计算。所以有|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|。所以，当n=2时，命题成立。第63页2）归纳步骤：第64页当k=n时，|A1A2……An|=|(A1A2……An-1)An|=|(A1A2……An-1)|+|An|-|(A1A2……An-1)An|因为|(A1A2……An-1)An|=|(A1An)(A2An)……(An-1An)|/*n-1个集合并，依据归纳假设展开*/第65页北京师范大学设S为任一集合，证实在S与其幂集P(S)之间不存在1-1对应。第66页1.2集合运算——证实基本法、公式法第67页中国科学院软件所19981对于任意集合A和B，证实:(1)P(A)P(B)P(AB),

(2)P(A)P(B)=P(AB)；并举例说明P(A)P(B)P(AB)。/*幂集定义：P(A)={x|xA}*/第68页（1）/*基本法*/对任意x

P(A)P(B)，有x

P(A)或xP(B)。若x

P(A)，则x

A，所以x

AB，即x

P(AB)；同理，若xP(B)，则xB，所以x

AB，即x

P(AB)。总而言之，P(A)P(B)P(AB)。第69页（2）/*基本法*/对任意xP(A)P(B)，有x

P(A)且xP(B)。即x

A而且xB，则x

AB。所以xP(AB)。故P(A)P(B)P(AB)。对任意xP(AB)，有x

AB，即x

A而且xB，所以x

P(A)且xP(B)。所以P(AB)P(A)P(B)。总而言之，P(A)P(B)=P(AB)。第70页举例说明P(A)P(B)P(AB)。A={1},B={2},AB={1,2};P(A)={,{1}},P(B)={,{2}},P(A)P(B)={,{1},{2}},P(AB)={,{1},{2},{1,2}};所以P(A)P(B)P(AB)。第71页中国科学院计算所19982证实：若(A-B)(B-A)=C，则A(B-C)(C-B)充分必要条件是ABC=。证实思想：（1）充分性，即证实：若ABC=，则A(B-C)(C-B)；基本法证实；（2）必要性，即证实：若A(B-C)(C-B)，则ABC=；反证法证实。第72页证实：（1）对于任意aA，因为ABC=，所以aBC，则a有3种情况：I)aB，但aC，则aC-B，所以a(B-C)(C-B)；II)aB，但aC，则aB-C，所以a(B-C)(C-B)；III)aB且aC，因为aA，所以aA-B，所以a

(A-B)(B-A)，即aC，造成矛盾，所以aB且aC不可能出现。总而言之，对于任意aA，a

(A-B)(B-A)，所以A(B-C)(C-B)。第73页证实：（2）假设ABC，则存在a，a

ABC，即a

A，aB，且aC。所以aB-C，aC-B。则a(B-C)(C-B)。因为A(B-C)(C-B)，a

A，所以造成矛盾。所以ABC=。第74页北京大学19983给出集合表示式(A-C)B=AB成立充要条件.第75页

第76页北京大学1994判断题，为真给出证实，为假给出反例：1）{}{x}-{{x}}2）若AB=AC，则B=C。3）R是A上关系，则R=R2充要条件是R=IA。第77页1.3幂集幂集运算：代数法第78页北京大学19971设A为集合，B=P(A)-{

}-{A}，且B

。求偏序集(B,

)极大元，极小元，最小元。第79页因为B

，所以|A|>1。对任意xA,A-{x}是极大元，{x}是极小元，无最小元。第80页北京大学19992设A={

,{

}}，计算P(A)-{

},

P(A)

A。第81页/*代数法求P(A)*/设x=

,y={

}，A={x,y},P(A)={

,{x},{y},{x,y}};P(A)={

,{

},{{

}},{

,{

}}};P(A)-{

}={

,{{

}},{

,{

}}};P(A)

A={{{

}},{

,{

}}};第82页上海大学19983设A是集合，A元素也是集合，P(A)是A幂集。定义A={x|yA,xy}（1）计算{{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}；（2）证实P(A)=A；（3）请问P(A)=A？解题要素：A（广义并）和幂集定义；基本法第83页（1）计算{{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}解：

{{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}={a,b,c}{a,d,e}{a,f}={a,b,c,d,e,f}第84页（2）证实P(A)=A证实：对任意xP(A)，则存在yP(A)，xy；因为yP(A)，所以yA；所以xy，则有P(A)A；对任意xA，设y={x}，则yA。所以yP(A)。所以xP(A)。所以P(A)=A。第85页（3）请问P(A)=A？不成立。反例：（1）

A={{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}A={a,b,c,d,e,f}P(A)A第86页上海交通大学19984C是非空集合族，证实：P(C)={P(X)|XC}证实方法：基本法，集合族概念第87页证实：任取x

P(C)，则xC，所以对于任意ax，有aC；对于任意XC，有aX；那么xX，即x

P(X)。由X任意性，也即x{P(X)|XC}。所以P(C){P(X)|XC}。任取x{P(X)|XC}，则对于任意XC，有xP(X)，即xX。因为XC，对于任意ax，有aX；所以aC。所以xC，即x

P(C)。所以{P(X)|XC}P(C)。所以P(C)={P(X)|XC}。第88页中科院成都计算所5设A是一有限集，A基数为|A|。证实：A幂集P(A)基数|P(A)|=2|A|。第89页1.4相类似题目1A,B是两个集合，给出AB=B充分必要条件是什么，并证实你结论。/*南京理工大学*/第90页2判断以下各式是否成立，假如成立，则证实之，不然举出反例。（1）P(A)P(B)=P(AB),

（2）(AB)C=(AC)(BC)上海交通大学第91页3证实P(A)P(B)P(AB)，并说明等号成立条件。上海交通大学1999第92页4设A,B,C,D为4个非空集合，则ABCD充分必要条件是

。/*重庆大学1998*/第93页二、二元关系关系及其性质与运算等价关系与划分序关系第94页关系及其性质与运算第95页北京大学19971设R={(x,y)|x,yN而且x+3y=12}，求R2。解题思绪：将R全部元素列出，求R与它本身复合所得关系第96页解：R={(0,4),(3,3),(6,2),(9,1),(12,0)}R2={(3,3),(12,4)}第97页北京大学19902设R是复数C上二元关系，且满足xRyx-y=a+bi，a和b为非负整数，试确定R性质（自反、反自反、对称、反对称和传递），并证实之。第98页北京大学19943判断题，为真给出证实，为假给出反例：R是A上二元关系，则R=R2

R=IA。第99页武汉大学19994设A={a,b,c}，给出A上一个二元关系R，使其同时不满足自反、反自反、对称、反对称和传递性。第100页武汉大学19985设A={1,2,3}，R是P(A)上二元关系，且R={(a,b)|ab}。则R不满足以下哪些性质？为何？1)自反2)反自反3)对称4)反对称5)传递性第101页等价关系与划分第102页中科院成都计算所1设R是集合A上一个传递和自反关系，T是A上一个关系，使得(a,b)属于T当且仅当(a,b)和(b,a)都属于R。证实：T是一个等价关系。第103页西南交通大学19972设X和Y都是正整数集，xiX,yiY,i=1,2.[1]以下关系是否是等价关系？证实你结论。1)R={((x1,x2),(y1,y2))|x1+y2=x2+y1}2)R={((x1,x2),(y1,y2))|x1+y1=x2+y2}[2]若R是等价关系，定义集合M,M={(0,2),(1,2),(2,4),(3,4),(4,6),(5,6),……}。试给出它等价类。第104页西南交通大学19983设S={1,2,3}，定义SS上关系R为：对任意(a,b),(c,d)SS，有((a,b),(c,d))a+d=b+c，证实：R为SS上等价关系并给出SS/R。第105页上海交通大学4设P是X上等价关系，Q是Y上等价关系，关系R满足((x1,y1),(x2,y2