数学（人教版必修3）练习3.习题课随机事件的概率与古典概型

第三章习题课(时间：45分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1，－2)，则向量m与向量n垂直的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,18)解析：∵m⊥n，∴m·n＝0，即a－2b＝0.∴a＝2b.掷骰子两次，共有36个基本事件，其中第一次点数是第二次点数2倍的情况有(2,1)，(4,2)，(6,3)，∴概率P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)．答案：B2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取两个不相同的数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A＝{点落在x轴上}与事件B＝{点落在y轴上}的概率关系为()A．P(A)＞P(B) B．P(A)＜P(B)C．P(A)＝P(B) D．不确定解析：横坐标为0与纵坐标为0的可能性是一样的．答案：C3．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则概率为eq\f(8,9)的事件是()A．颜色全同 B．颜色不全同C．颜色全不同 D．无红球解析：有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)；颜色不全相同的结果有24种，其概率为eq\f(24,27)＝eq\f(8,9)；颜色全不同的结果有6种，其概率为eq\f(6,27)＝eq\f(2,9)；无红球的情况有8种，其概率为eq\f(8,27)，故选B．答案：B4．(2015·高考全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，那么称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A．eq\f(3,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,10) D．eq\f(1,20)解析：列举出所有结果，并分析其中的勾股数，根据古典概型求解．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为eq\f(1,10).故选C．答案：C5．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为()A．0.852 B．0.8192C．0.8 D．0.75解析：本题主要考查随机模拟法，考查学生的逻辑思维能力．因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1－eq\f(5,20)＝eq\f(3,4)．答案：D6．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)解析：∵甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中两人参加同一个小组的事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3个，∴两人参加同一个小组的概率为eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)．答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)7．在1,3,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客等候1路或3路公共汽车，假定当时各路公共汽车首先到站的可能性相等，则首先到站的正好是这位乘客所要乘的公共汽车的概率是________．解析：∵4种公共汽车先到站有4个结果，且每种结果出现的可能性相等，“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2个，∴P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)．答案：eq\f(1,2)8．从含有3件正品、1件次品的4件产品中不放回地任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是________________．解析：从4件产品中不放回地任取两件，共有6个基本事件，事件“取出的两件中恰有一件次品”的基本事件有3个，故概率为eq\f(1,2)．答案：eq\f(1,2)9．(2014·高考广东卷)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．解析：从a，b，c，d，e中任取两个不同字母的所有基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个，其中取到字母a的有4个，故所求概率为eq\f(4,10)＝0.4．答案：0.410．在集合{1,2,3}中有放回地先后随机取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个两位数，则“个位数与十位数不相同”的概率是________．解析：根据题意，在集合{1,2,3}中有放回地先后随机取两个数，基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种情况；按照取的先后顺序组成一个两位数后，其中个位数与十位数相同的有3种，即(1,1)，(2,2)，(3,3)，则“个位数与十位数不相同”的有9－3＝6种，则其概率为eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)．答案：eq\f(2,3)三、解答题11．(本小题满分12分)(2014·高考天津卷)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果．(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)．12．(本小题满分13分)班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率．(2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率．解：(1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A1表示事件“连续抽取2人是一男一女”，A2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A1与A2互斥，并且A1∪A2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A1的结果有12种，A2的结果有2种，故由互斥事件的概率加法公式，可得P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(12,20)＋eq\f(2,20)＝eq\f(7,10)＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7．(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.第二次抽取第一次抽取123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,