经济学平均指标和标志变异指标

本章主要内容第一节平均指标的意义和种类第二节平均指标的计算与分析第三节标志变异指标的计算与分析第一节平均指标的意义和种类

一、平均指标的意义

（一）平均指标的概念

将总体各单位之间的数量差异抽象化；

是一个代表值，代表总体各单位数量特征一般水平

（二）作用

平均指标可以反映总体的一般水平

可以对不同时间和空间的平均指标进行比较

算术平均数可以反映总体分布的集中趋势。第一节平均指标的意义和种类二、平均指标的种类数值平均数：算术平均数、调和平均数、几何平均数位置平均数：中位数、众数

第二节平均指标的计算和分析

一、算术平均数

1、基本公式

算术平均数=总体标志总量÷总体单位总量注意：

分子与分母是同一总体的两个总量指标，分子中的每个标志值须由分母的每一个总体单位来承担。

总体标志总量的标志是数量标志。

2、简单算术平均数例1：有6名学生的《英语》考试成绩分别为：81、82、85、89、92、93分，则平均考试成绩为:

（81+82+85+89+92+93）÷6=87（分）

以公式表示：对于变量数列x1x2x3

…xn有

3、加权算术平均数例2：某厂金工车间20名工人加工某种零件的产量资料如下：

20名工人零件生产数量分组资料产量x（件）人数f（人）总产量x*f（件）14151617182485128601288518合计20319以公式表示：对于变量数列x1x2x3

…xn有如果掌握的资料是组距式数列，应先计算各组的组中值以代表该组内各单位的一般水平，而后按上述方法计算其平均数

工资（元）组中值x人数（人）f工资总额（元）x·f800以下800~10001000~12001200~15001500以上7009001100135016506142610442001260028600135006600合计—6065500例3：某贸易公司60名员工月工资分组资料如下：

注意：（见例）

1、权数对算术平均数数值的影响并不取决于各组次数本身绝对数值的大小，而是取决于各组次数占总次数的比重大小（权重）。若标志值小的一方权重大，计算结果就将偏向于小的一方；若标志值大的一方权重大，计算结果就将偏向于大的一方。

2、各组标志值不变，各组次数扩大或缩小相同的倍数，其平均数值不变。

3、如果各组次数相等，加权算术平均数就等于简单算术平均数。

在许多情况下，我们可以直接用各组次数占总次数的比重来求加权算术平均数

例4：某贸易公司60名员工月工资分组资料工资（元）组中值（元）X人数比重（%）ƒ/∑ƒ工资×比重800以下800~10001000~12001200~15001500以上70090011001350165010.023.343.316.76.770.00209.70476.30225.45110.55合计—100.01092

加权算术平均数不仅受各组标志值x大小的影响，而且受各组次数f多少的影响，它对平均数的影响有权衡轻重的作用，所以又称为权数。权数的意义

4、算术平均数的数学性质

①各个变量值与平均数离差之和等于零证明加权算术平均数简单算术平均数证明②各个变量值与平均数离差平方之和为最小值证明：设x0为不等于平均数的任意值，则：代入以x0

为中心的离差平方和，得

平均数的这一性质说明：以任意不为平均数的数值为中心计算的离差平方和总大于以平均数为中心计算的离差平方和，因此，算术平均数是误差最小的总体代表值。

二、调和平均数

根据所掌握的资料不同，调和平均数有简单和加权两种。

1、简单调和平均数

例5：有一种蔬菜，早晨的价格每千克0.5元，中午0.2元，晚上0.1元。如果早、中、晚各买1元钱的蔬菜，则当天所买的蔬菜平均价格是多少？

以公式表示

2、加权调和平均数

简单调和平均数是在各标志总量对平均数起同等作用的条件下应用的，但在许多条件下，各标志总量对平均数的作用是不同的

例6

化工厂2008年11月购进三批A原料，每批的价格及金额如下：A原料的购入价格和金额资料批次价格（元/公斤）x金额（元）m购进数量（公斤）m/x第一批第二批第三批505560110002750018000220500300合计—565001020

3、由相对数或平均数计算平均数

一般原则：根据算术平均数的基本公式，如果掌握了基本公式的分母资料，缺少分子资料，应以分母资料作权数，采用加权算术平均法；如果掌握了基本公式的分子资料，缺少分母资料，应以分子资料作权数，采用加权调和平均法。

三、几何平均数

它是计算平均比率或平均速度最适用的一种方法。因为几何平均数的数学性质与社会经济现象发展的平均比率和平均速度形成的客观过程是一致的。

凡是变量值的连乘积等于总比率或总速度的场合都适宜用几何平均法计算平均比率或平均速度。几何平均数也分简单几何平均数和加权几何平均数两种

1、简单几何平均数

简单几何平均数是N个变量值（比率）连乘积的N次方根，计算公式为：

例8

希望机械厂生产的机床要经过四个连续作业车间才能完成。2003年一季度第一车间铸造产品的合格率为95%，第二车间粗加工产品的合格率为93%，第三车间精加工产品的合格率为90%，第四车间组装的合格率为86%，则该企业的产品合格率为多少？

2、加权几何平均数当计算几何平均数的每个变量值（比率）的次数不相同时，则应用加权几何平均法，其计算公式为：

四、位置平均数──中位数和众数

1、中位数由未分组资料确定中位数总体单位数为奇数时：

中位数是处在第(n+1)/2项位置的标志值

例10

、一个科室有9人，年龄分别为24、25、25、26、26、27、28、29、55岁，则中位数为26岁总体单位数为偶数时：中位数是第n/2项和第（n+2）/2项两个标志值的平均数如例10去掉24，则中位数是第4项和第5项标志值26和27的平均数(26+27)÷2=26.5岁

由已分组资料确定中位数单项数列：首先确定中位数位次，∑f/2；然后确定中位数组，该组的变量值就是中位数组距数列：首先确定中位数位次，∑f/2；然后按照公式计算中位数中位数组以下组累计次数中位数组以上组累计次数下限公式上限公式

例112010年某地大学生消费支出调查资料月消费额组中值（元）调查人数（人）累计人数（人）300以下300~400400~500500~600600~700700以上250350450550650750801804302207020802606909109801000合计——1000——

中位数的位置为1000/2=500，可知月消费金额位居第500位的学生在月消费额400—500元这个组，中位数为：2、

众数

出现次数最多的变量值即为众数（1）根据单项数列确定众数例12：佳美超市2004年3月各种包装的味精销售情况：按包装分组（克）销售量（袋）102550751005001000305235714643172众数为50克

（2）由组距数列计算众数先根据各组次数确定众数所在的组，这时应注意各组组距是否相等，如不等则要考虑组距对次数的影响，然后利用下列公式计算众数。下限公式

L：众数组的下限Δ1

：众数组次数与下一组次数之差Δ2

：众数组次数与上一组次数之差

I：众数组的组距上限公式

根据例11资料计算

五、各种平均数之间的关系

1、算术平均数和几何平均数、调和平均数的关系

如果根据同一资料计算，则调和平均数最小，几何平均数居中，算术平均数最大，即：算术平均数≥几何平均数≥调和平均数例13：有1、3、6、7、9五个数，计算：（2）的关系对称分布左偏分布右偏分布

六、计算和应用平均指标应注意的问题

1、

同质性

2、

总平均数与组平均数结合

3、

总平均数与分布数列结合

4、

平均数与典型事例结合

5、

平均数与变异分析相结合第三节标志变异指标

一、标志变异指标的概念和作用

1、概念：反映总体各标志值间差异程度的,且能衡量总体平均数的代表性。

2、作用：（1）标志变异指标是衡量平均数代表性大小的尺度（2）标志变异指标可以反映社会经济活动过程的节奏性和均衡性二、标志变异指标（一）极差（全距）：总体各单位变量值中最大值与最小值之差

R=最大变量值–

最小变量值优点：计算简便缺点：易受极端值的影响举例：5名学生的成绩为50、69、76、88、97则R=97-50=47对于组距数列：极差=最高一组的上限值–

最低一组的下限值（二）平均差（A.D)1、简单平均差公式：应用条件：资料未分组，各变量值出现的次数为1。举例：5名工人日产量资料日产量(件)203221230241263合计82、加权平均差公式：应用条件：资料经过分组，各组次数不同。举例：按日产量分组（公斤）工人数f组中值x20—30102517030—40703549040—50904527050—603055390合计200—13203、平均差的优缺点优点：平均差是根据全部数值计算的，受极端值影响较全距小。缺点：由于采取绝对值的方法消除离差的正负号，应用较少。

（三）标准差（）1、简单标准差公式：应用条件：资料未分组，各组次数都是1。举例：前例，日产量（件）209221230241269合计202、加权标准差公式：应用条件：资料经过分组，各组次数不同。举例：前例，日产量（公斤）工人数f组中值x20—301025288030—407035343040—50904581050—6030555070合计200—12190

例16

根据例11某地大学生2002年消费情况计算人月消费额的方差和标准差（平均458元）月消费额（元）组中值x人数f300以下300~400400~500500~600600~700700以上250350450550650750801804302207020-208-108-892192292432641166464846436864852643461120209952027520186208025804801705280合计—1000——11736000

计算结果表明，每个大学生的月消费额与平均数相比，平均相差108.33元。方差与标准差用于测度数据的离散程度作用是一致的，但标准差的计量单位与变量值的计量单位相同，其实际意义比方差清楚，所以通常在对社会经济现象进行分析时，更多使用标准差来测度统计数据的差异程度。

(四）是非标志的平均数和标准差

在社会经济活动中，常常存在这样的总体，其全部单位由具有某一标志的单位和不具有某一标志的单位两部分组成。这种将总体划分为“有”与“无”或者“是”与“非”的标志被称为是非标志（交替标志）。设：1——表示具有所研究的变量值N——总体单位数0——表示不具有所研究的变量值N1——具有所研究变量值的单位数N0——不具有所研究变量值的单位数两部分单位数占全部单位数的成数（比重）可表示为：

P=N1/N总体中具有所研究变量值的单位数所占的成数；

Q=N0/N总体中不具有所研究变量值的单位数所占的成数两个成数之和等于1，即：

现说明用是非标志计算平均数与标准差的方法如下：是非标志x总体单位数（成数）f变量×总体单位数xf离差离差平方离差平方加权10PqP01–p0-p合计1p————是非标志的算术平均数为：

是非标志的标准差为：

例17

某机械厂铸造车间本月生产6000吨铸件，其中合格品5400吨，不合格品600吨。其是非标志的平均数、标准差、方差计算如下：（五）标志变异系数（离散系数）

为了消除变量值平均水平和计量单位不同对离散程度的测度值的影响，需要计算离散系数离散系数通常是就标准差来计算的标准差系数

离散系数大，说明数据的离散程度大，其平均数的代表性就差；离散系数小，说明数据的离散程度小，其平均数的代表性就大销售额标准差系数利润额标准差系数

例18：某公司下属67家连锁超市2002年平均销售额为727.09万元，销售额标准差为65.44万元；同期销售利润平均为87.28万元，销售利润额标准差为12.64万元。比较商品销售额与销售利润的离散程度。6、偏态和峰度（自学）

（1）偏态用以测定一个数列次数分布的非对称程度的统计指标。

变量数列的单峰钟形分布有对称分布和非对称分布。

相对于频数分布的对称分布，偏度有右偏（正偏）和左偏（负偏）测定：

利用算术平均数与位置平均数的关系

绝对偏态偏态=算术平均数—

众数

若算术平均数等于众数，则偏态系数等于零，表明这组频数分布是对称的若算术平均数大于众数，则偏态系数等于正值，表明这组频数分布是右偏若算术平均数小于众数，则偏态系数等于负值，表明这组频数分布是左偏

根据例11资料计算可以判断该地大学生消费支出呈右偏分布

算术平均数与位置平均数之差大小受该组变量值水平高低的影响；不同研究总体，若性质、计量单位不同，或性质、计量单位相同但变量值水平不同，其偏态的绝对数也是不可比的相对偏态

偏态系数：绝对偏态与数列原有的标志值的标准差之比计算公式

例24：根据例11某地大学生消费支出资料计算偏态系数已知平均数为458元，众数454.35元，标准差108.3元，则：

表明该地大学生月消费支出的频数分布属于正偏分布，众数对算术平均数的偏斜程度为3.37%，即存在轻微程度的偏态分布在计算偏态系数时，如果公式中的众数不易计算，可用中位数代替已知

偏态系数实际上是以标准差为单位的算术平均数与众数的离差，因而其数值的变动范围，一般应在0与+3及0与-3之间;

偏态系数为0表示对称分布，+3表示极右偏，-3表示极左偏。

（2）峰度及其测定