2024-2025学年高中数学 第1章 计数原理 1.3 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质（教师用书）教案 新人教A版选修2-3

2024-2025学年高中数学第1章计数原理1.31.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质（教师用书）教案新人教A版选修2-3主备人备课成员教材分析“2024-2025学年高中数学第1章计数原理1.31.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质（教师用书）教案新人教A版选修2-3”这一章节的内容主要涉及杨辉三角和二项式系数的性质。在教学过程中，需要结合课本内容，让学生掌握杨辉三角的定义、性质以及与其相关的二项式系数的性质。通过本章节的学习，使学生能够熟练运用杨辉三角和二项式系数的性质解决一些实际问题，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。在课程设计中，要注重理论与实践相结合，通过丰富的例题和习题，使学生更好地理解和掌握所学知识。同时，要注重学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在课堂上得到有效的学习和提高。核心素养目标本章节的教学旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过学习杨辉三角和二项式系数的性质，学生能够抽象出数学模型，运用逻辑推理得出结论，并将其应用于解决实际问题。同时，通过探索杨辉三角的规律，学生能够培养观察、分析和解决问题的能力，提高数学思维的敏捷性和灵活性。此外，通过合作交流和表达，学生能够提升数学交流能力和团队合作意识，从而全面发展数学核心素养。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识。

在开始本章节的学习之前，学生应该已经掌握了初中数学中的排列组合知识，以及高中数学中的函数、代数等基本概念。此外，学生应该对之前学过的数学定理、公式有一定的理解和运用能力。这些知识将为学生学习杨辉三角和二项式系数的性质奠定基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格。

在学习本章节时，学生可能会对杨辉三角的神奇性质和二项式系数的应用产生浓厚兴趣。在学习能力方面，学生需要具备一定的逻辑推理能力和观察能力，以便能够发现并理解杨辉三角和二项式系数的性质。此外，学生的学习风格各异，有的喜欢通过实例理解概念，有的则更喜欢通过公式推导来掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战。

在学习本章节的过程中，学生可能会遇到以下困难和挑战：

（1）理解杨辉三角的定义和性质：部分学生可能对杨辉三角的概念和性质理解不够深入，导致无法熟练运用相关知识解决问题。

（2）掌握二项式系数的计算方法：学生可能对二项式系数的计算方法不够熟悉，难以将其应用于实际问题。

（3）解决实际问题：在将杨辉三角和二项式系数的性质应用于解决实际问题时，部分学生可能缺乏解题思路和方法。

（4）学习兴趣的保持：在学习的过程中，部分学生可能因为杨辉三角和二项式系数的性质较为抽象，而逐渐失去学习兴趣。

针对以上困难和挑战，教师在教学过程中应注重引导，通过丰富的例题和习题，帮助学生深入理解杨辉三角和二项式系数的性质。同时，要关注学生的个体差异，因材施教，提高每个学生的学习效果。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、白板、黑板、粉笔、教学课件。

2.课程平台：学校提供的网络教学平台，用于上传教学资料、布置作业和交流讨论。

3.信息化资源：与本章节相关的数学教学视频、动画、在线习题库等。

4.教学手段：讲解、示范、练习、小组讨论、互助学习等。

5.教具：杨辉三角模型、二项式系数示例牌等。

6.参考资料：教师用书、教学指导手册、历年高考题目及解析等。

7.作业与评估：在线习题、课堂练习、小组项目、个人报告等。教学流程一、导入新课（用时5分钟）

同学们，今天我们将要学习的是《杨辉三角与二项式系数的性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要按照一定顺序排列事物的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索杨辉三角和二项式系数的奥秘。

二、新课讲授（用时10分钟）

1.理论介绍：首先，我们要了解杨辉三角的基本概念。杨辉三角是一种特殊的三角形数表，它是……（详细解释概念）。它在数学中有着重要的地位，可以用来……（解释其重要性或应用）。

2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了杨辉三角在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调杨辉三角的性质和二项式系数的性质这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

三、实践活动（用时10分钟）

1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与杨辉三角和二项式系数相关的实际问题。

2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示杨辉三角的基本原理。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.讨论主题：学生将围绕“杨辉三角和二项式系数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

五、总结回顾（用时5分钟）

今天的学习，我们了解了杨辉三角的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二项式系数的性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

a.《数学年鉴》：介绍杨辉三角的历史背景、发展及其在数学领域中的应用。

b.《组合数学》：深入研究组合数学中的杨辉三角和二项式系数的性质，拓展学生的知识面。

c.《数学建模》：通过实例分析，介绍如何利用杨辉三角和二项式系数的性质解决实际问题。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

a.研究杨辉三角与其他数列的关系，如斐波那契数列等。

b.探索杨辉三角在数论、概率论等数学领域中的应用。

c.尝试编写程序或制作动画，形象地展示杨辉三角的形成过程及其性质。

d.调查生活中杨辉三角和二项式系数的应用实例，如排列组合问题、概率问题等，并撰写调查报告。

e.参加数学竞赛或研究性学习，深入探究杨辉三角和二项式系数的性质及其在实际问题中的应用。

f.举办杨辉三角知识讲座或制作手抄报，向其他同学宣传杨辉三角的相关知识。典型例题讲解1.例题一：已知杨辉三角的前n行，求第n+1行的第一个数。

解析：此题考查对杨辉三角的理解和递推关系的运用。杨辉三角的第n+1行的第一个数等于第n行的两个相邻数的和。即，第n+1行的第一个数=第n行的第1个数+第n行的第2个数。

答案：第n+1行的第一个数=第n行的第1个数+第n行的第2个数。

2.例题二：已知杨辉三角的前n行，求第n+1行的第m个数（1≤m≤n+1）。

解析：此题同样考查对杨辉三角的理解和递推关系的运用。第n+1行的第m个数等于第n行的第m-1个数与第m个数的和。即，第n+1行的第m个数=第n行的第m-1个数+第n行的第m个数。

答案：第n+1行的第m个数=第n行的第m-1个数+第n行的第m个数。

3.例题三：已知杨辉三角的第n行的第m个数，求第n+1行的第m-1个数和第m个数。

解析：此题考查对杨辉三角的性质的理解。杨辉三角的第n行的第m个数等于第n+1行的第m-1个数与第m个数的和。即，第n行的第m个数=第n+1行的第m-1个数+第n+1行的第m个数。

答案：第n+1行的第m-1个数=第n行的第m个数-第n+1行的第m个数；第n+1行的第m个数=第n行的第m个数+第n+1行的第m个数。

4.例题四：已知杨辉三角的第n行的第m个数，求第n+1行的第m-2个数、第m-1个数和第m个数。

解析：此题同样考查对杨辉三角的性质的理解。杨辉三角的第n行的第m个数等于第n+1行的第m-2个数、第m-1个数和第m个数的和。即，第n行的第m个数=第n+1行的第m-2个数+第n+1行的第m-1个数+第n+1行的第m个数。

答案：第n+1行的第m-2个数=第n行的第m个数-第n+1行的第m-1个数-第n+1行的第m个数；第n+1行的第m-1个数=第n行的第m个数-第n+1行的第m个数；第n+1行的第m个数=第n行的第m个数+第n+1行的第m个数。

5.例题五：已知杨辉三角的第n行的第m个数，求第n+2行的第m-2个数、第m-1个数和第m个数。

解析：此题考查对杨辉三角的性质的理解和递推关系的运用。杨辉三角的第n行的第m个数等于第n+2行的第m-2个数、第m-1个数和第m个数的和。即，第n行的第m个数=第n+2行的第m-2个数+第n+2行的第m-1个数+第n+2行的第m个数。

答案：第n+2行的第m-2个数=第n行的第m个数-第n+2行的第m-1个数-第n+2行的第m个数；第n+2行的第m-1个数=第n行的第m个数-第n+2行的第m个数；第n+2行的第m个数=第n行的第m个数+第n+2行的第m个数。板书设计-杨辉三角是一种特殊的三角形数表，每一行的数都是前一行相邻两数之和。

-例如，第1行是1，第2行是1+1=2，1+2=3，第3行是1+3=4，