2021-2022学年高一下学期期中检测卷 数学（一）

此卷只装订不密封班级姓名准考证号此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（）A． B． C． D．2．在中，，则（）A．1 B．2 C． D．3．圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的体积为（）A． B． C． D．4．用斜二测画法得到的平面多边形直观图的面积为，则原图形面积为（）A． B． C． D．5．已知向量，，满足，，，则的最小值为（）A． B． C． D．6．在平行四边形中，，点P为平行四边形所在平面内一点，则的最小值是（）A． B． C． D．7．两个不同的圆锥的底面是球O的同一截面，顶点均在球O表面上，若球O的体积为V，则这两个圆锥体积之和的最大值为（）A． B． C． D．8．已知在三角形中，，，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题是真命题的是（）A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量C．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上D．若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上10．如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形11．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（）A．若是锐角三角形，则B．若，则是等腰三角形C．若，则是等腰三角形D．若是等边三角形，则12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）A．该半正多面体的体积为B．该半正多面体过三点的截面面积为C．该半正多面体外接球的表面积为D．该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若复数为纯虚数（），则_______．14．已知向量，，若，则实数_________．15．在中，，，，平分交于点，则的面积为_________．16．在复平面内，等腰直角三角形以为斜边（其中为坐标原点），若对应的复数，则直角顶点对应的复数___________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求实数取何值时，复数在复平面内对应的点．（1）位于第二象限；（2）位于第一或第三象限；（3）在直线上．18．（12分）如图，△ABC中，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．19．（12分）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullon，于1996年收入世界文化遗产名录（如图1）．现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为m，母线SA长为m（如图2）．C是母线SA的一个三等分点（靠近点S）．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处π取3．14，结果精确到个位）；（2）从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．20．（12分）如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R，圆锥底面半径为r．（1）试确定R与r的关系；（2）若小圆锥､大圆锥的侧面积为､，球的表面积为，求；（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比．21．（12分）△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，．（1）求B；（2）若，求△ABC面积S的最大值．22．（12分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．（1）若，求护栏的长度（的周长）；（2）若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；（3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？2021-2022学年高一下学期期中检测卷数学（一）答案第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】∵复数z对应的点的坐标是，∴，故选D．2．【答案】D【解析】由余弦定理，得，，故选D．3．【答案】A【解析】因圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的高为，所以圆台的体积为，故选A．4．【答案】A【解析】底边长为，高为的三角形的面积为，在斜二测直观图中，若三角形的底边与轴平行或重合，则原三角形的斜二测直观图的面积为，则，由于平面多边形可由若干各三角形拼接而成，故平面多边形的面积是其直观图面积的倍，因此，原图形面积为，故选A．5．【答案】B【解析】由条件可知，则，当时，，故选B．6．【答案】A【解析】建立如图所示坐标系，设，则，所以，，故，所以时，取得最小值，故选A．7．【答案】B【解析】设球半径为，两个圆锥中较小的高为，则另一个圆锥的高为，圆锥底面半径为，则，，两个圆锥的体积和为，所以时，，，因此，故选B．8．【答案】A【解析】因为，，所以，即，解得，由余弦定理，所以，因为，所以，所以，即，故选A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】AD【解析】A项为真命题，A，B，C，D在一条直线上，则向量，的方向相同或相反，因此与是共线向量；B项为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则，的方向不确定，不能判断与是否共线；C项为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；D项为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以A，B，C三点共线，故选AD．10．【答案】BD【解析】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，如图，截面的形状只可能为四边形和六边形，故选BD．11．【答案】ACD【解析】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，即，故A正确；对于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，由及正弦定理化边为角，可知，即，因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确；对于D，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正确，故选ACD．12．【答案】ACD【解析】如图，该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的．对于A，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为，故正确；对于B，过三点的截面为正六边形，所以，故错误；对于C，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积，故正确；对于D，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足，故正确，故选ACD．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】，由纯虚数的定义知，，解得，所以，故，故答案为．14．【答案】【解析】因为，所以，即，所以，解得，故答案为．15．【答案】【解析】由题意得，则，所以，故答案为．16．【答案】或【解析】因为，所以，点的坐标为．设点的坐标为，则．由题意得，，所以，解得或，所以复数或，故答案为或．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）或；（2）或或；（3）或．【解析】（1）复数在复平面内对应的点的坐标为，若点位于第二象限，则，解得或．（2）若点位于第一或第三象限，则或，解得或或．（3）若点在直线上，则，解得或．18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）连接，则，设，在中，，．（2），，∴．19．【答案】（1）20347；（2）m．【解析】（1）因圆锥SO的底面直径AB长为m，母线SA长为m，则此圆锥的侧面积为()．又每平方米大约需要鲜花60朵，于是得(朵)，所以装饰这个屋顶大约需要20347朵鲜花．（2）将圆锥SO沿母线SA剪开展在同一平面内得如图所示的扇形，点A到点，连接，则为最小长度，扇形弧长等于圆锥SO底面圆周长，于是得扇形圆心角，在中，，由余弦定理得，即，解得，所以灯光带的最小长度为m．20．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由几何体的特征，得到△ABC为直角三角形，由于大圆锥的轴截面为等边三角形，故，所以，，所以．（2）球心到圆锥底面的距离，所以小圆锥的高为，故小圆锥的母线长为R，大圆锥的母线长为，所以，，，故．（3）由（1）得：两个圆锥的体积和为，球的体积为，体积之比为．21．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴由正弦定理得，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴．（2），，由余弦定理得，∵，∴，解