2024-2025学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程（教学用书）教案 新人教A版选修2-1

2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程（教学用书）教案新人教A版选修2-1科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程（教学用书）教案新人教A版选修2-1教学内容分析本节课的主要教学内容是双曲线及其标准方程。教学内容与学生已有知识的联系：在学习本节课之前，学生已经掌握了平面几何中的圆锥曲线的基本概念，以及一元二次方程的解法。在此基础上，本节课将进一步引导学生学习双曲线的定义、性质以及标准方程的推导和应用。

具体内容包括：

1.双曲线的定义：学生将通过实例了解双曲线的图形特征，掌握双曲线的定义及其标准方程。

2.双曲线的性质：学生将学习双曲线的渐近线、离心率等基本性质，并了解它们之间的关系。

3.标准方程的推导：学生将通过变换、代数运算等方法，学习双曲线的标准方程的推导过程。

4.标准方程的应用：学生将运用双曲线的标准方程解决一些实际问题，如求解双曲线与坐标轴的交点、计算离心率等。

本节课的教学内容与学生已有知识紧密相连，学生在学习过程中能够将已有知识应用于新的学习内容，从而更好地理解和掌握双曲线及其标准方程。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养。通过学习双曲线及其标准方程，学生将能够：

1.数学抽象：通过观察双曲线的图形，学生能够从具体事物中抽象出双曲线的本质特征，理解双曲线的定义，并能够将其用数学语言进行描述。

2.逻辑推理：在双曲线性质的学习过程中，学生将运用归纳和演绎的逻辑推理方法，分析双曲线的性质，并能够运用这些性质解决相关问题。

3.数学建模：学生将运用双曲线的标准方程解决实际问题，如求解双曲线与坐标轴的交点、计算离心率等，通过这个过程，学生能够将数学知识应用于解决实际问题，培养数学建模的能力。学习者分析1.学生已经掌握了相关知识：在学习本节课之前，学生应该已经掌握了以下知识：（1）平面几何中的圆锥曲线的基本概念；（2）一元二次方程的解法及其性质；（3）函数图像的基本分析方法。这些知识为学生学习双曲线及其标准方程奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：针对这部分内容，学生的学习兴趣可能主要集中在探索双曲线的图形特征和标准方程的推导过程。在学习能力方面，学生需要具备较强的逻辑推理能力和数学抽象能力，以便能够理解并运用双曲线的性质解决实际问题。在学习风格上，学生可能更倾向于通过实例分析和动手操作来掌握双曲线的性质，因此在教学过程中，教师可以充分利用多媒体教学资源，引导学生直观地感受双曲线的图形特征。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习本节课的过程中，学生可能遇到的困难和挑战主要包括：（1）双曲线定义的理解和掌握，尤其是与椭圆、抛物线的区别；（2）双曲线标准方程的推导过程，涉及到的代数运算和变换；（3）如何将双曲线的性质应用到实际问题中，如求解交点、计算离心率等。针对这些困难和挑战，教师应适时给予引导和帮助，通过具体实例和练习题，帮助学生巩固双曲线的性质和标准方程，并培养学生的数学应用能力。教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、白板、粉笔、教案和课件。

2.课程平台：学校提供的网络教学平台，用于上传教学资源和布置课后作业。

3.信息化资源：数学软件和在线教育平台，如GeoGebra、Kahoot!等，用于辅助教学和互动式学习。

4.教学手段：采用讲授法、引导法、讨论法和实践活动法等，结合实例分析和练习题，引导学生理解和掌握双曲线及其标准方程。

5.教辅材料：教材、练习册、参考书和相关的数学文章，为学生提供丰富的学习资源和练习机会。

6.学习工具：学生使用的计算器、绘图工具（如直尺、圆规）和笔记本，以便于记录和整理学习内容。教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解双曲线及其标准方程的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。

设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习双曲线及其标准方程内容做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确双曲线及其标准方程教学目标和双曲线及其标准方程重难点。

准备教学用具和多媒体资源，确保双曲线及其标准方程教学过程的顺利进行。

设计课堂互动环节，提高学生学习双曲线及其标准方程的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入双曲线及其标准方程学习状态。

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的圆锥曲线的基本概念，帮助学生建立知识之间的联系。

提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为双曲线及其标准方程新课学习打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解双曲线的定义、性质以及标准方程的推导过程，结合实例帮助学生理解。

突出双曲线及其标准方程重点，强调双曲线及其标准方程难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕双曲线及其标准方程问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

设计实践活动或实验，让学生在实践中体验双曲线及其标准方程知识的应用，提高实践能力。

在双曲线及其标准方程新课呈现结束后，对双曲线及其标准方程知识点进行梳理和总结。

强调双曲线及其标准方程的重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对双曲线及其标准方程知识的掌握情况。

鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决双曲线及其标准方程问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的双曲线及其标准方程错误，进行及时订正和讲解。

引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与双曲线及其标准方程内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。

引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合双曲线及其标准方程内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。

鼓励学生分享学习双曲线及其标准方程的心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的双曲线及其标准方程内容，强调双曲线及其标准方程重点和难点。

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的双曲线及其标准方程内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）数学杂志和期刊：如《数学学报》、《数学通报》等，这些杂志和期刊发表了大量的关于圆锥曲线的研究文章，可以让学生了解圆锥曲线的最新研究动态和发展趋势。

（2）互联网资源：搜索引擎中关于圆锥曲线的教学视频、论坛、博客等，这些资源可以帮助学生从不同角度理解和掌握圆锥曲线的相关知识。

（3）数学软件：如Mathematica、MATLAB等，这些软件可以模拟圆锥曲线的图形，让学生更直观地感受圆锥曲线的性质和变化。

（4）数学竞赛题目：数学竞赛中涉及到圆锥曲线的题目，可以让学生在解决实际问题的过程中，提高运用圆锥曲线知识的能力。

2.拓展建议：

（1）让学生阅读数学杂志和期刊，了解圆锥曲线的最新研究进展，提高学生的学术素养和研究能力。

（2）利用互联网资源，让学生观看不同教师的圆锥曲线教学视频，学习他们的教学方法和思路，提高学生的学习效果。

（3）鼓励学生使用数学软件，自己动手绘制圆锥曲线的图形，观察和分析圆锥曲线的性质，提高学生的实践操作能力。

（4）组织学生参加数学竞赛，让学生在竞赛中运用圆锥曲线知识解决实际问题，提高学生的综合运用能力。

（5）引导学生进行圆锥曲线的小研究，让学生通过查阅资料、设计实验、分析数据等方法，深入研究圆锥曲线的某个方面，提高学生的研究能力和创新意识。板书设计①双曲线的定义：

-板书双曲线的图形，并用数学符号表示双曲线的方程。

-突出双曲线的两个焦点、两条渐近线和离心率等重要属性。

-用简洁的语言描述双曲线的定义，例如：“双曲线是平面上到两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的轨迹。”

②双曲线的性质：

-列出双曲线的性质，例如：渐近线方程、离心率公式、焦距公式等。

-用图表或图形展示双曲线的性质，以便学生直观理解。

-强调双曲线性质之间的关系和应用，例如：“双曲线的离心率越大，其形状越扁平。”

③双曲线的标准方程：

-板书双曲线的标准方程，并解释方程中的各个参数的含义。

-通过步骤性的推导过程，展示如何从双曲线的定义得到标准方程。

-给出标准方程的应用实例，例如：求解双曲线与坐标轴的交点、计算离心率等。

④双曲线的应用：

-板书双曲线在实际问题中的应用题例，例如：测量地球到卫星的距离、计算光学镜头的焦距等。

-引导学生通过双曲线知识解决实际问题，培养学生的数学建模能力。

-强调双曲线在科学研究和工程技术中的重要性，例如：“双曲线在的天体物理学和光学中有着广泛的应用。”课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.圆锥曲线的基本概念和性质：回顾圆锥曲线的基本概念，如椭圆、抛物线和双曲线，以及它们的定义、性质和方程。强调圆锥曲线在数学和自然科学中的应用，如天体运动、光学成像等。

2.圆锥曲线的方程：讲解圆锥曲线方程的推导过程，包括椭圆、抛物线和双曲线的标准方程和一般方程。强调方程的解法和应用，如求解交点、计算离心率等。

3.圆锥曲线的几何性质：介绍圆锥曲线的一些重要几何性质，如焦点、准线、焦距和离心率等。强调这些性质在圆锥曲线分析中的重要性。

4.圆锥曲线的问题解决：通过实例讲解如何运用圆锥曲线的性质和方程解决实际问题，如测量距离、设计光学系统等。强调数学建模和应用能力的重要性。

5.圆锥曲线的应用领域：介绍圆锥曲线在各个领域中的应用，如工程、物理学、生物学等。强调圆锥曲线在现代科学技术中的关键作用。

当堂检测：

1.选择题：提供一些关于圆锥曲线的基本概念、性质和方程的选择题，检验学生对圆锥曲线知识的掌握程度。

2.填空题：提供一些关于圆锥曲线方程的推导过程和几何性质的填空题，检验学生对圆锥曲线知识的应用能力。

3.解答题：提供一些关于圆锥曲线问题解决的实际问题，要求学生运用圆锥曲线的性质和方程进行解答。检验学生对圆锥曲线知识的综合运用能力。

4.应用题：提供一些关于圆锥曲线在各个领域中应用的实际问题，要求学生运用圆锥曲线的性质和方程进行解答。检验学生对圆锥曲线知识的应用能力。

5.思考题：提供一些关于圆锥曲线的新问题和思考题，要求学生进行思考和解答。检验学生对圆锥曲线知识的创新思维能力。典型例题讲解1.例题1：求解双曲线的标准方程

题目：已知双曲线的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)，且c>0，求双曲线的标准方程。

解题思路：双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a为双曲线的实半轴长度，b为双曲线的虚半轴长度。焦点到中心的距离为c，且c>0。根据双曲线的性质，有a^2+b^2=c^2。

解答：

由题意得，双曲线的焦点为F1(-c,0)和F2(c,0)，所以c>0。

双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)。

由焦点到中心的距离公式，有c^2=a^2+b^2。

将a^2+b^2替换为c^2，得到双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{c^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1\)。

2.例题2：求解双曲线的焦点

题目：已知双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，求双曲线的焦点。

解题思路：双曲线的焦点坐标为\((\pmc,0)\)，其中c=\(\sqrt{a^2+b^2}\)。

解答：

由题意得，双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)。

根据双曲线的性质，焦点到中心的距离c=\(\sqrt{a^2+b^2}\)。

因此，双曲线的焦点坐标为\((\pm\sqrt{a^2+b^2},0)\)。

3.例题3：求解双曲线的渐近线方程

题目：已知双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，求双曲线的渐近线方程。

解题思路：双曲线的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。

解答：

由题意得，双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)。

根据双曲线的性质，渐近线的斜率为\(\pm\frac{b}{a}\)。

因此，双曲线的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。

4.例题4：求解双曲线的离心率

题目：已知双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，求双曲线的离心率。

解题思路：双曲线的离心率e=\(\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)。

解答：

由题意得，双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)。

根据双曲线的性质，离心率e=\(\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)。

因此，双曲线的离心率为\(\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)。

5.例题5：求解双曲线与坐标轴的交点

题目：已知双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，求双曲线与x轴和y轴的交点。

解题思路：双曲线与x轴的交点为\((\pm\sqrt{a^2-b^2},0)\)，与y轴的交点为\((0,\pm\sqrt{a^2-b^2})\)。

解答：

由题意得，双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)。

将y设为0，解得双曲线与x轴的交点为\((\pm\sqrt