2021届泄露天机高考押题卷 理科数学 含答案解析

绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

I.本试卷分第I卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自

己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

6.已知x,yeR,则喟卜是《十仁41”的()条件.

K-第I卷(选择题)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只A.充分不必要B.必要不充分

有一项是符合题目要求的.C.充分必要D.既不充分也不必要

1.已知集合时={(苍刈/+/<2,xwZ,ywZ},则集合M的真子集的个数为()7.已知加，〃是两条不同直线，%夕)是三个不同平面，下列命题中正确的是()

A.若m//n,〃ua,则m//a

A.29-1B.28-1C.25D.24+1

2.已知复数2=比0,若Z在复平面内对应的点位于第三象限，则实数机的取值范围为B.若mua,nczaHmllp,n//p,则allp

l-2i

C.若〃z_La,〃〃/旦a〃£,则"?_L〃

()

A.B.(-oo,^4)C.(4,-KJO)D.(6,+cc)D.若aJ_y,B,则a〃夕

8.已知直线)，=丘与圆V+y2+6K+8y=o相交于两点，且这两点关于直线x-2y+〃=。对

3.双曲线马-I=l(a>0力>0)的一条渐近线方程为y=则该双曲线的离心率为

a~b~2

称，则Z力的值分别为()

()

A.k=2yb=-5B.k=-2,b=—5C.k=-2,b=5D.k=2、b=5

N际「币n2币

A.---B.-0-T-C.D.----

数37279.任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数/(力二2",

——

4.已知向量a=(l,0),网=6，且aJ_(a+b),则|〃+期=()

若将f(x)表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数/z(x)的差，且[人⑴丁+ag(x)之1对xeR恒

A.2B.y/2C.叵D.3成立，则实数a的取值范圉为()

.2

SA.1,+ooJB.[1,-KO)C.；，+/]D.-p+x|

5.函数-+2、?+si吧的图象大致是()

(x-l)~+2x

10.在体积为8的正方体A8CO-A4GA内部任意取一点P，能使四棱锥尸-ABC。,

2（1）证明：数列｛枭｝为等差数列；

P-ABB.A,,P-BB£C,P-CCRD,P-DD^A,「一A四GR的体积大于一的概率为

（2）求数列｛4+2”｝的前〃项和S-

II

A

B.-D.-

.68

II.已知函数/（1）=25m@¥+3＜：05/4（04式《二）的值域为-,1,其中0＞0,则

554L5

cos（工⑼的取值范围是（）

4

A」，」B.p.llC.[-1,-1]D」，』

|_25,5」L25JL25J|_255」

12.已知椭圆_?+2=1（1＞万＞0）的左右焦点分别为的,入，点M是椭圆上•点，点A是线段

片为上•点,且N6M舄=2N£MA=|,|做4|=3,则该椭圆的离心率为＜＞

石12点上

A.-----B.-C.-------D."■

2233

18.（12分）某市为提高市民的安全意识，组织了一场知识竞赛，已知比赛共有2000位市民报名

第n卷（非选择题）参加，其中男性1200人，现从参赛的市民当中采取分层抽样的方法随机抽取了100位市民进行调

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.行，根据调查结果发现分数分布在450~950分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所

示：

13.的展开式中X，的系数为.

14.若函数＞=/'-36*+3的值域为[1,7],试确定x的取值范围是.

15.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且（sinA-sinC＞a=

（Z?+c）（sinB-sinC）,b=2,则△ABC的周长的最大值是.

16.已知函数/（x）=-lg（jY+1一工）+sinX+2工，若f（6一2ex+2）＜0在x£（0,+oo）上恒成

将分数不低于750分的得分者称为“高分选手”.

立，则正实数〃的取值范圉为.

（1）求。的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中

点值作代表）；

三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（2）现采用分层抽样的方式从分数落在[550,650）,[750,850）内的两组市民中抽取10人，再从

17.（12分）己知｛风｝数列满足q=3,34厂9%=3-2.

这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中属丁•“高分选手”的市民人数为随机变量X，求X(2)求二面角A—3石一厂的余弦值.

的分布列及数学期望：

(3)若样本中属于“高分选手”的女性有15人，完成下歹U2x2歹U联表，并判断是否有97.5%的把

握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？

属于“高分选手”不属于“高分选手”合计

男生

女生

合计

(参考公式：K2=------«二)6-----期中〃=a+〃+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

22

20.(12分)椭圆C的方程为*■+*=1(。>〃>0),过椭圆左焦点耳且垂直于x轴的直线在第

二象限与椭圆相交于点P,椭圆的右焦点为鸟，已知tan/PF由=*,椭圆过点

(I)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C的右焦点鸟作直线/交椭圆C于A、B两点,交y轴于“点，若应4=4丽

砺=4西，求证：4+4为定值.

19.(12分)如图所示，直角梯形A8C。中，AD//BC,ADLAB,BC=2AB=2AD=2,

四边形EOCr为矩形，CF=2,平面平面A8CD.

(1)求证：8£>F_L平而。C产：

22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为1*=&+2cos”（/为参数），直线/的方程为

[y=l+2sin^

3为参数）.以坐标原点。为极点，工轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程和直线/的普通方程:

21.（12分）已知函数f（x）=二二+a.（2）过点P（J5,0）,倾斜角为3的直线与曲线c交于AB两点，求|四-归邳的值.

（1）试讨论函数〃工）的零点个数；

（2）设8（力=工2_/（丫），内,七为函数g（1）的两个零点，证明：xyx2<1.

23.（10分）【选修45：不等式选讲】

已知函数/（x）=|2x-6|+|2x+2|.

（1）求不等式f（x）W12的解集：

（2）若。，b,c为正实数，函数/*）的最小值为3且满足缶+b+c=f,求的

最小值.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

故选B.

绝密★启用前3.双曲线*•-二=1(。>08>0)的一条渐近线方程为丫=且了，则该双曲线的离心率为

2021年普通高等学校招生全国统一考试a"a2

()

理科数学AeB际C"门2币

3727

S注意事项：

&.1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自【答案】A

己的姓名、考生号填写在答题卡上。【解析】由题意，双曲线二-二=1(。>02>0)的一条渐近线方程为y=^x,

2.回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，a"b"2

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。可得3=立，所以a:b:c=J3:2:、/7,解得e=应，故选A.

23

3.回答第n卷时，将答案填写在答题长上，写在试卷上无效。h

s4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。4.已知向量Q=(1,0),例=J5,且o_L(a+b),贝|」|〃+必|=()

r第I卷(选择题)A.2B.及C.正D.3

一2

_一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

【答案】D

E有一项是符合题目要求的.

［解析］由。_1_(。+》)=〃♦(〃+b)=0=〃2+a/=0,

I.已知集合加={(乂田卜2+V42/£公”2},则集合时的真子集的个数为()

因为同=1,所以=所以|a+2b|=J(a+2b)2=x/a2+4〃/+4/=3,故选D.

A.29-lB.28-1C.25D.24+1

期S

S【答案】A

I【解析】集合—1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,1),(1,0),(L—1)},

K故其真子集的个数为29-1个，故选A.

2.已知复数z=若z在复平面内对应的点位于第一：象限，则实数机的取值范围为

1—2i

()

A.(YO,-6)B.(YO,-4)C.(4,+CO)D.(6,-KO)

B

会【答案】B

——

r解析】“y-2i)(l+2i)」"+4+(2m_2)i=业+*［,

(l-2i)(l+2i)555

772+4益

-----<0

因为复数Z在复平面内对应的点位于第三象限，则4.5,解得〃?<_4,

2m-2八

【答案】B

5

■仙\x2+2x+1+sin.vx2+2x+l+sinx.2x+sinxC选项，由题得〃?」夕，乂〃〃夕，所以"z_L〃，所以该选项正确：

【解析】/(X)=—~~---------=----------------------=1+—j—--

(,”17)+24x~+lx2+l

D选项，aD〃=/，/时，aly,/?!/,不能得出a〃6，故该选项错误，

令g(x)=2x：：：x,则g(_'='=—g(4)，故g(工)为R上的奇函数，

故选C.

故/(x)的图象关于(0,1)对称，故排除C；

8.已知直线丁二"与圆/+),2+6工+8)，=0相交于两点，且这两点关于直线工一2)，+力=0对

乂当文>0时，令力(x)=2x+sinx,则“(4)=2+8S〃>0,

称，则上。的值分别为()

故〃(力>人⑼=0,故当x>0时，/(x)>l,故排除D；

A.k=2,b=—5B.k=-2,b=—5C.k=-2,b=5D.k=2,b=5

而/(—1)=—券1<0,故排除A,

【答案】B

故选B.【解析】；直线y=也与圆■?+)，:!+6*+8)，=0的两个交点关于直线8-2)，+6=0对称，

6.已知—yeR,则“鼻+卜区「是+/V「的()条件.二直线x-2y+Z>=0经过圆心(-3,Y)且直线y=fcv与直线x-2y+0=0垂直，

)

A.充分不必要B.必要不充分-3-2x(~4+b=0(b=_5

・•・ii,解得八，故选民

C.充分必要D.既不充分也不必要-k=-\[k=-2

[2

【答案】A

9.任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数/(x)=2e，,

2

【解析】方+/41表示顶点分别为(—3,0),(3,0),((),—1),(0,1)的椭圆上及椭圆内部区域内的

若将/(x)表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数方(工)的差，且[〃(切~+ag(x)21对xwR恒

点，成立，则实数。的取值范围为()

忖+|)悔1表示顶点(-3,0),(3,0),(0,-1),(0,1)的菱形上以及菱形内部区域内的点，A.偿田)B.[1,-K»)C.J”)D.

故可得忖+卜归1是与+炉*1的充分不必要条件，故选A.【答案】C

【解析】由/a)=g(x)_〃(x)=2e，，

7.已知八"是两条不同直线，a,r.y是三个不同平面，下列命题中正确的是()

有f(-x)=g(rM(T)=g(力+"(x)=

A.若m//n»〃ua,则"?〃a

解得g(工)=—+""h(x)=e~x-ex,了+ag(x)N1,

B.若，nua,〃ua且m///3,n//p,则alip

可化为卜-e')-+a(/+e*)21,有卜标+e~2x-2)+a(ex+»

C.若〃z_La,〃〃/且a/0,则〃z_L〃

有(F+C-5+a(/+夕、)20,得aN一("+),

D.若a_Ly,£_Ly,则a〃/?:二

【答案】

C又由，+于*22,有4之2—2二！，故选C.

【解析】A选项，当〃?〃〃，〃ua,mua时，不能得出〃?〃a,故该选项不正确：22

B选项，由题得a〃尸或a,力相交，所以该选项错误:10.在体积为8的正方体ABC。—A4G。内部任意取一点P,能使四棱锥尸—A3CO,

2所以85（色0]£|"2,±],故选D.

P-ABB^,P-BB£C,P-CCRD,P-DD^A,P-4与弓"的体积大于］的概率为

(4J1255」

()-y2

12.已知椭圆V+七=1（1>6>0）的左右焦点分别为F,,工，点M是椭圆上一点，点A是线段

b~

石马上一点，且/二|,

4M6=2N4M4=g,|M4|则该椭圆的离心率为（）

【答案】D

【解析】作与正方体卷个面平行且距离梏的截面，从而可以在正方体内部得到一个小的正方体,Gn1C2五G

D.—

2233

由题意可得当P点落在小正方体内部时，能使四棱锥P—ABCD,P—BBCC,【答案】B

【解析】设|岬|=4,|昨|=4，则6+4=2a=2,

2

P-CCQQ,P-DD^A,尸-A片G"的体积大于7,

由余弦定理得I耳玛『=|叫『+1余段2-2|“用阿玛|cos.,

根据几何概型概率公式知P=8=",故选D.

88即4c2=1+咛+他=（耳+与『一佐=4一径，

3471

11.已知函数/(x)=-sin(VX+-COScox(0<x<—)的值域为,其中3>0,则所以依=4-4。2,

554

因为5环**=S^MA+S2AMF1，

7T

8叼⑼的取值范围是,）

所以sin]兀♦|AMpsiny4-^7^-|AM|-sin-^,

7374

A.-工」C.D.

25,52525,53i

整理得弘=«+，力|阴，即4-4C2=2X『整理得C2=；,

【答案】D

43it1Q\

【解析】因为/(x)=sin(<ur+0)(其中sine=w，cose=g,0<(p<—).所以c=—,a=1,e=—=—,故选B.

2a2

令t=sx+(p,g(t)=s\nt,因为G>0,0<x<—,所以eWfW区3+°.

''44第n卷（非选择题）

4兀4（兀、

因为g（e）=y，且0<9<不，所以g（兀,汁5）=1，二、填空题：本