第九章　排列、组合、二项式定理与概率-课件

大一轮复习讲义第九章

排列、组合、二项式定理与概率§9.1基本计数原理、排列与组合考试要求1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合

数公式.3.能解决简单的实际问题.主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练内容索引ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实11.基本计数原理知识梳理分类加法计数原理完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__________

种不同的方法分步乘法计数原理完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝

种不同的方法m1＋m2＋m1×m2×…×mn…＋mn名称定义排列从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象按照

排成一列组合并成一组2.排列与组合的概念一定的顺序

排列数组合数定义从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有

的个数从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有

的个数公式性质＝

，0！＝___3.排列数、组合数的定义、公式、性质排列组合n！11.在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？微思考提示

如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理.2.排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.题组一思考辨析基础自测1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(

)(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(

)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(

)(4)若组合数公式

，则x＝m成立.(

)√××√(5)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了.(

)√题组二教材改编2.已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是A.12 B.8 C.6 D.4解析分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2＝6，故选C.√3.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是A.12 B.24 C.64 D.81解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，√210题组三易错自纠5.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为A.24 B.18 C.12 D.6√解析分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12(个)奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6(个)奇数.根据分类加法计数原理知，共有12＋6＝18(个)奇数.6.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为____.30TIXINGTUPOHEXINTANJIU2题型突破核心探究题型一

基本计数原理及应用自主演练1.满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为A.14 B.13 C.12 D.10√解析方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的情况应分类讨论.①当a＝0时，方程为一元一次方程2x＋b＝0，不论b取何值，方程一定有解.此时b的取值有4个，故此时有4个有序数对.②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个有序数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2).a≠0时，(a，b)共有3×4＝12(个)实数对，故a≠0时满足条件的实数对有12－3＝9(个)，所以答案应为4＋9＝13.2.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24 B.18 C.12 D.9解析从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝18(条)，故选B.√3.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是A.120 B.140C.240 D.260√解析由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，然后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，到C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种).故选D.4.(2021·山东省博兴县第三中学月考)若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232,114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是A.166 B.171C.181 D.188√解析由题意可得：不超过200的数，两个数字一样同为0时，有100,200，共2个，两个数字一样同为1时，有110,101,112,121,113,131，一直到191,119，共18个，两个数字一样同为2时，有122，共1个，同理，两个数字一样同为3,4,5,6,7,8,9时各1个，综上，不超过200的“单重数”共有2＋18＋8＝28(个)，其中最大的是200，较小的依次为199,191,188,181,177,171，故第22个“单重数”为171.思维升华利用基本计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)分类要做到不重不漏.题型二

排列问题与组合问题师生共研例1

(1)(2020·惠州调研)七人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是A.3600 B.1440 C.4820 D.4800√(2)(2020·新高考全国Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A.120种

B.90种

C.60种

D.30种√(3)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____种.(用数字填写答案)16(1)解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素(位置)的性质进行分类.②按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).(2)两类含有附加条件的组合问题的方法①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.思维升华②“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，可用间接法求解.跟踪训练1

(1)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有√(2)(2020·安徽省五校联盟质检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为A.15 B.30 C.35

D.42√解析甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，故选B.(3)(2021·合肥模拟)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有____种(用数字作答).36由分步乘法计数原理得共有12×3＝36(种)报法.题型三

排列、组合的综合问题多维探究命题点1相邻与相间问题例2

(1)北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有A.12种

B.24种

C.48种

D.96种√剩下1位男性领导人记作B,2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4＝48(种)不同排法.(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A.72 B.120 C.144 D.168√解析安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.命题点2分组、分配问题例3数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有√并在各组中选出1名组长，有34种选法，第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法.(1)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.(2)对于分堆与分配问题应注意三点①处理分配问题要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的.③分堆时要注意是否均匀.思维升华跟踪训练2

(1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有____种.36将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，(2)将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有______种.(用数字作答)1560解析把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2类.第一类，采用“3,1,1,1”的分法，即有1组3本，其余3组每组1本.第二类，采用“2,2,1,1”的分法，即有2组每组2本，其余2组每组1本.所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种).KESHIJINGLIAN3课时精练1.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为A.3 B.4 C.6 D.812345678910111213141516基础保分练解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8(个).√123456789101112131415162.(2021·西安模拟)将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有A.12种

B.9种C.8种

D.6种√解析每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法，根据分步计数原理可知，不同的分配方案总数为23＝8种.123456789101112131415163.(2020·保定质检)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有A.4种

B.6种

C.10种

D.16种√解析分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式.由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式.123456789101112131415164.“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China又可以简写为CN，从“CNDream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有A.360种

B.480种

C.600种

D.720种√解析从其他5个字母中任取4个，123456789101112131415165.(2020·昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法√解析红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，123456789101112131415166.(多选)下列等式正确的有√√√12345678910111213141516解析A是组合数公式；B是组合数性质；123456789101112131415167.(多选)已知x∈N*，则

的值为A.3 B.4C.7 D.11√√√因为x∈N*，所以x＝2或x＝3或x＝4.所以所求值为4或7或11.123456789101112131415168.(多选)(2021·苏州质检)现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是A.若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，则共有24种放法B.若4个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒的放法

共有18种C.若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒的放法

共有144种D.若编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，没有一个空盒但小

球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种√√√12345678910111213141516解析若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，共有44＝256(种)放法，故A错误；若4个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，12345678910111213141516若编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若(2,1,4,3)代表编号为1,2,3,4的盒子放入的小球编号分别为2,1,4,3，列出所有符合要求的情况：(2,1,4,3)，(4,1,2,3)，(3,1,4,2)，(2,4,1,3)，(3,4,1,2)，(4,3,1,2)，(2,3,4,1)，(3,4,2,1)，(4,3,2,1)共9种放法，故D正确.故选BCD.123456789101112131415169.若把英语单词“good”的字母顺序写错，则可能出现的错误方法共有____种(用数字作答).11解析把g，o，o，d,4个字母排一列，可分两步进行，1234567891011121314151610.某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有_____种不同的抽调方法.8412345678910111213141516解析方法一在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.方法二由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份.可看作将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，1234567891011121314151611.(2020·梅州期末)某省高考实行3＋3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有_____种.200解析根据题意，分2种情况讨论：则两人至少有两科相同的选法有20＋180＝200(种).1234567891011121314151612.(2020·全国Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有____种.36由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×6＝36(种).12345678910111213141516技能提升练13.(2020·新高考全国Ⅱ)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方