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【创新方案】版高中数学第一章1.3第二课时NO.2诱导公式(二)课下检测新人教A版必修4一、选择题1.cos21°+cos22°+cos23°+…+cos290°的值为()A.90 B.45C.44.5 D.44解析:原式=(cos21°+cos289°)+(cos22°+cos288°)+…+(cos244°+cos246°)+cos245°+cos290°=(cos21°+sin21°)+(cos22°+sin22°)+…+(cos244°+sin244°)+(eq\f(\r(2),2))2+02=1×44+eq\f(1,2)+0=44.5.答案:C2.若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)=()A.3-cos2x B.3-sin2xC.3+cos2x D.3+sin2x解析:f(cosx)=f[sin(eq\f(π,2)-x)]=3-cos[2(eq\f(π,2)-x)]=3-cos(π-2x)=3+cos2x.答案:C3.若sin(π+α)+cos(eq\f(π,2)+α)=-m,则cos(eq\f(3π,2)-α)+2sin(6π-α)的值为()A.-eq\f(2,3)m B.-eq\f(3,2)mC.eq\f(2,3)m D.eq\f(3,2)m解析:∵sin(π+α)+cos(eq\f(π,2)+α)=-m,即-sinα-sinα=-2sinα=-m,从而sinα=eq\f(m,2),∴cos(eq\f(3π,2)-α)+2sin(6π-α)=-sinα-2sinα=-3sinα=-eq\f(3,2)m.答案:B4.在△ABC中,下列各表达式为常数的是()A.sin(A+B)+sinC B.cos(B+C)-cosAC.sin2eq\f(A+B,2)+sin2eq\f(C,2) D.sineq\f(A+B,2)sineq\f(C,2)解析:sin2eq\f(A+B,2)+sin2eq\f(C,2)=sin2eq\f(π-C,2)+sin2eq\f(C,2)=cos2eq\f(C,2)+sin2eq\f(C,2)=1.答案:C二、填空题5.tan(45°+θ)·tan(45°-θ)=________.解析:原式=eq\f(sin45°+θ,cos45°+θ)·eq\f(sin45°-θ,cos45°-θ)=eq\f(sin45°+θ,cos45°+θ)·eq\f(sin[90°-45°+θ],cos[90°-45°+θ])=eq\f(sin45°+θcos45°+θ,cos45°+θsin45°+θ)=1.答案:16.若cosα=eq\f(1,5),且α是第四象限角,则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(5π,2)))=______.解析:∵cosα=eq\f(1,5),且α是第四象限角,∴sinα=-eq\r(1-cos2α)=-eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2)=-eq\f(2\r(6),5).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(5π,2)))=-sinα=eq\f(2\r(6),5).答案:eq\f(2\r(6),5)7.已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos(eq\f(π,2)+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sinα的值是________.解析:由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-2tanα+3sinβ=-5,,tanα-6sinβ=1,))解得tanα=3,又α为锐角,tanα=eq\f(sinα,cosα)=eq\f(sinα,\r(1-sin2α))=3.解得sinα=eq\f(3\r(10),10).答案:eq\f(3\r(10),10)8.化简:eq\f(cos90°-α,sin270°+α)·sin(180°-α)·cos(360°-α)=________.解析:原式=eq\f(sinα,-cosα)·sinα·cosα=-sin2α.答案:-sin2α三、解答题9.已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+α))=eq\f(3,5),求[sin(α+eq\f(3,2)π)·sin(eq\f(3,2)π-α)·tan2(2π-α)·tan(π-α)]÷[cos(eq\f(π,2)-α)·cos(eq\f(π,2)+α)]的值.解:∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+α))=eq\f(3,5),∴sinα=-eq\f(3,5),∴cosα=±eq\r(1-sin2α)=±eq\f(4,5),∴tanα=±eq\f(3,4),∴原式=eq\f(-cosα-cosαtan2α-tanα,sinα-sinα)=tanα=±eq\f(3,4).10.已知cos(15°+α)=eq\f(3,5),α为锐角,求eq\f(tan435°-α+sinα-165°,cos195°+α·sin105°+α)的值.解:原式=eq\f(tan360°+75°-α-sinα+15°,cos180°+15°+α·sin[180°+α-75°])=eq\f(tan75°-α-sinα+15°,-cos15°+α·[-sinα-75°])=eq\f(sin75°-α,cos75°-α[-cos15°+αsin75°-α])-eq\f(sinα+15°,-cos15°+αsin75°-α)=-eq\f(1,cos15°+α·sin15°+α)+eq\f(sinα+15°,cos15°+α·cos15°+α).∵α为锐角,即0°<α<90°
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