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试题PAGE1试题2024年中考第一次模拟考试(山西卷)数学(考试时间:120分钟试卷满分:120分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)1.的相反数是()A.8 B.-8 C. D.2.观察下列图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(
)A. B. C. D.3.下列运算正确的是()A.a3•a2=a6 B.(ab3)2=a2b6 C.(a﹣b)2=a2﹣b2 D.(a+b)(﹣a﹣b)=a2﹣b24.“白日不到处,青春恰自来.苔花如米小,也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》,这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己,要和苔花一样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之花”.袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫,某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m,将数据0.0000084用科学记数法表示为8.4×10n,则n的值是()A.6 B.﹣7 C.﹣5 D.﹣65.如图,是一个底部呈球形的蒸馏瓶,球的半径为6cm,瓶内液体的最大深度CD=3cm,则截面圆中弦AB的长为()A. B. C. D.8cm6.如图,将质量为10kg的铁球放在不计重力的木板OB上的A处,木板左端O处可自由转动,在B处用力F竖直向上抬着木板,使其保持水平,已知OA的长为1m,OB的长为xm,g取10N/kg,则F关于x的函数解析式为()A. B. C. D.7.某市为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图②是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°.当∠MAC为()度时,AM与CB平行.A.16 B.60 C.66 D.1148.已知反比例函数,下列结论不正确的是()A.图象经过点(﹣1,1) B.图象在第二、四象限 C.当x<0时,y随着x的增大而增大 D.当x>1时,y>﹣19.如图1是一座立交桥的示意图(道路宽度忽略不计),A为入口,F,G为出口,其中直行道为AB,CG,EF,且AB=CG=EF;弯道为以点O为圆心的一段弧,且所对的圆心角均为90°,甲、乙两车由A口同时驶入立交桥,均以12m/s的速度行驶,从不同出口驶出,其间两车到点O的距离y(m)与时间x(s)的对应关系如图2所示,结合题目信息,下列说法错误的是()A.甲车从G口出,乙车从F口出 B.立交桥总长为252m C.从F口出比从G口出多行驶72m D.乙车在立交桥上共行驶16s10.如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°,得到正六边形OAnBn∁nDnEn,当n=2030时,正六边形OA2030B2030C2030D2030E2030的顶点D2030的坐标是()A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)11.计算:=.12.化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示,当碳原子数为1~10时,依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示,其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示,则庚烷分子结构式中“H”的个数是.13.如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于点P;③作射线AP交BC于点D,若AB:AC=2:3,△ABD的面积为2,则△ABC的面积为.14.有甲、乙两把不同的锁和A、B、C三把不同的钥匙.其中两把钥匙分别能打开这两把锁,第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开甲锁,恰好能打开的概率是.15.如图,在正方形ABCD中,AB=3,M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合),连接CM,过点M作MN⊥CM,交线段AB于点N.连接NC交BD于点G.若BG:MB=3:8,则NG•CG=.三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(10分)(1)计算:;(2)下面是小明同学进行因式分解的过程,请认真阅读并完成相应任务.因式分解:解:原式
第一步
第二步
第三步任务一:填空:①以上解题过程中,第一步进行整式乘法用到的是___________公式;②第三步进行因式分解用到的方法是___________法.任务二:同桌互查时,小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的,具体错误是______________________.任务三:小组交流的过程中,大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解,再继续完成,请你写出正确的解答过程.17.(7分)解分式方程:.18.(9分)某校在课后服务中,成立了以下社团:A.计算机,B.围棋,C.篮球,D.书法每人只能加入一个社团,为了解学生参加社团的情况,从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图,其中图1中D所占扇形的圆心角为150°.请结合图中所给信息解答下列问题:(1)这次被调查的学生共有360人;(2)请你将条形统计图补充完整;(3)若该校共有1800学生加入了社团,请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团;(4)在书法社团活动中,由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀,恰好四位同学中有两名是男同学,两名是女同学.现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛,用画树状图求恰好选中一男一女的概率.19.(8分)为了响应“足球进校园”的目标,某校计划为学校足球队购买一批足球,已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元;购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元.(1)求A,B两种品牌的足球的单价.(2)2023年学校购买足球的预算为6400元,总共购买100个球且购买A品牌足球的数量不多于B品牌足球数量的2倍,有几种购买方案.20.(8分)学科综合我们在物理学科中学过:光线从空气射入水中会发生折射现象(如图1),我们把n=称为折射率(其中α代表入射角,β代表折射角).观察实验为了观察光线的折射现象,设计了图2所示的实验,即通过细管MN可以看见水底的物块C,但不在细管MN所在直线上,图3是实验的示意图,四边形ABFE为矩形,点A,C,B在同一直线上,测得BF=12cm,DF=16cm.(1)求入射角α的度数.(2)若BC=7cm,求光线从空气射入水中的折射率n.(参考数据:,,)21.(8分)阅读与思考下面是小宇同学写的一篇数学小论文,请认真阅读并完成相应的任务:由一道习题引发的思考——“十字架模型”的拓展研究在我们教材上,有这样一道习题:如图1,四边形ABCD是一个正方形花园,E,F是它的两个门,要修建两条路BE和AF,且使得BE⊥AF,那么这两条路等长吗?为什么?对于上面问题,我是这样思考的:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAE=∠ADF=90°.又∵BE⊥AF,∴∠BEA+∠DAF=∠DAF+∠AFD=90°∴∠BEA=∠AFD,(依据*)∴Rt△ABE≌Rt△DAF,∴BE=AF.有趣的是对于两个端点分别在正方形ABCD一组对边上的线段,若这样的两条线段互相垂直,是否这两条线段仍然相等呢?对此我们可以做进一步探究:如图2,在正方形ABCD中,若点M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、AD上的任意四点,且MN⊥PQ,垂足为O,则MN仍然与PQ相等.理由如下:过点M作ME⊥CD,垂足为E,过点P作PF⊥AD,垂足为F.则容易证明四边形AMED和ABPF均为矩形,∴ME=AD,PF=AB.∵AB=AD,∴ME=PF在四边形QOND中,∵∠NOQ=∠D=90°,…任务:根据上面小论文的分析过程,解答下列问题:(1)画横线部分的“依据*”是.(2)在小论文的分析过程,主要运用的数学思想有:AC.(从下面选项中填出两项).A.转化思想B.方程思想C.由特殊到一般的思想D.函数思想(3)请根据小论文提供的思路,补全图2剩余的证明过程.22.(12分)综合与实践:数学模型可以用来解决一类问题,是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律,再结合其他数学知识的内在联系,最终可以获得宝贵的数学经验,并将其运用到更广阔的数学天地.(1)发现问题:如图1,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=30°,连接BE,CF,延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系:,∠BDC=°;(2)类比探究:如图2,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=120°,连接BE,CF,延长BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数,并说明理由;(3)拓展延伸:如图3,△ABC和△AEF均为等腰直角三角形,∠BAC=∠EAF=90°,连接BE,CF,且点B,E,F在一条直线上,过点A作AM⊥BF,垂足为点M.则BF,CF,AM之间的数量关系:(4)实践应用:正方形ABCD中,AB=2,若平面内存在点P满足∠BPD=90°,PD=1,则S△ABP=.23.(13分)综合与实践如图,抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,对称轴为直线l.(1)求点A,B,C的坐标;(2)试探究抛物线上是否存在点E,使OE=EC,若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;(3)设点F在直线l上运动,点G在平面内运动,若以点B,C,F,G为顶点的四边形是菱形,且BC为边,直接写出点F的坐标.2024年中考第一次模拟考试(山西卷)数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)1.的相反数是()A.8 B.-8 C. D.【答案】D【解析】解:的相反数是,故选:D.2.观察下列图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】解:第一个图案是轴对称图形,不是中心对称图形,故此图案不符合题意;第二个图案是轴对称图形,也是中心对称图形,故此图案符合题意;第三个图案是轴对称图形,不是中心对称图形,故此图案不符合题意;第四个图案不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此图案不符合题意.故选:B.3.下列运算正确的是()A.a3•a2=a6 B.(ab3)2=a2b6 C.(a﹣b)2=a2﹣b2 D.(a+b)(﹣a﹣b)=a2﹣b2【答案】B【解析】解:a3•a2=a5,故选项A错误,不符合题意;(ab3)2=a2b6,故选项B正确,符合题意;(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故选项C错误,不符合题意;(a+b)(﹣a﹣b)=﹣a2﹣2ab﹣b2,故选项D错误,不符合题意;故选:B.【点评】本题考查整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解答本题的关键,注意完全平方公式的应用.4.“白日不到处,青春恰自来.苔花如米小,也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》,这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己,要和苔花一样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之花”.袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫,某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m,将数据0.0000084用科学记数法表示为8.4×10n,则n的值是()A.6 B.﹣7 C.﹣5 D.﹣6【答案】D【解析】解:0.0000084=8.4×10﹣6,则n=﹣6,故选:D.5.如图,是一个底部呈球形的蒸馏瓶,球的半径为6cm,瓶内液体的最大深度CD=3cm,则截面圆中弦AB的长为()A. B. C. D.8cm【答案】C【解析】解:由题意得:OC⊥AB,∴AC=BC=AB,∠OCA=90°,∵OA=OD=6cm,CD=3cm,∴OC=OD﹣CD=6﹣3=3(cm),在Rt△OAC中,由勾股定理得:AC===3(cm),∴AB=2AC=6(cm).∴截面圆中弦AB的长为6cm,故选:C.6.如图,将质量为10kg的铁球放在不计重力的木板OB上的A处,木板左端O处可自由转动,在B处用力F竖直向上抬着木板,使其保持水平,已知OA的长为1m,OB的长为xm,g取10N/kg,则F关于x的函数解析式为()A. B. C. D.【答案】A【解析】解:∵g取10N/kg,铁球质量为10kg,∴G=mg=10×10=100(N),∵OA=1m,OB=xm,∴由杠杆平衡原理可得:F×OB=G×OA,即F⋅x=100×1,∴F关于x的函数解析式为.故选:A.7.某市为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图②是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°.当∠MAC为()度时,AM与CB平行.A.16 B.60 C.66 D.114【答案】C【解析】解:∵AB,CD都与地面l平行,∴AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°,∴∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°,∵∠BCD=60°,∠BAC=54°,∴∠ACB=66°,∴当∠MAC=∠ACB=66°时,AM∥CB,故选:C.8.已知反比例函数,下列结论不正确的是()A.图象经过点(﹣1,1) B.图象在第二、四象限 C.当x<0时,y随着x的增大而增大 D.当x>1时,y>﹣1【答案】D【解析】解:A、(﹣1,1)代入,得:左边=右边,故本选项正确;B、图象在第二、四象限内,故本选项正确;C、在每个象限内,y随x的增大而增大,故本选项正确;D、当x>1时,﹣1<y<0,故本选项不正确;不正确的只有选项D.故选:D.9.如图1是一座立交桥的示意图(道路宽度忽略不计),A为入口,F,G为出口,其中直行道为AB,CG,EF,且AB=CG=EF;弯道为以点O为圆心的一段弧,且所对的圆心角均为90°,甲、乙两车由A口同时驶入立交桥,均以12m/s的速度行驶,从不同出口驶出,其间两车到点O的距离y(m)与时间x(s)的对应关系如图2所示,结合题目信息,下列说法错误的是()A.甲车从G口出,乙车从F口出 B.立交桥总长为252m C.从F口出比从G口出多行驶72m D.乙车在立交桥上共行驶16s【答案】D【解析】解:根据两车运行时间,可知甲车从G口出,乙车从F口出,故A正确;由图象可知,两车通过、、弧时每段所用时间均为3s,通过直行道AB,CG,EF时,每段用时为4s.所以立交桥总长为(3×3+4×3)×12=252m,故B正确;根据两车运行路线,从F口驶出比从G口多走,弧长之和,用时为6s,则多走72m,故C正确;根据题意乙车行驶时间为:4×2+3×3=17秒,故D错误;故选:D.10.如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°,得到正六边形OAnBn∁nDnEn,当n=2030时,正六边形OA2030B2030C2030D2030E2030的顶点D2030的坐标是()A. B. C. D.【答案】B【解析】解:由题意可知:正六边形绕点O顺时针旋转一圈,旋转了8个45°,∵当n=2030时,2030÷8=253……6,∴D2030的坐标与D6的坐标相同,如图所示:过点D6H⊥OE于点H,过点D作DF⊥x轴于点F,∵∠DEO=120°,DE=EO=1,∴∠EDO=∠DOE=30°,∵∠DFO=90°,∴∠FDE=30°,∴在Rt△DFE中,,∴,∴在Rt△ODF中,,∴,∴,∠EOD6=60°,又∵∠D6HO=90°,在Rt△OHD6中,∴,,∴,,又∵点D6在第三象限,∴点D6的坐标为,故选:B.第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)11.计算:=.【解析】解:原式=(+)×(﹣)×(﹣)=(3﹣2)×(﹣)=﹣.故答案为:﹣.12.化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示,当碳原子数为1~10时,依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示,其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示,则庚烷分子结构式中“H”的个数是.【解析】解:由图可得,甲烷分子结构式中“H”的个数是2+2×1=4;乙烷分子结构式中“H”的个数是2+2×2=6;丙烷分子结构式中“H”的个数是2+2×3=8;…,∴第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是:2+2×7=16;故答案为:16.13.如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于点P;③作射线AP交BC于点D,若AB:AC=2:3,△ABD的面积为2,则△ABC的面积为.【解析】解:过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC于点F,由作图可知,射线AP为∠BAC的平分线,∴DE=DF,∵AB:AC=2:3,,,∴S△ABD:S△ACD=2:3,∵△ABD的面积为2,∴△ACD的面积为3,∴△ABC的面积为S△ABD+S△ACD=2+3=5.故答案为:5.14.有甲、乙两把不同的锁和A、B、C三把不同的钥匙.其中两把钥匙分别能打开这两把锁,第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开甲锁,恰好能打开的概率是.【解析】解:因为三把钥匙中只有1把能打开甲锁,所以随机取出一把钥匙开甲锁,恰好能打开的概率是.故答案为:.15.如图,在正方形ABCD中,AB=3,M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合),连接CM,过点M作MN⊥CM,交线段AB于点N.连接NC交BD于点G.若BG:MB=3:8,则NG•CG=.【解析】解:如图,把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC,连接GH,∵△DMC≌△BHC,∠BCD=90°,∴MC=HC,DM=BH,∠CDM=∠CBH=45°,∠DCM=∠BCH,∴∠MBH=90°,∠MCH=90°,∵∠CMN=∠CBN=90°,∴M、N、B、C四点共圆,∴∠MCN=45°,∴∠NCH=45°,在△MCG和△HCG中,,∴△MCG≌△HCG(SAS),∴MG=HG,∵BG:MB=3:8,∴BG:MG=3:5,设BG=3a,则MG=GH=5a,在Rt△BGH中,BH=4a,则MD=4a,∵正方形ABCD的边长为3,∴BD=6,∴DM+MG+BG=12a=6,∴a=,∴BG=,MG=,∵∠MGC=∠NGB,∠MNG=∠GBC=45°,∴△MGN∽△CGB,∴,∴CG•NG=BG•MG=.故答案为:.三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(10分)(1)计算:(2)下面是小明同学进行因式分解的过程,请认真阅读并完成相应任务.因式分解:解:原式
第一步
第二步
第三步任务一:填空:①以上解题过程中,第一步进行整式乘法用到的是___________公式;②第三步进行因式分解用到的方法是___________法.任务二:同桌互查时,小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的,具体错误是______________________.任务三:小组交流的过程中,大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解,再继续完成,请你写出正确的解答过程.【解析】(1)解:原式.(2)任务一:①以上解题过程中,第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式;②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法;任务二:小明因式分解的结果不彻底,还可以进行因式分解;任务三:原式=故答案为:任务一:①完全平方;②提公因式;任务二:因式分解不彻底(或a2−b2还可以进行因式分解);任务三:8(a+b)(a−b).17.(7分)解分式方程:.【解析】解:,去分母得:x﹣4﹣3=3﹣x,解得:x=5,经检验:x=5是分式方程的解.18.(9分)某校在课后服务中,成立了以下社团:A.计算机,B.围棋,C.篮球,D.书法每人只能加入一个社团,为了解学生参加社团的情况,从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图,其中图1中D所占扇形的圆心角为150°.请结合图中所给信息解答下列问题:(1)这次被调查的学生共有360人;(2)请你将条形统计图补充完整;(3)若该校共有1800学生加入了社团,请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团;(4)在书法社团活动中,由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀,恰好四位同学中有两名是男同学,两名是女同学.现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛,用画树状图求恰好选中一男一女的概率.【解析】解:(1)∵D所占扇形的圆心角为150°,∴这次被调查的学生共有:(人);故答案为:360.(2)C组人数为:360﹣120﹣30﹣150=60(人),故补充条形统计图如下图:(3)(人),答:这1800名学生中有300人参加了篮球社团,(4)设甲乙为男同学,丙丁为女同学,画树状图如下:∵一共有12种可能的情况,恰好选择一男一女有8种,∴.19.(8分)为了响应“足球进校园”的目标,某校计划为学校足球队购买一批足球,已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元;购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元.(1)求A,B两种品牌的足球的单价.(2)2023年学校购买足球的预算为6400元,总共购买100个球且购买A品牌足球的数量不多于B品牌足球数量的2倍,有几种购买方案.【解析】解:(1)设A品牌的足球的单价为x元/个,B品牌的足球的单价为y元/个,根据题意得:,解得:.答:A品牌的足球的单价为40元/个,B品牌的足球的单价为100元/个.(2)设购买A品牌足球a个,则购买B品牌足球(100﹣a)个.则,∴,∴a可取60,61,62,63,64,65,66共7种购买方案.答:有7种购买方案.20.(8分)学科综合我们在物理学科中学过:光线从空气射入水中会发生折射现象(如图1),我们把n=称为折射率(其中α代表入射角,β代表折射角).观察实验为了观察光线的折射现象,设计了图2所示的实验,即通过细管MN可以看见水底的物块C,但不在细管MN所在直线上,图3是实验的示意图,四边形ABFE为矩形,点A,C,B在同一直线上,测得BF=12cm,DF=16cm.(1)求入射角α的度数.(2)若BC=7cm,求光线从空气射入水中的折射率n.(参考数据:,,)【解析】解:(1)如图:过点D作DG⊥AB,垂足为G,由题意得:四边形DGBF是矩形,∴DG=BF=12cm,BG=DF=16cm,在Rt△DGB中,tan∠BDG===,∴∠BDG=53°,∴∠PDH=∠BDG=53°,∴入射角α的度数为53°;(2)∵BG=16cm,BC=7cm,∴CG=BG﹣BC=9(cm),在Rt△CDG中,DG=12cm,∴DC===15(cm),∴sinβ=sin∠GDC===,由(1)得:∠PDH=53°,∴sin∠PDH=sinα≈,∴折射率n===,∴光线从空气射入水中的折射率n约为.21.(8分)阅读与思考下面是小宇同学写的一篇数学小论文,请认真阅读并完成相应的任务:由一道习题引发的思考——“十字架模型”的拓展研究在我们教材上,有这样一道习题:如图1,四边形ABCD是一个正方形花园,E,F是它的两个门,要修建两条路BE和AF,且使得BE⊥AF,那么这两条路等长吗?为什么?对于上面问题,我是这样思考的:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAE=∠ADF=90°.又∵BE⊥AF,∴∠BEA+∠DAF=∠DAF+∠AFD=90°∴∠BEA=∠AFD,(依据*)∴Rt△ABE≌Rt△DAF,∴BE=AF.有趣的是对于两个端点分别在正方形ABCD一组对边上的线段,若这样的两条线段互相垂直,是否这两条线段仍然相等呢?对此我们可以做进一步探究:如图2,在正方形ABCD中,若点M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、AD上的任意四点,且MN⊥PQ,垂足为O,则MN仍然与PQ相等.理由如下:过点M作ME⊥CD,垂足为E,过点P作PF⊥AD,垂足为F.则容易证明四边形AMED和ABPF均为矩形,∴ME=AD,PF=AB.∵AB=AD,∴ME=PF在四边形QOND中,∵∠NOQ=∠D=90°,…任务:根据上面小论文的分析过程,解答下列问题:(1)画横线部分的“依据*”是在等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子,等式仍成立.(2)在小论文的分析过程,主要运用的数学思想有:AC.(从下面选项中填出两项).A.转化思想B.方程思想C.由特殊到一般的思想D.函数思想(3)请根据小论文提供的思路,补全图2剩余的证明过程.【解析】解:(1)在等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子,等式仍成立;(2)由正方形中的顶点A和顶点B转变成为点M和点N,所以是由特殊到一般的转化思想,所以AC正确.故选为:AC.(3)证明:过点M作ME⊥CD,垂足为E,过点P作PF⊥AD,垂足为F.则容易证明四边形AMED和ABPF均为矩形,∴ME=AD,PF=AB,∵AB=AD,∴ME=PF在四边形QOND中,∵∠NOQ=∠D=90°,∠NOQ+∠D+∠OQD+∠OND=360°,∴∠OQD+∠OND=180°,∵∠FQP+∠OQD=180°,∴∠FQP=∠OND=∠MNE,∵∠FQP+∠QPF=90°,∠MNE+∠NME=90°,∴∠QPF=∠NME,∵∠QPF=∠NME,ME=PF,∠PFQ=∠MEN=90°,∴△MNE≌△PQF(SAS),∴MN=PQ.22.(12分)综合与实践:数学模型可以用来解决一类问题,是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律,再结合其他数学知识的内在联系,最终可以获得宝贵的数学经验,并将其运用到更广阔的数学天地.(1)发现问题:如图1,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=30°,连接BE,CF,延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系:BE=CF,∠BDC=30°;(2)类比探究:如图2,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=120°,连接BE,CF,延长BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数,并说明理由;(3)拓展延伸:如图3,△ABC和△AEF均为等腰直角三角形,∠BAC=∠EAF=90°,连接BE,CF,且点B,E,F在一条直线上,过点A作AM⊥BF,垂足为点M.则BF,CF,AM之间的数量关系:BF=CF+2AM;(4)实践应用:正方形ABCD中,AB=2,若平面内存在点P满足∠BPD=90°,PD=1,则S△ABP=或.【解析】解:(1)BE=CF,∠BDC=30°,理由如下:如图1所示:∵△ABC和△ADE都是等腰三角形,∴AB=AC,AE=AF,又∵∠BAC=∠EAF=30°,∴△ABE≌△ACF(SAS),∴BE=CF,∴∠ABE=∠ACD,∵∠AOE=∠ABE+∠BAC,∠AOE=∠ACD+∠BDC,∴∠BDC=∠BAC=30°;(2)BE=CF,∠BDC=60°,理由如下:如图2所示:证明:∵∠BAC=∠EAF=120°,∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAF﹣∠EAC,即∠BAE=∠CAF,又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形,∴AB=AC,AE=AF,∴△BAE≌△CAF(SAS)∴BE=CF,∴∠AEB=∠AFC,∵∠EAF=120°,AE=AF,∴∠AEF=∠AFE=30°,∴∠BDC=∠BEF﹣∠EFD=∠AEB+30°﹣(∠AFC﹣30°)=60°;(3)BF=CF+2AM,理由如下:如图3所示:∵△ABC和△AEF都是等腰三角形,∴∠CAB=∠EAF=90°,AB=AC,AE=AF,∴∠CAB﹣∠CAE=∠FAE﹣∠CAE,即:∠BAE=∠CAF,∴△BAE≌△CAE(SAS),∴BE=CF,∵AM⊥BF,AE=AF,∠EAF=90°,∴EF=2AM,∵BF=BE+EF,∴BF=CF+2AM;(4))如图4所示:连接BD,以BD为直径作圆,由题意,取满足条件的点P,P′,则PD=P′D=1.∠BPD=∠BP′D=90°,∴BD=2,∴BP===,连接PA,作AF⊥PB于点F,在BP上截取BE=PD,∵∠PDA=ABE,AD=AB,∴△ADP≌△ABE(SAS),∴AP=AE,∠BAE=∠DAP,∴∠PAE=90°,由(3)可得:PB﹣PD=2AF,∴AF==,∴S△PAB=PB•AF=,同理可得:S△P′AB=,故△ABP的面积为:或.23.(13分)综合与实践如图,抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,对称轴为直线l.(1)求点A,B,C的坐标;(2)试探究抛物线上是否存在点E,使OE=EC,若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;(3)设点F在直线l上运动,点G在平面内运动,若以点B,C,F,G为顶点的四边形是菱形,且BC为边,直接写出点F的坐标.【解析】解:(1)当y=x2﹣x﹣2=0时,解得:x1=﹣1,x2=4,∴A(﹣1,0),B(4,0);当x=0时,y=x2﹣x﹣2=﹣2,∴C(0,﹣2);(2)∵OE=EC,∴点E在OC的垂直平分线上,∵C(0,﹣2),∴点E的纵坐标为﹣1,将y=﹣1代入抛物线y=x2﹣x﹣2得,x2﹣x﹣2=﹣1,解得x=;∴点E的坐标为(,﹣1)或(,﹣1);(3)∵y=x2﹣x﹣2与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0),∴y=x2﹣x﹣2的对称轴为直线x==,设点F的坐标的坐标为(,m),①当BC为边,BF为对角线时,BC=CF,∴BC2=CF2,∴42+22=()2+(m+2)2,解得m=±,∴点F的坐标为(,﹣2)或(,﹣﹣2);②当BC为边,CF为对角线时,BC=BF,∴BC2=BF2,∴42+22=(4﹣)2+m2,解得m=±,∴点F的坐标为(,)或(,﹣);综上所述,点F的坐标为(,﹣2)或(,﹣﹣2)或(,)或(,﹣).2024年中考第一次模拟考试(山西卷)数学·参考答案第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)12345678910DBBDCACDDB第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)11.﹣12.1613.514.15.三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(10分)【解析】(1)解:原式————————————3分=1-1+2-2———————————————————————————————4分.————————————————————————————————5分(2)任务一:①以上解题过程中,第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式;——6分②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法;——————————————7分任务二:小明因式分解的结果不彻底,还可以进行因式分解;——————8分任务三:原式————————————————————————————9分=——————————————————————————————10分17.(7分)【解析】解:,去分母得:x﹣4﹣3=3﹣x,——————————————————4分解得:x=5,————————————————————————6分经检验:x=5是分式方程的解.——————————————7分18.(9分)【解析】解:(1)360.——————————————————————————————2分(2)C组人数为:360﹣120﹣30﹣150=60(人),故补充条形统计图如下图:————————————————————————4分(3)(人),答:这1800名学生中有300人参加了篮球社团,————————————————6分(4)设甲乙为男同学,丙丁为女同学,画树状图如下:∵一共有12种可能的情况,恰好选择一男一女有8种,————————————8分∴.————————————————————————-9分19.(8分)【解析】解:(1)设A品牌的足球的单价为x元/个,B品牌的足球的单价为y元/个,根据题意得:,————————————————————————2分解得:.—————————————————————————————3分答:A品牌的足球的单价为40元/个,B品牌的足球的单价为100元/个.—————4分设购买A品牌足球a个,则购买B品牌足球(100﹣a)个.则,——————————————————————6分∴,————————————————————————————7分∴a可取60,61,62,63,64,65,66共7种购买方案.答:有7种购买方案.——————————————————————————8分20.(8分)【解析】解:(1)如图:过点D作DG⊥AB,垂足为G,由题意得:四边形DGBF是矩形,∴DG=BF=12cm,BG=DF=16cm,在Rt△DGB中,tan∠BDG===,——————————————————2分∴∠BDG=53°,∴∠PDH=∠BDG=53°,∴入射角α的度数为53°;——————————————————————————3分(2)∵BG=16cm,BC=7cm,∴CG=BG﹣BC=9(cm)
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