福建省莆田市2024届高三毕业班第二次教学质量检测数学试卷含答案解析

莆田市2024届高中毕业班第二次教学质量检测试卷数学本试卷共5页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.为虚数单位，，则（）A.1 B. C. D.22.若集合，则集合可能为（）A. B. C. D.3.某校高三年级有男生600人，女生400人．为了获得该校全体高三学生的身高信息，采用按比例分配的分层随机抽样抽取样本，得到男生､女生的平均身高分别为和，估计该校高三年级全体学生的平均身高为（）A. B. C. D.4.柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（）A. B. C. D.5.若，则（）A.事件与互斥 B.事件与相互独立C. D.6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．若点在圆上，则的最小值为（）A.5 B.4 C.3 D.27.已知角顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，把它的终边绕原点逆时针旋转角后经过点，则（）A. B. C. D.8.对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下四个结论：①在区间上“优于”；②在区间上“优于”；③在区间上“优于”；④若在区间上“优于”，则．其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.B.最大值为1C.在上单调递增D.将函数的图象向右平移个单位长度后与的图象重合10.在正方体中，点在平面上（异于点），则（）A.直线与垂直．B.存在点，使得C.三棱锥的体积为定值D.满足直线和所成的角为的点的轨迹是双曲线11.已知定义在上的函数满足：，则（）A.是奇函数B.若，则C.若，则为增函数D.若，则为增函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知，则__________，在上的投影向量的坐标为__________．13.已知的内角的对边分别为，若，则__________．14.如图，点是边长为1的正六边形的中心，是过点的任一直线，将此正六边形沿着折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为__________．四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．（1）求数列的通项公式；（2）若求数列的前项和．16.如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，．（1）证明：平面；（2）若平面，求二面角的正弦值．17.某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．（1）据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在内的人数；附：若，则．（2）已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为，刮出乙奖品的概率为．①求顾客获得乙奖品概率；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．18.已知椭圆离心率为，且上的点到右焦点的距离的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）已知为坐标原点，对于内任一点，直线交于两点，点在上，且满足，求四边形面积的最大值．19.已知函数．（1）证明：当时，；（2）若函数有两个零点．①求的取值范围；②证明：．

莆田市2024届高中毕业班第二次教学质量检测试卷数学本试卷共5页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.为虚数单位，，则（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法化简运算，在根据模长公式求解即可得答案.【详解】因为，所以，则.故选：B.2.若集合，则集合可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题中条件逐项验证即可.【详解】对于A,若,则，符合题意，故A正确；对于B，若,则，不符合题意，故B错误；对于C，若,则，不符合题意，故C错误；对于D，若,则，不符合题意，故D错误,故选：A.3.某校高三年级有男生600人，女生400人．为了获得该校全体高三学生的身高信息，采用按比例分配的分层随机抽样抽取样本，得到男生､女生的平均身高分别为和，估计该校高三年级全体学生的平均身高为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合平均数的计算公式运算求解.【详解】由题意可得：估计该校高三年级全体学生的平均身高为.故选：C.4.柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正八面体的几何特点求得该几何体的球心，再由球的体积计算公式求得球半径，结合球半径和棱的关系，以及三角形面积计算公式，即可求得结果.【详解】根据题意，作正八面体如下所示，连接，设，根据其对称性可知，过点，又该八面体为正八面体，则面，又面，故；显然正八面体的外接球球心为，设其半径为，，则，在直角三角形中，；由可得，则；故该八面体的表面积.故选：D.5.若，则（）A.事件与互斥 B.事件与相互独立C. D.【答案】B【解析】【分析】对于A，由即可判断，对于B，由对立事件概率公式以及独立乘法公式验证；对于C，由即可判断；对于D，由即可判断.【详解】对于AB，，从而，故A错误B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B.6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．若点在圆上，则的最小值为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】画出图形结合抛物线定义、三角形三边关系以及圆上点到定值线距离的最值即可求解.【详解】如图所示：由题意抛物线的准线为，它与轴的交点为，焦点为，过点向抛物线的准线引垂线，垂足为点，设圆的圆心为，已知圆与轴的交点为点，，且成立的条件是重合且重合，综上所述，的最小值为3.故选：C.7.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，把它的终边绕原点逆时针旋转角后经过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数关系求得的值，再结合正弦两角差公式即可得的值.【详解】因为，所以，则，又，所以，由得，则，由题意可知角的终边经过点，则，所以.故选：B.8.对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下四个结论：①在区间上“优于”；②区间上“优于”；③在区间上“优于”；④若在区间上“优于”，则．其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】对于①②：根据题意结合函数图象分析判断；对于③：构建函数，，利用导数判断函数单调性，可证；对于④：根据结合公切线可得，并检验.【详解】对于①：若区间上恒成立，结合余弦函数的图象可知：，若，此时与必有两个交点，由图象可知：不恒成立，即不存在实数，使得对任意恒成立，故①错误；对于②：对于，，结合正切函数图象可知，不存在在实数，使得对任意恒成立，故②错误；对于③：构建，则，令，解得；，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，即；构建，则，令，解得；，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，即；综上所述：，即存在实数，使得对任意恒成立，所以在区间上“优于”，故③正确；对于④：因为，且，若在区间上“优于”，可知符合条件的直线应为在处的公切线，则，可得，则切线方程为，构建在即内恒成立，可得；由③可知：，可得;综上所述：.所以符合题意，故D正确；故选：B【点睛】关键点点睛：对于③：通过构建函数证明；对于④：根据，结合题意分析可得，即可得，注意检验.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.B.的最大值为1C.在上单调递增D.将函数的图象向右平移个单位长度后与的图象重合【答案】AD【解析】【分析】由二倍角公式化简函数表达式，可直接判断AB，举反例判断C，由函数平移变换法则可判断D.【详解】对于AB，，，故A对B错；当，故C错误；将函数的图象向右平移个单位长度后的图象所对应的函数表达式为，故D正确.故选：AD.10.在正方体中，点在平面上（异于点），则（）A.直线与垂直．B.存在点，使得C.三棱锥的体积为定值D.满足直线和所成的角为的点的轨迹是双曲线【答案】ACD【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理以及性质定理，可判断A；采用反证的方法判断B；根据三棱锥的体积公式判断C；结合圆锥曲线的形成判断D.【详解】对于A，在正方体中，平面，平面，故，又,且平面，故平面，平面，故，同理可证,平面,故平面,平面,故，A正确；对于B，由于，假设存在点，使得，而平面，平面，则平面，则平面或平面ACD1，而直线与平面ACD1显然相交，故B对于C，由于，故四边形为平形四边形，则，平面，平面，故平面，同理可证平面，平面，故平面平面，即平面和平面之间的距离为定值，而平面，故M点到平面的距离为定值，由于的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，则三棱锥的体积为定值，C正确；对于D，直线和所成的角为，则M轨迹为以为轴、以所在直线上的线段为母线的圆锥被平面所截得的曲线，由于平面，结合圆锥曲线的形成（淡蓝色部分为双曲线），可知满足直线和所成的角为的点的轨迹是双曲线，D正确故选：ACD11.已知定义在上的函数满足：，则（）A.是奇函数B.若，则C.若，则为增函数D.若，则为增函数【答案】ABD【解析】【分析】根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，单调性的定义和性质，结合赋值法的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：定义域为，关于原点对称；对原式，令，可得，解得；对原式，令，可得，即，故是奇函数，A正确；对B：对原式，令，可得，又，则；由A可知，为奇函数，故，故B正确；对C：由A知，，又，对，当时，；当时，；故在时，不是单调增函数，故C错误；对D：在上任取，令，则，由题可知，又，故，即，，故在上单调递增，也即在上单调递增，故D正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是合理的使用赋值法，对已知条件赋值，求得需要的函数值；二是对函数奇偶性和单调性定义的熟练掌握；三是在D选项处理过程中，对合理变形为，进而根据抽象函数满足的条件进行计算，属综合题.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知，则__________，在上的投影向量的坐标为__________．【答案】①.②..【解析】【分析】根据向量的模长的坐标计算公式，代入数值即可求得；根据投影向量的计算公式，结合已知条件，即可求得投影向量的坐标.【详解】因为，故；在上投影向量为，又，则；故在上的投影向量的坐标为.故答案为：；.13.已知的内角的对边分别为，若，则__________．【答案】【解析】【分析】根据余弦定理可得，再利用余弦定理即可得的值.【详解】由余弦定理可得，所以，于是有.故答案为：.14.如图，点是边长为1的正六边形的中心，是过点的任一直线，将此正六边形沿着折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】根据正六边形的性质和对称性，可将问题转化为求三角形面积最大值问题，结合基本不等式求出最值即可.【详解】如图，由对称性可知，折叠后的图形与另外一半不完全重合时比完全重合时面积大，此时，折叠后面积为正六边形面积的与面积的3倍的和.由正六边形的性质和对称性知，，，在中，由余弦定理可得：，得，由基本不等式可知，则，故，因，，解得，当且仅当时等号成立，故，又正六边形的面积，所以折叠后的面积最大值为：.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得折叠后所成图形的面积要取得最大值时的状态，从而得解.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．（1）求数列的通项公式；（2）若求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意列式求，进而可得结果；（2）根据题意利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解.【小问1详解】由题意可得：，即，且，解得，所以数列的通项公式.小问2详解】由（1）可得，可得，所以.16.如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，．（1）证明：平面；（2）若平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，中点，连接，通过线面平行、面面平行的判定定理首先得平面平面，再利用面面平行的性质即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角余弦的坐标公式结合三角函数平方关系即可得解.【小问1详解】如图：取中点，中点，连接，一方面：因为，所以，即四边形是平行四边形，所以，又，所以，即四边形是平行四边形，所以，因为，所以四边形是平行四边形，所以，从而，又因为面，面，所以面，另一方面：又因为，所以四边形是平行四边形，所以，又因为面，面，所以面，结合以上两方面，且注意到平面，所以平面平面，又平面，所以平面；【小问2详解】若平面，又平面，所以，又，所以以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设是平面的法向量，则，即，令，解得，即可取平面的一个法向量为，设是平面的法向量，则，即，令，解得，即可取平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则，所以，即二面角的正弦值为.17.某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．（1）据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在内的人数；附：若，则．（2）已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为，刮出乙奖品的概率为．①求顾客获得乙奖品的概率；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．【答案】（1）16372（2）①；②【解析】【分析】（1）由题意，由此结合题中数据以及对称性即可求解相应的概率，进一步即可求解；（2）由题意有，进一步分3大种情况求得，对于①，由全概率公式即可求解；对于②，由条件概率公式即可求解.【小问1详解】由题意，若某天该商场有20000位顾客，估计该天消费额在内的人数为；【小问2详解】设事件“顾客中龙腾奖”，事件“顾客中旺旺奖”，事件“顾客获得乙奖品”，由题意知，事件包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子的点数之和为18”，则（i）若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”，“1点，2点，3点”，“2点，2点，2点”，三类情况，共有种；（ii）若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”，“2点，5点，5点”，“2点，4点，6点”，“3点，4点，5点”，“3点，3点，6点”，“4点，4点，4点”，六类情况，共有种；（iii）若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6点，6点”，一类情况，共有1种；所有，①由全概率公式可得，即顾客获得乙奖品的概率为；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是，所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是.18.已知椭圆的离心率为，且上的点到右焦点的距离的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）已知为坐标原点，对于内任一点，直线交于两点，点在上，且满足，求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）由离心率公式以及焦半径的最值列出方程组，结合算出即可；（2）分直线是否垂直于轴进行讨论即可，当直线不垂直于轴时，由弦长公式、点到直线的距离公式表示出四边形的面积（含参数），进一步结合过点与直线平行的直线与椭圆至少有一个交点，由此，从而即可进一步求解.【小问1详解】由题意可得，所以，所以椭圆的方程是；【小问2详解】设点到直线的距离为，因为，所以点到直线的距离是点到直线的距离的2倍，所以四边形的面积为，当直线垂直于轴时，，点到直线的距离的最大值为2，此时，