北师大版初中八年级数学上册第一章勾股定理2一定是直角三角形吗课件

2一定是直角三角形吗第一章勾股定理基础过关全练知识点1勾股定理的逆定理1.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a2=b2

+c2,则下列说法正确的是

(

)A.∠C是直角

B.∠B是直角C.∠B+∠C=∠A

D.∠C∶∠B∶∠A=1∶2∶3

C解析由a2=b2+c2,及勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角

形,∠A=90°,∴∠C+∠B=90°=∠A,故选C.2.若△ABC的三边长为a,b,c,且满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是

(

)A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形D解析由题意得a-b=0或a2+b2-c2=0,故a=b或a2+b2=c2,∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.3.如图所示的是小明家建房时挖出地基的平面图,若为长方

形则合格,挖空后测得AB=CD=15m,AD=BC=8m,对角线AC

=15.8m,则小明家挖的地基

(填“合格”或“不合

格”).

不合格解析因为AB=DC=15m,AD=BC=8m,所以AB2+BC2=152+82=289,又因为AC2=15.82=249.64,所以AB2+BC2≠AC2,所以∠ABC≠90°,即挖的地基不合格.4.如图所示,正方形中的数字表示该正方形的面积,则∠α+∠β=

度.

90解析设三个正方形的边长由小到大分别为a,b,c,则a2=25,b2=144,c2=169,∵25+144=169,∴a2+b2=c2,∴题图中的三角形是直角三角形,∴∠α+∠β=90°.5.(教材变式·P9例题)一块铁皮的形状如图所示,测得AB=6,

BC=8,CD=24,AD=26,∠B=90°,则这块铁皮(阴影部分)的面积

为

.

96解析如图,连接AC.

在△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,∴AC2=62+82=100=102,∴AC=10.∵CD=24,AD=26,AC=10,∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°,△ACD是直角三角形,∴S阴影=S△ACD-S△ABC=

×10×24-

×6×8=120-24=96.故这块铁皮的面积是96.6.如图,若小方格的边长为1,请你根据所学的知识回答下列

问题:(1)求△ABC的面积.(2)判断△ABC的形状,并说明理由.

解析

(1)△ABC的面积=4×8-

×1×8-

×2×3-

×6×4=13.(2)△ABC是直角三角形.理由如下:∵小方格的边长为1,∴AC2=12+82=65,AB2=32+22=13,BC2=62+42=52.在△ABC中,AB2+BC2=13+52=65,AC2=65,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形.知识点2勾股数7.(2023广东佛山顺德第一次月考)下列各组数中,是勾股数

的为

(

)A.1、2、3

B.4、5、6C.3、4、5

D.7、8、9

C解析

A.∵12+22=5≠32=9,∴1、2、3不是勾股数,故A错误;B.∵42+52=41≠62=36,∴4、5、6不是勾股数,故B错误;C.∵32+42=25=52,∴3、4、5是勾股数,故C正确;D.∵72+82=113≠92=81,∴7、8、9不是勾股数,故D错误.故选C.8.(新考向·规律探究试题)(2022山东青岛育才中学期中)观察

下列几组勾股数,并填空:①4,3,5,②6,8,10,③8,15,17,④10,24,

26,⑤12,35,37,……,则第⑦组勾股数为

.

16,63,65解析根据题目给出的前几组数的规律可得第

组勾股数中的第一个数是2(n+1),第二个数是(n+1)2-1,第三个数是(n+1)2+

1,故第⑦组勾股数是16,63,65.能力提升全练9.(2024广东深圳实验学校期中,5,★★☆)下列条件中,不能

判定△ABC是直角三角形的是

(

)A.∠A=∠B+∠CB.a∶b∶c=5∶12∶13C.a2=(b+c)(b-c)D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5

D解析∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=∠B+∠C,∴∠A=∠B+∠C=

=90°,∴△ABC是直角三角形,故A不符合题意;∵52+122=132,∴△ABC是直角三角形,故B不符合题意;a2=(b+c)(b-c)=b2-c2,变形可得a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形,故C不符合题意;∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=

×180°=45°,∠B=

×180°=60°,∠C=

×180°=75°,∴△ABC不是直角三角形,故D符合题意.故选D.10.(情境题·数学文化)(2023四川泸州中考,9,★★☆)《九章

算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数

a,b,c的计算公式:a=

(m2-n2),b=mn,c=

(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公

式直接得出的是(

)A.3,4,5

B.5,12,13C.6,8,10

D.7,24,25

C解析当m=3,n=1时,a=

(m2-n2)=

×(32-12)=4,b=mn=3×1=3,c=

(m2+n2)=

×(32+12)=5,∴选项A不符合题意;当m=5,n=1时,a=

(m2-n2)=

×(52-12)=12,b=mn=5×1=5,c=

(m2+n2)=

×(52+12)=13,∴选项B不符合题意;当m=7,n=1时,a=

(m2-n2)=

×(72-12)=24,b=mn=7×1=7,c=

(m2+n2)=

×(72+12)=25,∴选项D不符合题意;∵没有符合条件的m,n使C成立,∴选项C符合题意,故选C.11.(新考向·实践探究试题)(2023河北保定乐凯中学期中,11,

★★☆)如图,在5×5的正方形网格中,从在格点上的点A,B,C,

D中任取三点,所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为

(

)A.1

B.2

C.3

D.4C解析如图,连接AC、AB、AD、BC、CD、BD,

设小正方形的边长为1,由勾股定理得AB2=12+22=5,AC2=22+42=20,AD2=12+32=10,BC2=

52=25,CD2=12+32=10,BD2=12+22=5,∴AB2+AC2=BC2,AD2+CD2=AC2,BD2+AB2=AD2,∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形,共3个直角三角形,故选C.12.(情境题·数学文化)(2022湖北黄冈中考,15,★★☆)勾股定

理最早出现在商高的《周髀算经》:“勾广三,股修四,经隅

五”.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,这类勾股数

的特点:勾为奇数,弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与

股相差2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;……,若此类勾股数

的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是

(结果用含m

的式子表示).

m2+1解析∵m为正整数,∴2m为偶数,设其股是a,则弦为a+2,根据勾股定理得(2m)2+a2=(a+2)2,解得a=m2-1.∴弦是m2+1,故答案为m2+1.13.(2021广西玉林中考,16,★★☆)如图,某港口P位于东西方

向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向

航行,甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后

两船分别位于点A,B处,且相距20海里,如果知道甲船沿北偏

西40°方向航行,则乙船沿

方向航行.

北偏东50°解析由题意可知AP=12,BP=16,AB=20,∵122+162=202,∴△APB是直角三角形,∠APB=90°.由题意知∠APN=40°,∴∠BPN=90°-∠APN=90°-40°=50°,即乙船沿北偏东50°方向航行,故答案为北偏东50°.14.(2024广东茂名信宜期中,20,★★☆)如图,已知等腰三角

形ABC的底边BC=20cm,D是腰AB上的一点,且BD=12cm,

CD=16cm.(1)求证:△BCD是直角三角形.(2)求△ABC的周长.

解析

(1)证明:在△BDC中,BC=20cm,BD=12cm,CD=16cm,

∴BD2+CD2=BC2,∴∠BDC=90°,△BCD是直角三角形.(2)设AB=AC=xcm,则AD=(x-12)cm.在Rt△ADC中,由勾股定理得AD2+CD2=AC2,即(x-12)2+162=x2,解得x=

,即AB=AC=

cm,∵BC=20cm,∴△ABC的周长是AB+AC+BC=

+

+20=

cm.15.(2022安徽蚌埠蚌山期中,18,★★☆)龙梅和玉荣是草原上

的好朋友,可是有一次经过一场争吵之后,两人不欢而散,龙

梅的速度是

米/秒,4分钟后她停了下来,觉得有点后悔了,玉荣走的方向好像是和龙梅走的方向成直角,她的速度是

米/秒,如果她和龙梅同时停下来,而这时候她俩正好相距200米,

那么她们两人走的方向是否成直角?如果她们现在想讲和,

那么以原来的速度相向而行,多长时间后能相遇?解析

龙梅走的路程=

×4×60=120(米),玉荣走的路程=

×4×60=160(米),∵1202+1602=2002,∴她们走的方向成直角.以原来的速度相向而行相遇的时间=200÷

=200÷

=

=171

(秒).答:她们走的方向成直角,如果她们想讲和,按原来的速度相

向而行,171

秒后能相遇.16.(2023河南郑州外国语学校第一次月考,18,★★☆)在一条

东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,

其中AB=AC,由于某种原因由C到A的路现在已经不通,某村

为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在

一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=1.5千米,CH=1.2千

米,HB=0.9千米.

(1)问CH是不是从村庄C到河边最近的路?请通过计算加以

说明.(2)求原来的路线AC的长.解析

(1)是,理由:在△CHB中,∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25,BC2=2.25,∴CH2+BH2=BC2,∴∠CHB=90°,∴CH是从村庄C到河边最近的路.(2)设AC=x千米,则AH=(x-0.9)千米,在Rt△ACH中,由勾股定理得AC2=AH2+CH2,∴x2=(x-0.9)2+1.22,解得x=1.25.故原来的路线AC的长为1.25千米.素养探究全练17.(推理能力)在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边的

长,当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形;当a2+b2≠c2时,利用代

数式比较a2+b2和c2的大