北师大版初中八年级数学上册第一章综合检测卷课件

第一章 综合检测卷(时间：90分钟

满分：120分)考查内容：勾股定理一、选择题(共有10小题,每小题3分,共30分)1.(2024贵州六盘水期中,6,★☆☆)在Rt△ABC中,斜边BC=5,则AB2+AC2+BC2的值为

()A.15

B.25

C.50

D.无法计算C2.(2021山西中考,8,★☆☆)在勾股定理的学习过程中,我们已经学会了运用如图所示的图形,验

证著名的勾股定理,这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”.

实际上它也可用于验证数与代数,图形与几何等领域中的许多数学公式和规律,它体现的数学思

想是

()

A.统计思想

B.分类思想

C.数形结合思想

D.函数思想C3.(2023四川巴中期末,8,★☆☆)一棵美丽的“勾股树”如图所示,其中所有的四边形都是正方

形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大的正方形E的面

积是()

A.13

B.26

C.34

D.47D由勾股定理得,正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+52=34,正方形G的面积=正

方形C的面积+正方形D的面积=22+32=13,所以正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积

=47.故选D.4.(★☆☆)下列四组线段中,能组成直角三角形的是

()A.a=32,b=42,c=52

B.a=11,b=12,c=13C.a=5,b=12,c=13

D.a=1,b=1,c=2C5.

(2023河北沧州期末,10,★★☆)如图,某超市为了吸引顾客,在超市门口离

地4.5m的墙上装了一个由传感器控制的门铃A,只要人走到离门口4m及4m以内,门铃就会自动

发出语音“欢迎光临”,若一个身高1.5m的学生走到D处,门铃恰好自动响起,则该学生头顶C到

门铃A的距离为()

A.3m

B.4m

C.5m

D.6mC如图,过点C作CE⊥AB,交AB于点E.

由题意可知,BE=CD=1.5m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m),CE=4m,在Rt△ACE中,由勾股定理得AC2=

AE2+CE2,∴AC=5m,即该学生头顶C到门铃A的距离为5m.故选C.6.(2023山东威海期中改编,11,★★☆)如图,∠AOB=90°,OA=36cm,OB=12cm,点P从点A出发沿

AO向点O匀速运动,点Q同时从点B出发,沿BC匀速前进拦截点P,恰好在点C处拦截了点P.若点P

与点Q运动的速度相等,则点Q运动的路程为()

A.13cm

B.20cm

C.24cm

D.16cmB由题意可知BC=AC,设BC=xcm,则OC=(36-x)cm.在Rt△BOC中,由勾股定理得OB2+OC2=BC2,即122

+(36-x)2=x2,解得x=20.故选B.7.

(2024重庆十一中月考,8,★★☆)某数学兴趣小组开展了探究“笔记本电

脑的张角大小”的实践活动.如图,当张角为∠BAF时,顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm,此时

底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm,小组成员调整张角的大小继续探究,最后发现当张角为

∠DAF时(D是B的对应点),顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm,则底部边缘A处与E处间的距

离AE为

()

A.15cm

B.18cm

C.21cm

D.24cmA由题意可知,AC=24cm,BC=7cm,在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,∴AB=25cm,∴AD=AB=25cm,∵DE=20cm,在Rt△ADE中,AE2=AD2-DE2,∴AE=15cm.8.(2024河北保定高碑店、清苑期中,14,★★☆)对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形,现有

如图所示的垂美四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=1,BC=4,则AB2+CD2等于()

A.15

B.16

C.17

D.20C∵AC⊥BD于点O,AD=1,BC=4,∴AO2+DO2=AD2=12=1,BO2+CO2=BC2=42=16,BO2+AO2=AB2,CO2+DO2=CD2,∴AB2+CD2=BO2+AO2+CO2+DO2=(AO2+DO2)+(BO2+CO2)=1+16=17.9.(2024山东枣庄滕州东郭中学开学测试,11,★★☆)如图,一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒

中,已知笔筒的长,宽,高依次为4cm,3cm,12cm,那么这支铅笔露在笔筒外的部分的长度x的范围

是

()

A.2cm≤x≤5cm

BB.2cm≤x≤3cmC.4cm≤x≤5cmD.9cm≤x≤12cm由题意知,当铅笔垂直于笔筒底部放置时,铅笔露在笔筒外的部分的长度x最大,最大值为15-12=3

(cm).42+32+122=169,结合题图可知,铅笔在笔筒内的部分的长度最大为13cm,∴铅笔露在笔筒外的部

分的长度x的最小值为15-13=2(cm),∴这支铅笔露在笔筒外的部分的长度x的范围是2cm≤x≤3cm.10.(2023河北石家庄四十一中模拟,16,★★★)图①、图②的两个正方形网格的面积分别为S1、S2,正方形ABCD和正方形MNPQ满足

=

,下列结论正确的是

()

A.S1=36

B.S正方形ABCD=

S1

DC.S正方形MNPQ=

S2

D.

=

设题图①中组成网格的每个小正方形的边长是x,题图②中组成网格的每个小正方形的边长是y,∴S1=36x2,S2=36y2,∵S正方形ABCD=AB2=(2x)2+(4x)2=20x2,∴

=

,∴S正方形ABCD=

S1,故B错误.∵S正方形MNPQ=MN2=(3y)2+(3y)2=18y2,∴

=

,∴S正方形MNPQ=

S2,故C错误.∵S正方形ABCD=S正方形MNPQ,∴20x2=18y2,∴

=

,∴

=

,故D正确.∵题图①中组成网格的每个小正方形的边长未知,∴S1不一定等于36,故A错误.11.(2024河南驻马店驿城期中,12,★☆☆)如图所示的是一个长80cm,宽60cm的长方形木框,需

在对角的顶点间钉一根木条用来加固,则木条的长至少为

cm.

100二、填空题(共有6小题,每小题4分,共24分)12.

(2023河北石家庄桥西期中改编,18,★☆☆)某公园的一角如图所示,有人

为了抄近道而避开路的拐角∠ABC(∠ABC=90°),在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC”.

已知AB=8米,BC=6米,他们踩坏草坪只为少走

米的路.

4在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8米,BC=6米,由勾股定理得AC2=AB2+BC2=82+62=100,故AC=10米,

∴BC+AB-AC=6+8-10=4(米),∴他们踩坏草坪只为少走4米的路.13.(2024重庆南开中学期中,16,★★☆)如图,∠BAC=90°,AB=4,AC=4,BD=7,DC=9,则∠DBA=

°.

45∵∠BAC=90°,AB=4,AC=4,∴∠ABC=45°,BC2=AB2+AC2=32,∵BD=7,DC=9,∴BD2+BC2=49+32=81=92=DC2,∴△DBC是直角三角形,∠DBC=90°,∴∠DBA=∠DBC-∠ABC=45°.14.(★★☆)如图,在4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C均在小正方形的顶点上,

BD⊥AC于点D,则BD的长为

.

由勾股定理得,AC2=32+42=25,∴AC=5,∵BD是△ABC中AC边上的高,∴

×5·BD=

×3×3,解得BD=

.等面积法等面积法也叫等积法,是几何中常用的一种方法,其特点是把已知量和未知量用面积公式联

系起来,通过运算求线段的长.方法技巧15.

(2022湖北黄冈、孝感、咸宁中考,15,★★☆)勾股定理最早出现在商高

的《周髀算经》:“勾广三,股修四,径隅五.”观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…….这类勾

股数的特点:勾为奇数,弦与股的差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股的差为2的一类勾股数,如:

6,8,10;8,15,17;…….若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是

(结果用含m的

式子表示).m2+1∵m为正整数,∴2m为偶数,设其股为a,则弦为a+2,根据勾股定理得,(2m)2+a2=(a+2)2,解得a=m2-1,∴弦是a+2=m2-1+2=m2+1.16.(2023四川广安中考,15,★★★)如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁

离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相

对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为

cm.(杯壁厚度不计)

10如图,将杯子侧面展开(展开图的一半),作B关于EF的对称点B',作B'D垂直于AE,交AE的延长线于点D,连接B'A,则B'A的长即为最短距离,由题可知,B'D=

×16=8(cm),AD=9-4+1=6(cm),∵B'A2=B'D2+AD2=100,∴B'A=10cm.

将立体图形转化为平面图形,利用“轴对称的性质”将线段和最短的问题转化成“两点之间线

段最短”的问题,确定最短路径,再构造直角三角形,利用勾股定理求距离.方法解读三、解答题(共有6小题,共66分)(含评分细则)17.(8分)(2023广东肇庆德庆期末,17,★☆☆)如图,小明准备建一个鲜花大棚,棚宽BE=4米,高AE=

3米,长AD=10米,棚的斜面用长方形玻璃ABCD遮盖,不计墙的厚度,请计算阳光透过的最大面积.

在Rt△AEB中,AB2=AE2+BE2,AE=3米,BE=4米,∴AB=5米,

(4分)长方形ABCD的面积=10×5=50(平方米).

(6分)答:阳光透过的最大面积是50平方米.

(8分)18.

(8分)(2021四川攀枝花中考,19,★☆☆)下图是“弦图”的示意图,“弦

图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,它标志着中国古代的数

学成就.它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成,恰好拼成一个大正方形,每个直角三角

形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.请你运用此图形证明勾股定理:a2+b2=c2.

因为S大正方形=4×S直角三角形+S小正方形=4×

ab+(b-a)2

(2分)=2ab+b2+a2-2ab=a2+b2,

(5分)S大正方形=c2,

(7分)所以a2+b2=c2.

(8分)19.(12分)(★★☆)如图所示,有一个直角三角形纸片,∠ACB=90°,AC=12cm,AB=20cm,现将直角

三角形纸片沿直线AD折叠,使点C落在斜边AB上的点E处,连接DE,求CD的长.

在Rt△ABC中,由勾股定理得BC2=AB2-AC2,∴BC=16cm.

(3分)由折叠的性质可知,DC=DE,AC=AE=12cm,∠DEA=∠C=90°.∴BE=AB-AE=8cm,∠DEB=90°.

(6分)设DC=DE=xcm,则BD=(16-x)cm.在Rt△BDE中,由勾股定理得BE2+ED2=BD2,即82+x2=(16-x)2,

(10分)解得x=6,∴CD=6cm.

(12分)20.(12分)(2023河南焦作期末改编,20,★★☆)如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AC为对角线,AE⊥

CD于点E,已知AB=8,BC=6,CD=26,AD=24.(1)请判断△ACD的形状并说明理由.(2)求线段AE的长.

(1)△ACD是直角三角形.

(1分)理由:在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,BC=6,∴AC2=AB2+BC2=82+62=100,∴AC=10,

(4分)∵CD=26,AD=24,∴CD2-AD2=262-242=100=AC2,∴△ACD是直角三角形.

(7分)(2)由(1)知,△ACD是直角三角形,且∠CAD=90°.∵S△ACD=

AC·AD=

AE·DC,

(9分)∴AE=

=

=

.

(12分)21.

(12分)(2023江西宜春期中,15,★★★)如图,有一架秋千,当它静止在

AD位置时,踏板离地面EF的垂直高度为0.6m,将秋千AD往前推送3m,到达AB位置,此时,秋千的

踏板离地面的垂直高度为1.6m,秋千的绳索始终保持拉直的状态.(1)根据题意,BF=

m,BC=

m,CD=

m.(2)根据(1)中的数据,求秋千的长度.(3)如果想要踏板离地面的垂直高度为2.6m,需要将秋千AD往前推送

m.(1)1.6;3;1.

(3分)(2)∵BC⊥AC,∴∠ACB=90°,设秋千的长度为xm,则AB=AD=xm,AC=AD-CD=(x-1)m,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即(x-1)2+32=x2,

(7分)解得x=5,即秋千的长度是5m.

(10分)(3)4.

(12分)详解:当BF=2.6m时,CE=2.6m,∵DE=0.6m,∴CD=CE-DE=2.6-0.6=2(m),由(2)可知,AD=AB=5m,∴AC=AD-CD=5-2=3(m),在Rt△ABC中,由勾股定理得BC2=AB2-AC2,∴BC=4m,即需要将秋千AD往前推送4m.22.(14分)(新独家原创,★★★)“转化”是一种重要的数学思想,将立体图形转化为平面图形是

解决“蚂蚁爬行最短路径问题”的方法.【基础研究】蚂蚁在正方体表面爬行问题:如图①所示的是一个正方体,一只蚂蚁从点A出发,沿

着正方体的表面爬行到点G,怎样爬行路径最短?要解决这个问题,我们可以把正方体的表面展

开,把立体图形两个面上的两点A,G之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问