山东省青岛市李沧区、西海岸新区、胶州市、城阳区2023--2024学年下学期八年级期末数学试卷　

2023-2024学年山东省青岛市李沧区、西海岸新区、胶州市、城阳区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（）A．x﹣1＞y﹣1 B．3x＞3y C． D．﹣2x＜﹣2y2．（3分）下面四个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列因式分解正确的是（）A．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b） B．x2﹣6x+9＝（x+3）2 C．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y） D．a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2＝（a﹣b）2（a2+b2）4．（3分）一次函数y＝kx+3的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．当x≥2时，kx+3≤0 B．当x＜2时，kx+3＞0 C．当x＜0时，kx+3＜3 D．当x≥0时，kx+3≤35．（3分）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（）x的取值﹣44a16分式的值无意义00.1bA．m＝﹣8 B．n＝﹣4 C．a＝6 D．b＝0.26．（3分）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为xkm/h，则根据题意可列方程为（）A． B． C． D．7．（3分）如图，将含有60°锐角的三角板△ABC绕60°的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到△ECD，若AB、CE相交于点F，AE＝AF，则旋转角是（）A．45° B．40° C．35° D．30°8．（3分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今，如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），斜边为c，则下列结论：①a+b＞c；②a2+b2＞2ab；③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；④，其中正确的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝．10．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是．11．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是．12．（3分）如图，两个正方形的边长分别为m，n，若m+n＝11，m﹣n＝1，则图中阴影部分的面积为．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AB上一点，连接DE．若∠DEB＝30°，CD＝5，则DE的长为．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，AD是BC边上的高，点F在边AB上，E为CF的中点，连接DE．若DE＝6，则AF的长为．15．（3分）图①所示的彭罗斯地砖，是由获得诺贝尔奖的英国数学家罗杰•彭罗斯提出的一种铺满平面的方案．这种地砖蕴含着准晶体原子排列的秘密，打破了人们对品体认知的局限．它是由图②和图③所示的两种不同平行四边形镶嵌而成，则图③中∠EFG的度数是°．16．（3分）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，…，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为．三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．17．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B．求作：Rt△ABC，使∠B＝90°，点C在∠O内部且到角两边的距离相等．四、解答题（本大题共9小题，共68分）18．（8分）（1）解不等式组：；（2）分解因式：9a（x﹣y）+4b（y﹣x）．19．（6分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值．20．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2），M（m，n）为△ABC内任意一点．（1）将△ABC平移得到△A1B1C1，点C的对应点是C1（2，﹣2），请在图中画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标（，）；（2）若△PQR是△ABC经过旋转得到的图形，点A，B，C的对应点分别是P，Q，R，观察变换前后各对应点之间的关系，则点M的对应点N的坐标为（，）（用含m，n的式子表示）．21．（6分）围棋与象棋作为两种深受人们喜爱的古老棋艺，它们不仅体现了中华民族智慧的精髓，同时也反映了中国文化的深厚底蕴．国家“双减”政策实施后，某校积极开设棋类社团，并计划为参加棋类社团的同学购买30副围棋和m（m≥20）副象棋，已知每副围棋的价格是60元，每副象棋的价格是25元．在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：方案一：购买围棋超过10副时，每超过1副则赠送象棋1副；方案二：按购买总金额的八折付款．该学校选择哪一种方案支付的总费用较少？22．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB．（1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数；（2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长．23．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学兴趣小组要在AC上找两个点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：甲方案乙方案在AO，CO上分别取点E，F，使得AE＝CF作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F请回答下列问题：（1）选择其中一种方案，并证明四边形BEDF为平行四边形；（2）在（1）的基础上，若EF＝3AE，S△AED＝5，则▱ABCD的面积为．24．（8分）类比推理是一种特殊的归纳推理，人们在探讨一些尚未观察到的事物性质时，以某些事物、道理之间存在相似性质为依据，推断出该事物可能与其他事物有着相似的性质，它是人类试图理解世界和做出决策的最常用方法之一．在日常数学学习中，我们常常借助类比推理研究新的知识，如：分式的基本性质与运算法则都是通过与分数类比得到的．小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法：即（x2+3x+2）+（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．【初步探究】小明看到这样一道被墨水污染了无法辨认的因式分解题：x2+□x﹣3＝（x﹣3）（x+☆），（其中□、☆分别代表被污染的系数和常数），他列出了下列竖式：通过计算，求得：□所代表的系数是，☆所代表的常数是；【深入探究】小明用上述方法对多项式x3﹣x2+2x+4进行因式分解，得到：x3﹣x2+2x+4＝（x+1）（※）（※代表一个多项式），则※所代表的多项式为；【拓展应用】我们知道，若a•b＝0则a＝0或b＝0，例如：（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，由此我们可以求出关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的一个解为x＝1，另一个解为x＝2．结合上述信息解答下列问题：（1）若关于x的方程x2+x﹣6＝0的一个解为x＝2，则另一个解为；（2）若关于x的方程2x3+5x2﹣x﹣6＝0有两个解为x＝1，x＝﹣2，则第三个解为．25．（10分）某商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调的每台进价比乙种贵300元，用36000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同，请解答下列问题：（1）甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元；（2）若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价2000元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调的数量m（台）之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过34500元购进两种空调，则甲、乙两种空调各购进多少台时，该商场获得的利润最大？最大利润是多少元？26．（10分）如图，在▱ABCD中，CD＝8cm，BC＝16cm，∠A＝60°，BD⊥AB，过点D作DE⊥BC，垂足为E，动点P从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以4cm/s的速度沿射线BC运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为ts（0＜t＜8）．（1）当PQ∥CD时，求t的值；（2）连接BP，设四边形BPDE的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）当点P关于直线DQ的对称点恰好在直线CD上时，请直接写出t的值．

2023-2024学年山东省青岛市李沧区、西海岸新区、胶州市、城阳区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（）A．x﹣1＞y﹣1 B．3x＞3y C． D．﹣2x＜﹣2y【解答】解：A、∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故A不符合题意；B、∵x＜y，∴3x＜3y，故B不符合题意；C、∵x＜y，∴＜，故C符合题意；D、∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故D不符合题意；故选：C．2．（3分）下面四个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符符合题意；C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．3．（3分）下列因式分解正确的是（）A．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b） B．x2﹣6x+9＝（x+3）2 C．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y） D．a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2＝（a﹣b）2（a2+b2）【解答】解：A、原式＝ab（﹣a+b）＝﹣ab（a﹣b），符合题意；B、原式＝（x﹣3）2，不符合题意；C、原式不能分解，不符合题意；D、原式＝a2（a﹣b）2﹣b2（a﹣b）2＝（a﹣b）2（a2﹣b2）＝（a﹣b）3（a+b），不符合题意．故选：A．4．（3分）一次函数y＝kx+3的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．当x≥2时，kx+3≤0 B．当x＜2时，kx+3＞0 C．当x＜0时，kx+3＜3 D．当x≥0时，kx+3≤3【解答】解：A、观察图象知：当x≥2时，kx+3≤0，故不符合题意；B、观察图象知：当x＜2时，kx+3＞0，故不符合题意；C、观察图象知：当x＜0时，kx+3＞3，故C符合题意；D、观察图象知：当x≥0时，kx+3≤3，不符合题意．故选：C．5．（3分）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（）x的取值﹣44a16分式的值无意义00.1bA．m＝﹣8 B．n＝﹣4 C．a＝6 D．b＝0.2【解答】解：由表格可得当x＝﹣4时，分式无意义，则2×（﹣4）﹣m＝0，解得：m＝﹣8，则A不符合题意；当x＝4时，分式的值为0，则4+n＝0，解得：n＝﹣4，则B不符合题意；当x＝a时，分式的值为0.1，则＝0.1，解得：a＝6，经检验，a＝6是分式方程的解，则C不符合题意；当x＝16时，分式的值为b，则b＝＝0.5，则D符合题意；故选：D．6．（3分）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为xkm/h，则根据题意可列方程为（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，得．故选：D．7．（3分）如图，将含有60°锐角的三角板△ABC绕60°的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到△ECD，若AB、CE相交于点F，AE＝AF，则旋转角是（）A．45° B．40° C．35° D．30°【解答】解：设旋转角＝α，∴直角三角板ABC绕直角顶点C逆时针旋转角度α，得到△DCE，∴∠ACF＝α，CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠AFE＝α+∠CAF＝α+30°，∴α+30°＝90，∴α＝40°，故选：B．8．（3分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今，如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），斜边为c，则下列结论：①a+b＞c；②a2+b2＞2ab；③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；④，其中正确的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【解答】解：①由三角形的两边之和大于第三边可知a+b＞c，故①正确；②∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＞0，a＞b，即a2+b2＞2ab，故②正确；③∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2+4ab＝a2+2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，④∵a2+b2＝c2，∴[（a+b）]2﹣（2c）2＝2（a+b）2﹣4（a2+b2）＝2a2+4ab+2b2﹣4a2﹣4b2＝﹣2a2﹣2b2+4ab＝﹣2（a﹣b）2≤0，又a＞b，且a、b、c都大于0，∴（a+b）与2c都大于0，∴﹣2（a﹣b）2＜0，即，故④正确；故选：D．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝2x（x﹣2）（x+2）．【解答】解：2x3﹣8x，＝2x（x2﹣4），＝2x（x+2）（x﹣2）．10．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是10．【解答】解：设这个多边形的边数为n，（n﹣2）•180°＝4×360°，解得n＝10，故答案为：10．11．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是m≤1．【解答】解：，由①得：x＞2，由②得：x＞m+1，∵不等式组的解集是x＞2，∴2≥m+1，∴m≤1，故答案为：m≤1．12．（3分）如图，两个正方形的边长分别为m，n，若m+n＝11，m﹣n＝1，则图中阴影部分的面积为5.5．【解答】解：∵m+n＝11，m﹣n＝1，∴＝＝＝5.5，故答案为：5.5．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AB上一点，连接DE．若∠DEB＝30°，CD＝5，则DE的长为6．【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，∴，∵∠ADE＝15°，∴∠BAD＝∠ADE＝15°，∴∠DEH＝∠DAE+∠ADE＝30°，如图：过D作DH⊥AB于H，即∠DHE＝90°，∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴DH＝CD＝3，∴∠DHE＝90°，∠DEH＝30°，∴DE＝2DH＝6．故答案为：6．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，AD是BC边上的高，点F在边AB上，E为CF的中点，连接DE．若DE＝6，则AF的长为4．【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的高，∴CD＝DB，∵E为CF的中点，∴DE是△BCF的中位线，∴BF＝2DE＝12，∴AF＝AB﹣BF＝16﹣12＝4，故答案为：4．15．（3分）图①所示的彭罗斯地砖，是由获得诺贝尔奖的英国数学家罗杰•彭罗斯提出的一种铺满平面的方案．这种地砖蕴含着准晶体原子排列的秘密，打破了人们对品体认知的局限．它是由图②和图③所示的两种不同平行四边形镶嵌而成，则图③中∠EFG的度数是36°．【解答】解：由图①可知，图②中的平行四边形ABCD的锐角∠B＝×360°＝72°，∵CD∥AB，∴∠C＝180°﹣∠B＝108°，根据题意得2∠EFG+2∠C+∠B＝360°，∴∠EFG＝×（360°﹣2×108°﹣72°）＝36°，故答案为：36．16．（3分）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，…，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为．．【解答】解：如图，延长AB与第1个等边三角形的边相交于点D，∵B为中点，BD∥OP，∴BD＝＝OP，∴，易证△BDG为等边三角形，∴PD＝DG＝BD＝，∵四边形BCED为平行四边形，∴，∴第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的，易知下一个等边三角形的边长是前一个的等边三角形的边长的，∴第n个等边三角形的边长为，所以，第2024个等边三角形的边长为：．故答案为：．三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．17．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B．求作：Rt△ABC，使∠B＝90°，点C在∠O内部且到角两边的距离相等．【解答】解：如图，△ABC即为所求．四、解答题（本大题共9小题，共68分）18．（8分）（1）解不等式组：；（2）分解因式：9a（x﹣y）+4b（y﹣x）．【解答】解：（1）解第一个不等式得：x＞3，解第二个不等式得：x≤，故原不等式组的解集为3＜x≤；（2）原式＝9a（x﹣y）﹣4b（x﹣y）＝（x﹣y）（9a﹣4b）．19．（6分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值．【解答】解：原式＝÷＝•＝，∵x≠0，2，∴当x＝1时，原式＝﹣1．20．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2），M（m，n）为△ABC内任意一点．（1）将△ABC平移得到△A1B1C1，点C的对应点是C1（2，﹣2），请在图中画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标（5，﹣1）；（2）若△PQR是△ABC经过旋转得到的图形，点A，B，C的对应点分别是P，Q，R，观察变换前后各对应点之间的关系，则点M的对应点N的坐标为（﹣m，﹣n）（用含m，n的式子表示）．【解答】解：（1）由题意得，△ABC向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，如图，△A1B1C1即为所求．由图可得，点A1的坐标为（5，﹣1）．故答案为：5；﹣1．（2）连接AP，BQ，CR，相交于点O，则△ABC绕点O旋转180°得到△PQR，点M的对应点N的坐标为（﹣m，﹣n）．故答案为：﹣m；﹣n．21．（6分）围棋与象棋作为两种深受人们喜爱的古老棋艺，它们不仅体现了中华民族智慧的精髓，同时也反映了中国文化的深厚底蕴．国家“双减”政策实施后，某校积极开设棋类社团，并计划为参加棋类社团的同学购买30副围棋和m（m≥20）副象棋，已知每副围棋的价格是60元，每副象棋的价格是25元．在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：方案一：购买围棋超过10副时，每超过1副则赠送象棋1副；方案二：按购买总金额的八折付款．该学校选择哪一种方案支付的总费用较少？【解答】解：设方案一、二购买的总费用分别为y1、y2，由题意得：y1＝60×30+25（m﹣20）＝25m+1300，y2＝0.8×（60×30+25m）＝20m+1440，分三种情况：①当y1＜y2时，25m+1300＜20m+1440，解得：m＜28，∴当10≤m＜28时，选择方案一支付的总费用较少；②当y1＝y2时，25m+1300＝20m+1440，解得：m＝28，∴当m＝28时，两种方案支付的总费用相同；③当y1＞y2时，25m+1300＞20m+1440，解得：m＞28，∴当m＞28时，选择方案二支付的总费用较少；综上，当10≤m＜28时，选择方案一支付的总费用较少；当m＝28时，两种方案支付的总费用相同；当m＞28时，选择方案二支付的总费用较少．22．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB．（1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数；（2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵EF是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠C＝∠CAE＝40°，∵∠AEB是△ACE的一个外角，∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝80°，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠B＝80°，∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝20°，∴∠BAE的度数为20°；（2）∵EF是AC的垂直平分线，∴AC＝2CF＝8，∵AE＝AB，AD⊥BE，∴DE＝BD，∵AE＝CE，∴CE＝AB，∵CD＝5，∴CE+DE＝5，∴AB+BD＝5，∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝8+AB+BD+DE+CE＝8+5+5＝18，即△ABC的周长为18．23．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学兴趣小组要在AC上找两个点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：甲方案乙方案在AO，CO上分别取点E，F，使得AE＝CF作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F请回答下列问题：（1）选择其中一种方案，并证明四边形BEDF为平行四边形；（2）在（1）的基础上，若EF＝3AE，S△AED＝5，则▱ABCD的面积为50．【解答】解：（1）甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形．乙方案，证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EF＝3AE，∴AC＝5AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABC＝S△ADC＝5S△AED＝5×5＝25，∴S▱ABCD＝2×25＝50，故答案为：50．24．（8分）类比推理是一种特殊的归纳推理，人们在探讨一些尚未观察到的事物性质时，以某些事物、道理之间存在相似性质为依据，推断出该事物可能与其他事物有着相似的性质，它是人类试图理解世界和做出决策的最常用方法之一．在日常数学学习中，我们常常借助类比推理研究新的知识，如：分式的基本性质与运算法则都是通过与分数类比得到的．小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法：即（x2+3x+2）+（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．【初步探究】小明看到这样一道被墨水污染了无法辨认的因式分解题：x2+□x﹣3＝（x﹣3）（x+☆），（其中□、☆分别代表被污染的系数和常数），他列出了下列竖式：通过计算，求得：□所代表的系数是﹣2，☆所代表的常数是1；【深入探究】小明用上述方法对多项式x3﹣x2+2x+4进行因式分解，得到：x3﹣x2+2x+4＝（x+1）（※）（※代表一个多项式），则※所代表的多项式为x2﹣2x+4；【拓展应用】我们知道，若a•b＝0则a＝0或b＝0，例如：（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，由此我们可以求出关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的一个解为x＝1，另一个解为x＝2．结合上述信息解答下列问题：（1）若关于x的方程x2+x﹣6＝0的一个解为x＝2，则另一个解为x＝﹣3；（2）若关于x的方程2x3+5x2﹣x﹣6＝0有两个解为x＝1，x＝﹣2，则第三个解为x＝﹣．【解答】解：根据题意，□+3＝☆，﹣3＝﹣3☆，解得：□＝﹣2，☆＝1；根据题意，列出竖式如下：则※所代表的多项式为：x2﹣2x+4；（1）将方程左边进行因式分解，得x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3），则另一个解为x＝﹣3；（2）将方程左边进行因式分解，得2x3+5x2﹣x﹣6＝（x﹣1）（x+2）（2x+3），则第三个解为x＝﹣．故答案为：﹣2，1；x2﹣2x+4；x＝﹣3；x＝﹣．25．（10分）某商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调的每台进价比乙种贵300元，用36000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同，请解答下列问题：（1）甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元；（2）若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价2000元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调的数量m（台）之间的函数关系式；（3）在（2）