高考数学总复习 第三章 数列 3-8课后巩固提升（含解析）新人教A

v【创优导学案】届高考数学总复习第三章数列3-8课后巩固提升（含解析）新人教A版(对应学生用书P331解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．如图，为了测量障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据．为了简便，测量时应当用数据 ()A．α，a，bB．α，β，γC．a，b，γD．a，b，β解析C测得a，b，γ后，由余弦定理即可计算A、B间的距离．2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为 ()A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析B由仰角和俯角的定义知，α与β为夹在两水平线之间的内错角关系，故α＝β.3．(·池州模拟)一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时 ()A．5海里 B．5eq\r(3)海里C．10海里 D．10eq\r(3)海里解析C如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，所以这艘船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(海里/小时)．4.如图所示，B、C、D在地平面同一直线上，DC＝10m，从D、C两地测得A的仰角分别为30°、45°，则点A距地面的距离等于 ()A．10m B．5eq\r(3)mC．5(eq\r(3)－1)m D．5(eq\r(3)＋1)m解析D设点A距地面的距离等于x，则BC＝x，AC＝eq\r(2)x，在△ADC中，由正弦定理得eq\f(\r(2)x,sin30°)＝eq\f(10,sin15°)，解得x＝5(eq\r(3)＋1)．5.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为 ()A．akm B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm解析B易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，∴AB＝eq\r(3)a.6．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，如图所示，则塔高CB为 ()A.eq\f(400,3)mB.eq\f(400,3)eq\r(3)mC.eq\f(200,3)eq\r(3)mD.eq\f(200,3)m解析A由已知：在Rt△OAC中，OA＝200，∠OAC＝30°，则OC＝OA·tan∠OAC＝200tan30°＝eq\f(200\r(3),3).在Rt△ABD中，AD＝eq\f(200\r(3),3)，∠BAD＝30°，BD＝AD·tan∠BAD＝eq\f(200\r(3),3)tan30°＝eq\f(200,3).又∵DC＝OA＝200，∴CB＝DC－BD＝200－eq\f(200,3)＝eq\f(400,3).二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是海里．解析由正弦定理，知eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(AB,sin180°－60°－75°).解得BC＝5eq\r(6)(海里)．【答案】5eq\r(6)8．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角．树干底部与树尖着地处相距5m，则树干原来的高度为．解析如图，AB＝10，AC＝5eq\r(3)，树干原高为AB＋AC＝(10＋5eq\r(3))m.【答案】(10＋5eq\r(3))m9．(·舟山调研)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的eq\r(3)倍，则甲船应取方向才能追上乙船．解析如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙船到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC＝vt，AC＝eq\r(3)vt，B＝120°.由正弦定理知eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，∴eq\f(1,sin∠CAB)＝eq\f(\r(3),sin120°)，∴sin∠CAB＝eq\f(1,2)，∴∠CAB＝30°，故甲船应取北偏东30°方向．【答案】北偏东30°三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距eq\r(3)千米的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．解析如图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝eq\r(3)(千米)，在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理得，BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(千米)．在△ABC中，由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA即AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2eq\r(3)·eq\f(\r(6)＋\r(2),2)cos75°＝5.∴AB＝eq\r(5)(千米)．所以两目标A、B间的距离为eq\r(5)千米．11．(12分)以40km/h的速度向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3min后气球上升到1km处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度．解析如图，船从A航行到C处，气球飘到D处．由题知，BD＝1km，AC＝2km.∵∠BCD＝30°，∴BC＝eq\r(3)km.设AB＝xkm，∵∠BAC＝90°－30°＝60°，∴由余弦定理得22＋x2－2×2xcos60°＝(eq\r(3))2，∴x2－2x＋1＝0，∴x＝1.∴气球水平飘移速度为eq\f(1,\f(1,20))＝20km/h.12.(16分)年8月6日，台风“梅花”袭击我国沿海地区．为了减少强飓风带来的灾难，浙江、上海等各地的海上救援队随时待命做好救援准备．如图，已知信息中心在A处获悉：在其正东方向相距80海里的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距40海里的C处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB前往B处救援．(1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间(eq\r(7)≈2.646，结果保留两位小数)；(2)求tanθ的值．解析(1)在△ABC中，AB＝80，AC＝40，∠BAC＝120°，由余弦定理可知：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°，即BC2＝802＋402－2×80×40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝11200，故BC＝40eq\r(7)，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为40eq\r(7)÷60＝eq\f(2\r(7),3)≈1.76(小时)．(2)在△ABC中，由正弦定理可得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，即sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)