初中数学竞赛-正方形和梯形

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第3讲正方形和梯形

正方形的定义：

定义：邻边相等的矩形叫正方形，或者有一个角为直角的菱形叫正方形.正方形既是矩形又是菱形.

正方形的性质：

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

(1)边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行.

(2)角：四个角都是直角.

(3)对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

(4)对称性：正方形是轴对称图形，有4条对称轴.

(5)特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的的

夹角是45;正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

三.正方形的判定：

(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.

(2)有一个角是直角的菱形是正方形.

四.梯形的相关定义：

(1)梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

(2)梯形的腰：梯形中不平行的两边叫梯形的腰.

(3)梯形的高：梯形两底间的距离角梯形的高.

(4)等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形，

(5)直角梯形：有一个角是直角的梯形叫等腰梯形.

五.等腰梯形的性质：

(1)等腰梯形是轴对称图形，上下底中点所在的直线是对称轴.

(2)等腰梯形同一底边上的两个角相等.

(3)等腰梯形的两条对角线相等.

六.等腰梯形的判定：

(1)同一底边上两个角相等的梯形是等腰梯形.

(2)对角线相等的梯形是等腰梯形.

七.梯形的中位线：

(I)定义：连结梯形两腰中点的线段叫做三角形的中位线.

(2)梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于梯形的上下底，且等于上下底之和的一半.

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第四初题

正方形

【例1】如图，正方形ABCD中，△团C是正三角形，求/E4D的度数.

【例2】如图，在正方形ABCD中，尸为对角线8£）上的一点，PEJ.8C于E,Pb_LCD于尸，求证:

AP=EF.

【例3】如图，正方形ABCD中，E'是AB上一点，BCE于G交AD于尸，求证：CE=BF.

【例4】如图，正方形中，£是8C的中点，AE与股相交于尸，求证：CFA.DE.

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【例5】如图，在正方形A3CD中，E为BD上一点,AE的延长线交5c的延长线于尸，交C£>于”,

G为"/的中点，求证：EC1CG.

【例6】如图，在正方形45CZ)中，点£在3c上，BE=3,CE=2,点P在BD上,求PE与PC和

的最小值.

二梯形

【例7】已知，等腰梯形ABC。中，AD//BC,BD平分ZABC.

(1)求证：AB=AD.

(2)若AO=2,ZC=60°,求梯形的周长.

A,----------KD

【例8】如图，已知直角梯形ABC£>,AD//BC,腰ZX?的长为10cm,"=120°,则该梯形另一腰

AB的长是多少？

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【例9】等腰梯形的一角为120°,上底为10,下底为30,则它的腰长是多少？

【例10］如图，在梯形438中，AD//BC,对角线AC、BD交于O,OB=OC,求证：AB=CD.

【例11］如图，在等腰梯形中，已知4)//8C,对角线AC与互相垂直，且A£>=3cm,

8c=7cm,求等腰梯形的面积.

【例12］如图，在梯形ABCO中，AB//CD,AD=BC,AB=10,CD=4,延长班>至E,使OE=3。,

作4?交84的延长线于点尸，求”的长度.

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【例13］如图，梯形ABC。中，AB=\1,3c=29,8=10,ZM=8,求对角线比）之长。

【例14］如图，在直角梯形加8中，AO〃BC,ZA=90°,NC=45°,CO的中垂线“V交BC边于P,

交回延长线于N,求证：AD=BN。

三.梯形的中位线

【例15］如图，等腰梯形43CO中，对角线4CJ_8。，垂足为E,DF，BC于F,MN是梯形的中位

线，求证：DF=MN.

【例16］如图，梯形A3CD的中位线MN与对角线AC、BD分别交于点尸、Q,设梯形43c£＞的周长

为a,四边形PQC。的周长为人若AB=2CD,试求幺的值.

a

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【例17］如图，△ABC外一条直线/,D、E、b分别是各边中点人人、,咐、DDr都垂直/于

4、E、Q］、E［,求证：A4j+EE,=FFX+DD-

1

1

【例18］如图，直角梯形ABC。中，ZC=90,AD//BC,AD+BC=AB,E是C£＞的中点.若4)=2,

BC=8,求AASE的面积.

A___D

口

C

【例19］如图，梯形45CZ)中，AD//BC,对角线AC_LM,且AC=5cm,BD=12cm,求梯形的

中位线的长度。

鼠____D

BN

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四.综合提局

【例20】如图，等腰直角/MBC中，48=90°,。是BC的中点，CEL")于尸交回于E,求证:

NCDF=ZBDE.

【例21］如图所示，等腰梯形ABCD中，CD//AB,对角线AC、皮)相交于O,NACD=60°,点S、

P、Q分别是。£＞、。4、8c的中点.

(1)求证：△PQS是等边三角形；

(2)若/W=5,8=3,求APQS的面积.

【例22］如图，E是正方形ABCD边"边上任意一点，过E作DE的垂线交正方形的外角NCBF的平

分线于N,求证：DE=EN.

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【例23］。是正方形A3C。的边8的中点，作NB4P=2N04。，尸在CD上.求证：AP=CP+CB.

【例24］如图，在梯形A5C0中，4)//8C,两条对角线相交于E,AB_LAC,且=AC,BD=BC,

求证：CD=CE.

【例25］如图所示，ABCD是正方形，E为班'上的一点，四边形型C恰好是一个菱形，则求㈤fi.

AB

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【例26］如图，4)是AABC的中线，分别以AB、AC为边向外作正方形、ACMN.

求证：AD=-FN.

2

【例27】如图，直角梯形45CD中，ZB=ZC=90°,AB=BC.M为3c边上一点，且NZ)MC=45°.求

证：AD=AM.

【例28】四边形MCD是正方形，四边形ACEE是菱形，E、F、8在一直线上.求证：AE.AF

等分ZCAB.

E

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【例29】如图，在梯形ABC。中，AB//CD,ACYBD.求证：AC2+BD2=(AB+DC)2.

【例30】如图，梯形ABC。中，AB//CD,ZD=90°,M为3c上一点，且=MC=CD,ND4M=50°,

求ZWC.

【例31】K是正方形4BCD的边45的中点，点乙分对角线AC的比为AL:LC=3,证明：Z^LD=90°.

D

C

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【例32］如图，在正方形A8CD中，E、F分别是AB、3c的中点，求证：AM=AD.

【例33］如图，直角梯形A8CD中，AD//BC,ABA.BC,AB=BC,E是A8上一点，AE=AD,

/CEB=15：求NECD.

【例34］正方形4;CD中，E为BC的中点，尸为C。上的点，且AF=8C+CV.求证：ZBAF=2ZBAE.

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【例35】正方形ABC。对角线交于O,Z&4C的平分线交6。于G,交BC于F,求证：OG=J.

2

【例36］如图，在直角梯形ABC。中，NB=NC=90°,AB=BC.M为BC边上一点,且

ZDMC=45°.求证：AD=AM.

【例37】在正方形ABCD中，己知£、尸分别是边3C、CD上的点，满足=AE、AF

分别与对角线比)交于M、N.求证：

(1)ZE4F=45°；

(2)MN2=BM2+DN2.

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【例38】已知AABC,向外作正方形砂和ACGH,直线AK垂直BC于K,反向延长交F”于M,

求证：M是FH的中点.

【例39］如图(1),在RtAABC中，/W=AC,点。、E是线段上两动点，且AT>=£C,

AM±BD,垂足为M,AM的延长线交8c于点N,直线皮)与直线NE相交于点尸.

(1)试判断△£>■£尸的形状，并加以证明.

(2)若点。、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△0针的形状，并说明理由.

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1.判断下列说法正确的是（）

A.四条边相等的四边形是正方形

B.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

C.两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形

D.两条对角线互相垂直的矩形是正方形

2.下列哪个图形不是轴对称图形（）

A.等腰梯形

B.等腰三角形

C.矩形

D.平行四边形

3.等腰梯形四个内角之比可能是（）

A.1:2:3:4

B.3:2:2:3

C.1:2:1:2

D.1:2:3:2

4.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AD=BC,BD=DC,AC_L班）于

求证：CM=g（AB+3C）.

5.如图所示，正方形钻8对角线AC与比＞相交于O,MN//AB,且分别与AO、80交于

M、N.试探讨8M与CV之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程.

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6.如图，在正方形A38中,E是的中点，BD与CE交于F点,求证：AF1BE.

7.如图，梯形AB8中，AD〃8