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文档简介
小愿次教有初二覆老寐赛城八年级
第3讲正方形和梯形
正方形的定义:
定义:邻边相等的矩形叫正方形,或者有一个角为直角的菱形叫正方形.正方形既是矩形又是菱形.
正方形的性质:
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
(1)边:四条边都相等,邻边垂直,对边平行.
(2)角:四个角都是直角.
(3)对角线:对角线相等且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.
(4)对称性:正方形是轴对称图形,有4条对称轴.
(5)特殊性质:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的的
夹角是45;正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
三.正方形的判定:
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
四.梯形的相关定义:
(1)梯形的定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
(2)梯形的腰:梯形中不平行的两边叫梯形的腰.
(3)梯形的高:梯形两底间的距离角梯形的高.
(4)等腰梯形:两腰相等的梯形叫等腰梯形,
(5)直角梯形:有一个角是直角的梯形叫等腰梯形.
五.等腰梯形的性质:
(1)等腰梯形是轴对称图形,上下底中点所在的直线是对称轴.
(2)等腰梯形同一底边上的两个角相等.
(3)等腰梯形的两条对角线相等.
六.等腰梯形的判定:
(1)同一底边上两个角相等的梯形是等腰梯形.
(2)对角线相等的梯形是等腰梯形.
七.梯形的中位线:
(I)定义:连结梯形两腰中点的线段叫做三角形的中位线.
(2)梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于梯形的上下底,且等于上下底之和的一半.
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八年级初二熬老寐赛班
思次激育
第四初题
正方形
【例1】如图,正方形ABCD中,△团C是正三角形,求/E4D的度数.
【例2】如图,在正方形ABCD中,尸为对角线8£)上的一点,PEJ.8C于E,Pb_LCD于尸,求证:
AP=EF.
【例3】如图,正方形ABCD中,E'是AB上一点,BCE于G交AD于尸,求证:CE=BF.
【例4】如图,正方形中,£是8C的中点,AE与股相交于尸,求证:CFA.DE.
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【例5】如图,在正方形A3CD中,E为BD上一点,AE的延长线交5c的延长线于尸,交C£>于”,
G为"/的中点,求证:EC1CG.
【例6】如图,在正方形45CZ)中,点£在3c上,BE=3,CE=2,点P在BD上,求PE与PC和
的最小值.
二梯形
【例7】已知,等腰梯形ABC。中,AD//BC,BD平分ZABC.
(1)求证:AB=AD.
(2)若AO=2,ZC=60°,求梯形的周长.
A,----------KD
【例8】如图,已知直角梯形ABC£>,AD//BC,腰ZX?的长为10cm,"=120°,则该梯形另一腰
AB的长是多少?
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【例9】等腰梯形的一角为120°,上底为10,下底为30,则它的腰长是多少?
【例10]如图,在梯形438中,AD//BC,对角线AC、BD交于O,OB=OC,求证:AB=CD.
【例11]如图,在等腰梯形中,已知4)//8C,对角线AC与互相垂直,且A£>=3cm,
8c=7cm,求等腰梯形的面积.
【例12]如图,在梯形ABCO中,AB//CD,AD=BC,AB=10,CD=4,延长班>至E,使OE=3。,
作4?交84的延长线于点尸,求”的长度.
4思薇的发掘腕力的以跳
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【例13]如图,梯形ABC。中,AB=\1,3c=29,8=10,ZM=8,求对角线比)之长。
【例14]如图,在直角梯形加8中,AO〃BC,ZA=90°,NC=45°,CO的中垂线“V交BC边于P,
交回延长线于N,求证:AD=BN。
三.梯形的中位线
【例15]如图,等腰梯形43CO中,对角线4CJ_8。,垂足为E,DF,BC于F,MN是梯形的中位
线,求证:DF=MN.
【例16]如图,梯形A3CD的中位线MN与对角线AC、BD分别交于点尸、Q,设梯形43c£>的周长
为a,四边形PQC。的周长为人若AB=2CD,试求幺的值.
a
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【例17]如图,△ABC外一条直线/,D、E、b分别是各边中点人人、,咐、DDr都垂直/于
4、E、Q]、E[,求证:A4j+EE,=FFX+DD-
1
1
【例18]如图,直角梯形ABC。中,ZC=90,AD//BC,AD+BC=AB,E是C£>的中点.若4)=2,
BC=8,求AASE的面积.
A___D
口
C
【例19]如图,梯形45CZ)中,AD//BC,对角线AC_LM,且AC=5cm,BD=12cm,求梯形的
中位线的长度。
鼠____D
BN
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四.综合提局
【例20】如图,等腰直角/MBC中,48=90°,。是BC的中点,CEL")于尸交回于E,求证:
NCDF=ZBDE.
【例21]如图所示,等腰梯形ABCD中,CD//AB,对角线AC、皮)相交于O,NACD=60°,点S、
P、Q分别是。£>、。4、8c的中点.
(1)求证:△PQS是等边三角形;
(2)若/W=5,8=3,求APQS的面积.
【例22]如图,E是正方形ABCD边"边上任意一点,过E作DE的垂线交正方形的外角NCBF的平
分线于N,求证:DE=EN.
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【例23]。是正方形A3C。的边8的中点,作NB4P=2N04。,尸在CD上.求证:AP=CP+CB.
【例24]如图,在梯形A5C0中,4)//8C,两条对角线相交于E,AB_LAC,且=AC,BD=BC,
求证:CD=CE.
【例25]如图所示,ABCD是正方形,E为班'上的一点,四边形型C恰好是一个菱形,则求㈤fi.
AB
8思薇的发掘腕力的以跳
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【例26]如图,4)是AABC的中线,分别以AB、AC为边向外作正方形、ACMN.
求证:AD=-FN.
2
【例27】如图,直角梯形45CD中,ZB=ZC=90°,AB=BC.M为3c边上一点,且NZ)MC=45°.求
证:AD=AM.
【例28】四边形MCD是正方形,四边形ACEE是菱形,E、F、8在一直线上.求证:AE.AF
等分ZCAB.
E
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【例29】如图,在梯形ABC。中,AB//CD,ACYBD.求证:AC2+BD2=(AB+DC)2.
【例30】如图,梯形ABC。中,AB//CD,ZD=90°,M为3c上一点,且=MC=CD,ND4M=50°,
求ZWC.
【例31】K是正方形4BCD的边45的中点,点乙分对角线AC的比为AL:LC=3,证明:Z^LD=90°.
D
C
101思薇的发掘腕力的以跳
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【例32]如图,在正方形A8CD中,E、F分别是AB、3c的中点,求证:AM=AD.
【例33]如图,直角梯形A8CD中,AD//BC,ABA.BC,AB=BC,E是A8上一点,AE=AD,
/CEB=15:求NECD.
【例34]正方形4;CD中,E为BC的中点,尸为C。上的点,且AF=8C+CV.求证:ZBAF=2ZBAE.
思报的或极腕力的乞跃VI
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【例35】正方形ABC。对角线交于O,Z&4C的平分线交6。于G,交BC于F,求证:OG=J.
2
【例36]如图,在直角梯形ABC。中,NB=NC=90°,AB=BC.M为BC边上一点,且
ZDMC=45°.求证:AD=AM.
【例37】在正方形ABCD中,己知£、尸分别是边3C、CD上的点,满足=AE、AF
分别与对角线比)交于M、N.求证:
(1)ZE4F=45°;
(2)MN2=BM2+DN2.
121思薇的发掘腕力的以跳
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【例38】已知AABC,向外作正方形砂和ACGH,直线AK垂直BC于K,反向延长交F”于M,
求证:M是FH的中点.
【例39]如图(1),在RtAABC中,/W=AC,点。、E是线段上两动点,且AT>=£C,
AM±BD,垂足为M,AM的延长线交8c于点N,直线皮)与直线NE相交于点尸.
(1)试判断△£>■£尸的形状,并加以证明.
(2)若点。、E是直线AC上两动点,其他条件不变,试判断△0针的形状,并说明理由.
思报的或极腕力的乞跃
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1.判断下列说法正确的是()
A.四条边相等的四边形是正方形
B.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C.两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形
D.两条对角线互相垂直的矩形是正方形
2.下列哪个图形不是轴对称图形()
A.等腰梯形
B.等腰三角形
C.矩形
D.平行四边形
3.等腰梯形四个内角之比可能是()
A.1:2:3:4
B.3:2:2:3
C.1:2:1:2
D.1:2:3:2
4.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AD=BC,BD=DC,AC_L班)于
求证:CM=g(AB+3C).
5.如图所示,正方形钻8对角线AC与比>相交于O,MN//AB,且分别与AO、80交于
M、N.试探讨8M与CV之间的关系,写出你所得到的结论的证明过程.
14/思薇的发掘腕力的以跳
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6.如图,在正方形A38中,E是的中点,BD与CE交于F点,求证:AF1BE.
7.如图,梯形AB8中,AD〃8
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