2023届江苏省苏州市苏州工业园区数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD的面积最大值是()A．64 B．16 C．24 D．322．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B． C． D．3．对于反比例函数，下列说法错误的是（）A．它的图象分别位于第二、四象限B．它的图象关于成轴对称C．若点，在该函数图像上，则D．的值随值的增大而减小4．已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm6．在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）A． B． C． D．7．把两条宽度都为的纸条交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）．A． B．C． D．8．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3cm，那么PP′的长为（）A． B． C． D．9．如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（）A．30° B．45°C．60° C．90°10．一件商品的原价是100元，经过两次降价后价格为81元，设每次降价的百分比都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A． B． C． D．11．如图，在Rt△ABC中BC=2，以BC的中点O为圆心的⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，的长为（）A． B． C．π D．2π12．若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是()A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为．把缩小，则点的对应点的坐标分别是_____，_____．14．（2011•南充）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P=_________度．15．从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为___．16．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则__________．17．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边AC与BD相交于点E，则的值等于_________．18．抛物线y＝x2+2x与y轴的交点坐标是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）近期江苏省各地均发布“雾霾”黄色预警，我市某口罩厂商生产一种新型口罩产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表．销售单价x（元/件）…20253040…每月销售量y（万件）…60504020…(1)请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y与x的变化规律，并直接写出y与x之间的函数关系式为__________；(2)当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？(3)如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？20．（8分）计算：（1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0；（2）cos245°+sin60°tan45°+sin1．21．（8分）如图，△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.22．（10分）如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．（1）求证：△APM≌△BPN；（2）当MN=2BN时，求α的度数；（3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．23．（10分）如图直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，连结．点为抛物线上上方的一个点，连结，作垂足为，交于点．（1）求的长；（2）当时，求点的坐标；（3）当面积是四边形面积的2倍时，求点的坐标．24．（10分）已知某二次函数图象上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表.求此函数表达式.25．（12分）已知：PA=，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．(1)如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；(2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．26．如图，内接于，且为的直径．的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，过点作于点．（1）求证：；（2）试猜想线段，，之间有何数量关系，并加以证明；（3）若，，求线段的长．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=16-x，

则：S=AC•BD=x（16-x）=-（x-8）2+32，

当x=8时，S最大=32；

所以AC=BD=8时，四边形ABCD的面积最大，

故选D．【点睛】二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．2、D【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3、D【分析】根据反比例函数的性质对各选项逐一分析即可.【详解】解：反比例函数，，图像在二、四象限，故A正确.反比例函数，当时，图像关于对称；当时，图像关于对称，故B正确当，的值随值的增大而增大，，则，故C正确在第二象限或者第四象限，的值随值的增大而增大，故D错误故选D【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质.4、A【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．5、C【详解】已知sinA=，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．6、A【详解】根据二次函数的解析式可得：二次函数图像经过坐标原点，则排除B和C，A选项中一次函数a>0，b<0，二次函数a>0，b<0，符合题意.故选A.【点睛】本题考查了(1)、一次函数的图像；(2)、二次函数的图像7、A【分析】如图，过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，垂足为E，F，证明△ABE≌△ADF，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．【详解】解：如图所示：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，垂足为E，F，

∴∠AEB=∠AFD=90°，

∵AD∥CB，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵纸条宽度都为1，

∴AE=AF=1，

在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF（AAS），

∴AB=AD，

∴四边形ABCD是菱形．

∴BC=AB，

∵=sinα，

∴BC=AB=，

∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=1×=．

故选：A．【点睛】本题考查菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD是菱形，利用三角函数求出BC的长．8、D【分析】由题意易证，则有，进而可得，最后根据勾股定理可求解．【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，AB=AC，∵将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴，∵AP=3cm，∴，∵，∴，即，∴是等腰直角三角形，∴；故选D．【点睛】本题主要考查旋转的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．9、C【分析】根据弧长公式，即可求解【详解】设圆心角是n度，根据题意得，解得：n=1．故选C【点睛】本题考查了弧长的有关计算．10、B【分析】原价为100，第一次降价后的价格是100×（1-x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，第二次降价后的价格为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，则可列出方程．【详解】设平均每次降价的百分比为x，根据题意可得：100（1-x）2=81故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的增长率问题，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．11、B【分析】连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B=45°，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．【详解】连接OE、OD，设半径为r，∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，∴OE⊥AC，OD⊥AB，∵O是BC的中点，∴OD是中位线，∴OD=AE=AC，∴AC=2r，同理可知：AB=2r，∴AB=AC，∴∠B=45°，∵BC=2∴由勾股定理可知AB=2，∴r=1，∴==故选B【点睛】此题考查切线的性质，弧长的计算，解题关键在于作辅助线12、C【解析】试题解析：这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，所以这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率=．故选C．考点：1.概率公式；2.中心对称图形．二、填空题（每题4分，共24分）13、(-1，2)或（1，-2）；（-3，-1）或（3，1）【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，分别把A,B点的横纵坐标分别乘以或−即可得到点B′的坐标．【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴的对应点A′的坐标是(-1，2)或（1，-2），点B（−9，−3）的对应点B′的坐标是（−3，−1）或（3，1），故答案为：(-1，2)或（1，-2）；（-3，-1）或（3，1）．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．14、50【解析】∵PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，∴PA=PB，∠OBP=90°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=25°，∴∠ABP=90°﹣25°=65°，∵PA=PB，∴∠BAP=∠ABP=65°，∴∠P=180°﹣65°﹣65°=50°，故答案为：50°．15、【分析】画出树状图求解即可.【详解】如图，一共有6中不同的选法，选中甲的情况有4种，∴甲被选中的概率为：.故答案为【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可,即.16、1【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．【详解】解：∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，

∴a=-4，b=-3，

则ab=1．

故答案为：1．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．17、【分析】如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得，再在中，利用直角三角形的性质、勾股定理可得，由此即可得出答案．【详解】如图，过点E作于点F，由题意得：，，是等腰直角三角形，，设，则，在中，，，，解得，则，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造两个直角三角形是解题关键．18、（0，0）【解析】令x=0求出y的值，然后写出即可．【详解】令x=0，则y=0，所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，0）．故答案为（0，0）．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）y=﹣2x+100；（2）当销售单价为28元或1元时，厂商每月获得的利润为41万元；（3）当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据利润=销售量×（销售单价﹣成本），代入代数式求出函数关系式，令利润z=41，求出x的值；（3）根据厂商每月的制造成本不超过51万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润．【详解】解：（1）由表格中数据可得：y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，把（20，60），（25，50）代入得：解得：故y与x之间的函数关系式为：y=﹣2x+100；（2）设总利润为z，由题意得，z=y（x﹣18）=（﹣2x+100）（x﹣18）=﹣2x2+136x﹣1800；当z=41时，﹣2x2+136x﹣1800=41，解得：x1=28，x2=1．答：当销售单价为28元或1元时，厂商每月获得的利润为41万元；（3）∵厂商每月的制造成本不超过51万元，每件制造成本为18元，∴每月的生产量为：小于等于=30万件，y=﹣2x+100≤30，解得：x≥35，∵z=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，∴图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，∴x=35时，z最大为：510万元．当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．20、（1）0；（2）．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值化简得出答案．【详解】（1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0；=﹣1﹣++1=0；（2）cos245°+sin60°tan45°+sin1=（）2+×1+（）2=++=．【点睛】本题考查了实数运算，掌握实数运算是解题的关键．21、见解析.【解析】根据等腰三角形的性质可知CD垂直平分AB，在根据平行四边形的性质可知EC平行且等于AD，由矩形的判定即可证出四边形ADCE是矩形.【详解】证明：∵AC=BC,CD⊥AB∴∠ADC=90°，AD=BD∵在▱DBCE中，EC∥BD，∴EC∥AD，EC=AD∴四边形ADCE是平行四边形又∵∠ADC=90°∴四边形ADCE是矩形.【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质、平行四边形的判定与性质，熟知矩形的判定是解题关键.22、（1）证明见解析；（2）α=50°；（3）40°＜α＜90°．【解析】（1）根据AAS即可证明△APM≌△BPN；（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．【详解】（1）∵P是AB的中点，∴PA=PB，在△APM和△BPN中，，∴△APM≌△BPN；（2）由（1）得：△APM≌△BPN，∴PM=PN，∴MN=2PN，∵MN=2BN，∴BN=PN，∴α=∠B=50°；（3）∵△BPN的外心在该三角形的内部，∴△BPN是锐角三角形，∵∠B=50°，∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外接圆圆心的位置等，综合性较强，难度适中，解题的关键是熟练掌握三角形外心的位置.23、（1）6；（2）；（3）或【分析】（1）令x=0求得A的坐标，再根据轴，令y=3即可求解；（2）证明，则，即可求解；（3）当的面积是四边形的面积的2倍时，则，，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线交轴于点，∴，∵轴，∴B的纵坐标为3，设B的横坐标为a，则，解得，（舍），∴，∴；（2）设，，，，，解得．（3）当的面积是四边形的面积的2倍时，则，得：，，或【点睛】本题考查的是二次函数综合，涉及到一次函数、三角形相似、图形的面积计算等，逐一分类讨论．24、【分析】观察图表可知，此二次函数以x=1为轴对称，顶点为（1，4），判断适合套用顶点式y=a（x-h）2+k,得到，再将除顶点外的任意已知点代入，如点（-1，0），得a=-1.故所求函数表达式为【详解】解：观察图表可知，当x=-1时y=0，当x=3时y=0，∴对称轴为直线，顶点坐标为，∴设，∵当x=-1时y=0，∴，∴=-1，∴.【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，这类问题首先应考虑能不能用简便方法即能不能用顶点式和交点式来解，实在不行用一般形式.此题能观察确定出对称轴和顶点的坐标是关键.25、（1），；（2）的最大值为1【分析】（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；

求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出；

解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；

（2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB=180°-∠APP'=135°．【详解】(1)①如图，作AE⊥PB于点E，∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝，∴AE＝PE＝×＝1，∵PB＝4，∴BE＝PB﹣PE＝3，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°