人教A版新教材高中数学第二册学案6：6.1 平面向量的概念

6.1平面向量的概念

学习目标：

1.记住向量、相等向量的概念，会向量的几何表示；

2.记住共线向量的概念，并能找共线向量.

学习重点：理解并掌握向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量的概念，会表示向量.

学习难点：向量的概念，平行向量.

『要点整合夯基础』

知识点一向量的概念和表示方法

『填一填』

1.向量：在数学中，我们把既有又有的量叫做向量.

2.向量的表示

(1)表示工具——有向线段.

有向线段包含三个要素:，，.

(2)表示方法：

—>—>

向量可以用表示，向量的大小称为向量的(或称模)，记作.向量可以用字母mb,c,...

—>—>

表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：AB,CD.

『答一答』

1.有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？

2.两个向量可以比较大小吗？

知识点二向量的长度(或称模)与特殊向量

『填一填』

1.向量的长度定义：向量的.

—>

2.向量的长度表示：向量的长度记作：；向量a的长度记作：.

3.特殊向量

长度为的向量叫做零向量，记作.长度等于的向量，叫做单位向量.

『答一答』

3.零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？

知识点三相等向量与共线向量

『填一填』

1.且的向量叫做相等向量.向量a与》相等，记作

2.方向的非零向量叫做平行向量，如果向量a,b平行，记作a〃尻任一组

向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做.

3.规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量都有0〃a.

『答一答』

4.零向量与任意向量有什么关系？

5.向量平行与直线平行是一样的吗？

『典例讲练破题型』

类型一向量的有关概念

『例1』判断下列命题是否正确，并说明理由.

(1)若向量a与B同向,且同＞|可,则“＞/＞；

(2)若⑷=|臼，则。与的长度相等且方向相同或相反；

(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；

⑷向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；

(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.

通法提炼

1.判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：①是否有大小，②是否有方向.

2.注意两个特殊向量：零向量和单位向量.

3.注意平行向量与共线向量的含义.

『变式训练1』(1)下列物理量中不是向量的有()

①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功；⑧电流强度.

A.5个B.4个C.3个D.2个

(2)在下列命题中，真命题为()

A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同

—>—>

B.向量AB与向量的长度相等

C,向量就是有向线段

D.零向量是没有方向的

类型二向量的几何表示

『例2』已知飞机从A地按北偏东30。方向飞行2000km到达B地，再从8地按南偏东

30。方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1006打km到达。地.画图表

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示向量AB,BC,CD,并指出向量AO的模和方向.

通法提炼

1.用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答.

2.作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据

向量的长度找出终点.

『变式训练2』在如图的方格纸中,

冻

(1)|。4|=3,点A在点。的正西方向;

—>

(2)|。8|=3媳，点8在点O北偏西45。方向;

(3)求出的值.

类型三相等向量和共线向量

『例3』在平行四边形ABCD中，E、歹分别为边AD、的中点，如图.

—>

（1）写出与向量FC共线的向量.

—>—>

(2)求证：BE=FD.

通法提炼

1.共线向量和相等向量有何关系？，共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向

量.

2.如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？

①证明线段相等，只要证明相应的向量长度（模）相等.

②证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线.

『变式训练3』如图，在菱形ABC。中，ZDAB=UQ°,则以下说法错误的是（）

DA

—>—>

A.与AB相等的向量只有一个（不含48）

—>—>

B.与A3的模相等的向量有9个（不含AB）

—>—>

C.BO的模恰为D4的模的十倍

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D.CB与不共线

『课堂达标练经典』

1.下列命题正确的是（）

A.向量AB与BA是相等向量

B.共线的单位向量是相等向量

C.零向量与任意向量共线

D.两平行向量所在直线平行

2.下面几个命题：

(1)若4=8,则|0=|例；

(2)若|a|=0,则。=0；

(3)若画=|",则。=方；

[\a\=\b\,

(4)若向量a,b满足j则a=A

[a//b,

其中正确命题的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

3.设。是等边三角形ABC的外心，则向量04,0B,。。是()

A.相同起点的向量

B.平行向量

C.相等向量

D.模相等的向量

—>

4.如图所示，已知正方形ABCO的边长为2,。为其中心，则|OA|=.

5.如图所示，点。为正方形ABCO对角线的交点，四边形O4E。、OCEB都是正方形.在

图中所示的向量中：

AB

E

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⑴分别写出与A。、30相等的向量;

—>

⑵写出与A0共线的向量；

—>

(3)写出与AO的模相等的向量；

—>—>

(4)向量AO与CO是否相等？

『课堂小结』

一本课须掌握的三大问题

1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借

助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又可以将几何问题转化为代数问题,

故向量能起数形结合的桥梁作用.

2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，

同一直线上的向量也是平行向量.

3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷

多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.

——★参*考*答*案★——

『要点整合夯基础』

知识点一向量的概念和表示方法

『填一填』

1.大小方向

2.(1)起点方向长度

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(2)有向线段A2长度A2

『答一答』

1.提示：有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示.因此，有向线段与向量是完全

不同的两个概念.

2.提示：不能.因为向量既有大小，又有方向.

知识点二向量的长度(或称模)与特殊向量

『填一填』

1.大小

—>

2.AB⑷

3.001个单位长

『答一答』

3.提示：零向量的方向是任意的.两个单位向量的方向不一定相同.

知识点三相等向量与共线向量

『填一填』

1.长度相等方向相同

2.相同或相反平行共线向量

『答一答』

4.提示：规定零向量与任意向量是共线向量.

5.提示：两种平行不同.

『典例讲练破题型』

类型一向量的有关概念

『例1』解：(1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能

比较大小.

⑵不正确.由|。|=网只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系.

⑶不正确.依据规定：0与任意向量平行.

(4)不正确.因为向量a与向量》若有一个是零向量，则其方向不定.

(5)正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的.

『变式训练1』『『答案』』(1)A(2)B

『『解析』』(1)看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特

别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，②③④既有大小也有方向，是向量,

①⑤⑥⑦⑧只有大小没有方向，不是向量.

(2)由于单位向量的方向不一定相同，故其终点不一定相同，故A错误；任何向量都有方向，

零向量的方向是任意的，并非没有方向，故D错误；有向线段是向量的形象表示，但并非

说向量就是有向线段，故C错误，故选B.

类型二向量的几何表示

『例2』解：以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标

系.

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据题设，2点在第一象限，C点在x轴正半轴上，。点在第四象限，向量AB,BC,CZ)如下

图所示.

由已知可得，AABC为正三角形，

.".AC=2000km,又NACD=45°,CD=1OOO^km,

.•.△AOC为等腰直角三角形，

：.AD=100(h/2km,ZCAD=45°.

—>

故向量A。的模为100舶方向为东南方向.

『变式训练2』

解：取每个方格的单位长为1,

依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示.

(3)由图知，AAOB是等腰直角三角形,

2=3

所以|A8|=、y|OB|2-|OA|-

类型三相等向量和共线向量

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『例3』⑴解：由满足共线向量的条件得与向量FC共线的向量有：CF,BC,CB,BF,FB,

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ED,DE,AE,EA,AD,DA.

(2)证明：在。ABCD中，AD=^=BC.

又E、尸分别为A。、BC的中点，，即工8凡

•••四边形BFDE是平行四边形，

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：.BE^=FD,：.BE=FD.

『变式训练3』『『答案』』D

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