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文档简介
6.1平面向量的概念
学习目标:
1.记住向量、相等向量的概念,会向量的几何表示;
2.记住共线向量的概念,并能找共线向量.
学习重点:理解并掌握向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量的概念,会表示向量.
学习难点:向量的概念,平行向量.
『要点整合夯基础』
知识点一向量的概念和表示方法
『填一填』
1.向量:在数学中,我们把既有又有的量叫做向量.
2.向量的表示
(1)表示工具——有向线段.
有向线段包含三个要素:,,.
(2)表示方法:
—>—>
向量可以用表示,向量的大小称为向量的(或称模),记作.向量可以用字母mb,c,...
—>—>
表示,也可以用有向线段的起点和终点字母表示,如:AB,CD.
『答一答』
1.有向线段就是向量,向量就是有向线段吗?
2.两个向量可以比较大小吗?
知识点二向量的长度(或称模)与特殊向量
『填一填』
1.向量的长度定义:向量的.
—>
2.向量的长度表示:向量的长度记作:;向量a的长度记作:.
3.特殊向量
长度为的向量叫做零向量,记作.长度等于的向量,叫做单位向量.
『答一答』
3.零向量的方向是什么?两个单位向量的方向相同吗?
知识点三相等向量与共线向量
『填一填』
1.且的向量叫做相等向量.向量a与》相等,记作
2.方向的非零向量叫做平行向量,如果向量a,b平行,记作a〃尻任一组
向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做.
3.规定:零向量与任一向量平行,即对于任意向量都有0〃a.
『答一答』
4.零向量与任意向量有什么关系?
5.向量平行与直线平行是一样的吗?
『典例讲练破题型』
类型一向量的有关概念
『例1』判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)若向量a与B同向,且同>|可,则“>/>;
(2)若⑷=|臼,则。与的长度相等且方向相同或相反;
(3)由于0方向不确定,故0不能与任意向量平行;
⑷向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反;
(5)起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量.
通法提炼
1.判断一个量是否为向量,应从两个方面入手:①是否有大小,②是否有方向.
2.注意两个特殊向量:零向量和单位向量.
3.注意平行向量与共线向量的含义.
『变式训练1』(1)下列物理量中不是向量的有()
①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥密度;⑦功;⑧电流强度.
A.5个B.4个C.3个D.2个
(2)在下列命题中,真命题为()
A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同
—>—>
B.向量AB与向量的长度相等
C,向量就是有向线段
D.零向量是没有方向的
类型二向量的几何表示
『例2』已知飞机从A地按北偏东30。方向飞行2000km到达B地,再从8地按南偏东
30。方向飞行2000km到达C地,再从C地按西南方向飞行1006打km到达。地.画图表
—>—>—>—>
示向量AB,BC,CD,并指出向量AO的模和方向.
通法提炼
1.用向量表示的几何问题,要研究其图形的几何特性,然后作出解答.
2.作向量时,关键是找出向量的起点和终点,如果已知起点,先确定向量的方向,然后根据
向量的长度找出终点.
『变式训练2』在如图的方格纸中,
冻
(1)|。4|=3,点A在点。的正西方向;
—>
(2)|。8|=3媳,点8在点O北偏西45。方向;
(3)求出的值.
类型三相等向量和共线向量
『例3』在平行四边形ABCD中,E、歹分别为边AD、的中点,如图.
—>
(1)写出与向量FC共线的向量.
—>—>
(2)求证:BE=FD.
通法提炼
1.共线向量和相等向量有何关系?,共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向
量.
2.如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题?
①证明线段相等,只要证明相应的向量长度(模)相等.
②证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不共线.
『变式训练3』如图,在菱形ABC。中,ZDAB=UQ°,则以下说法错误的是()
DA
—>—>
A.与AB相等的向量只有一个(不含48)
—>—>
B.与A3的模相等的向量有9个(不含AB)
—>—>
C.BO的模恰为D4的模的十倍
—>—>
D.CB与不共线
『课堂达标练经典』
1.下列命题正确的是()
A.向量AB与BA是相等向量
B.共线的单位向量是相等向量
C.零向量与任意向量共线
D.两平行向量所在直线平行
2.下面几个命题:
(1)若4=8,则|0=|例;
(2)若|a|=0,则。=0;
(3)若画=|",则。=方;
[\a\=\b\,
(4)若向量a,b满足j则a=A
[a//b,
其中正确命题的个数是()
A.0B.1
C.2D.3
3.设。是等边三角形ABC的外心,则向量04,0B,。。是()
A.相同起点的向量
B.平行向量
C.相等向量
D.模相等的向量
—>
4.如图所示,已知正方形ABCO的边长为2,。为其中心,则|OA|=.
5.如图所示,点。为正方形ABCO对角线的交点,四边形O4E。、OCEB都是正方形.在
图中所示的向量中:
AB
E
—>—>
⑴分别写出与A。、30相等的向量;
—>
⑵写出与A0共线的向量;
—>
(3)写出与AO的模相等的向量;
—>—>
(4)向量AO与CO是否相等?
『课堂小结』
一本课须掌握的三大问题
1.向量是既有大小又有方向的量,从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征,因此借
助于向量,我们可以将某些代数问题转化为几何问题,又可以将几何问题转化为代数问题,
故向量能起数形结合的桥梁作用.
2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然,
同一直线上的向量也是平行向量.
3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量,零向量与任何向量都平行,单位向量有无穷
多个,起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.
——★参*考*答*案★——
『要点整合夯基础』
知识点一向量的概念和表示方法
『填一填』
1.大小方向
2.(1)起点方向长度
—>—>
(2)有向线段A2长度A2
『答一答』
1.提示:有向线段只是一个几何图形,是向量的直观表示.因此,有向线段与向量是完全
不同的两个概念.
2.提示:不能.因为向量既有大小,又有方向.
知识点二向量的长度(或称模)与特殊向量
『填一填』
1.大小
—>
2.AB⑷
3.001个单位长
『答一答』
3.提示:零向量的方向是任意的.两个单位向量的方向不一定相同.
知识点三相等向量与共线向量
『填一填』
1.长度相等方向相同
2.相同或相反平行共线向量
『答一答』
4.提示:规定零向量与任意向量是共线向量.
5.提示:两种平行不同.
『典例讲练破题型』
类型一向量的有关概念
『例1』解:(1)不正确.因为向量由两个因素来确定,即大小和方向,所以两个向量不能
比较大小.
⑵不正确.由|。|=网只能判断两向量长度相等,不能确定它们方向的关系.
⑶不正确.依据规定:0与任意向量平行.
(4)不正确.因为向量a与向量》若有一个是零向量,则其方向不定.
(5)正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向,是可以任意移动的.
『变式训练1』『『答案』』(1)A(2)B
『『解析』』(1)看一个量是否为向量,就要看它是否具备向量的两个要素:大小和方向,特
别是方向的要求,对各量从物理本身的意义作出判断,②③④既有大小也有方向,是向量,
①⑤⑥⑦⑧只有大小没有方向,不是向量.
(2)由于单位向量的方向不一定相同,故其终点不一定相同,故A错误;任何向量都有方向,
零向量的方向是任意的,并非没有方向,故D错误;有向线段是向量的形象表示,但并非
说向量就是有向线段,故C错误,故选B.
类型二向量的几何表示
『例2』解:以A为原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立直角坐标
系.
—>—>—>
据题设,2点在第一象限,C点在x轴正半轴上,。点在第四象限,向量AB,BC,CZ)如下
图所示.
由已知可得,AABC为正三角形,
.".AC=2000km,又NACD=45°,CD=1OOO^km,
.•.△AOC为等腰直角三角形,
:.AD=100(h/2km,ZCAD=45°.
—>
故向量A。的模为100舶方向为东南方向.
『变式训练2』
解:取每个方格的单位长为1,
依题意,结合向量的表示可知,(1)(2)的向量如图所示.
(3)由图知,AAOB是等腰直角三角形,
2=3
所以|A8|=、y|OB|2-|OA|-
类型三相等向量和共线向量
—>—>—>—>—>—>
『例3』⑴解:由满足共线向量的条件得与向量FC共线的向量有:CF,BC,CB,BF,FB,
―>—>—>—>—>—>
ED,DE,AE,EA,AD,DA.
(2)证明:在。ABCD中,AD=^=BC.
又E、尸分别为A。、BC的中点,,即工8凡
•••四边形BFDE是平行四边形,
—>—>
:.BE^=FD,:.BE=FD.
『变式训练3』『『答案』』D
―>—>
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