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文档简介
2025届江苏省苏州常熟市九上数学期末综合测试试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每题4分,共48分)1.如图所示,AB∥CD,∠A=50°,∠C=27°,则∠AEC的大小应为()A.23° B.70° C.77° D.80°2.今年来某县加大了对教育经费的投入,2013年投入2500万元,2015年投入3500万元.假设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意列方程,则下列方程正确的是()A.2500x=3500B.2500(1+x)=3500C.2500(1+x%)=3500D.2500(1+x)+2500(1+x)=35003.下列命题中,是真命题的是A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.两条对角线互相垂直的四边形是菱形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4.如图,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,点C的坐标为(﹣1,0),AC=1.将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°,再向右平移3个单位长度,则变换后点A的对应点坐标是()A.(1,1) B.(1,1) C.(﹣1,1) D.(1,﹣1)5.若关于x的一元二次方程kx2+2x–1=0有实数根,则实数k的取值范围是A.k≥–1 B.k>–1C.k≥–1且k≠0 D.k>–1且k≠06.如图,的正切值为()A. B. C. D.7.在六张卡片上分别写有,π,1.5,5,0,六个数,从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数的概率是()A. B. C. D.8.在一个不透明的袋子中,装有红球、黄球、篮球、白球各1个,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机取出一个球,取出红球的概率为()A.
B.
C.
D.19.如图,点P是矩形ABCD的边上一动点,矩形两边长AB、BC长分别为15和20,那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是()A.6 B.12 C.24 D.不能确定10.我国传统文化中的“福禄寿喜”图(如图)由四个图案构成.这四个图案中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A. B. C. D.11.对一批衬衣进行抽检,得到合格衬衣的频数表如下,若出售1200件衬衣,则其中次品的件数大约是()抽取件数(件)501001502005008001000合格频数4898144193489784981A.12 B.24 C.1188 D.117612.如图,已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形,且相似比为1:2,点B的坐标为(-1,2),则点B1的坐标为()A.(2,-4) B.(1,-4) C.(-1,4) D.(-4,2)二、填空题(每题4分,共24分)13.在一个不透明的盒子中装有n个小球,它们只有颜色上的区别,其中有2个红球,每次摸球前先将盒中的球摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复试验后发现,摸到红球的频率稳定于0.2,那么可以推算出n大约是
________.14.把二次函数变形为的形式为_________.15.x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根,则此方程的另一个根是.16.如图,在中,则AB的长为________(用含α和b的代数式表示)17.如图所示,写出一个能判定的条件________.18.如图,把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°,得到△A’B’C,A’B’交AC于点D,若∠A’DC=90°,则∠A=°.三、解答题(共78分)19.(8分)如图,抛物线的图象过点.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△PAC的周长最小,若存在,请求出点P的坐标及△PAC的周长;若不存在,请说明理由;(3)在(2)的条件下,在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合),使得?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.20.(8分)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,直线y=﹣x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是直线CD上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交线段CD于点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)求PE的长最大时m的值.(3)Q是平面直角坐标系内一点,在(2)的情况下,以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在?若存在,请直接写出存在个满足题意的点.21.(8分)已知关于x的方程.(1)当该方程的一个根为1时,求a的值及该方程的另一根;(2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.22.(10分)已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(-3,0),(2,-5).(1)试确定此二次函数的解析式;(2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上?23.(10分)一个不透明的箱子里放有2个白球,1个黑球和1个红球,它们除颜色外其余都相同.箱子里摸出1个球后不放回,摇匀后再摸出1个球,求两次摸到的球都是白球的概率。(请用列表或画树状图等方法)24.(10分)如图,正方形的对角线、相交于点,过点作的平行线,过点作的平行线,它们相交于点.求证:四边形是正方形.25.(12分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,AD垂直于过点C的切线,垂足为D,且∠BAD=80°,求∠DAC的度数.26.已知:如图,点P是一个反比例函数的图象与正比例函数y=﹣2x的图象的公共点,PQ垂直于x轴,垂足Q的坐标为(2,0).(1)求这个反比例函数的解析式;(2)如果点M在这个反比例函数的图象上,且△MPQ的面积为6,求点M的坐标.
参考答案一、选择题(每题4分,共48分)1、C【分析】根据平行线的性质可求解∠ABC的度数,利用三角形的内角和定理及平角的定义可求解.【详解】解:∵AB∥CD,∠C=27°,∴∠ABC=∠C=27°,∵∠A=50°,∴∠AEB=180°﹣27°﹣50°=103°,∴∠AEC=180°﹣∠AEB=77°,故选:C.【点睛】本题主要考查平行线的性质,三角形的内角和定理,掌握平行线的性质是解题的关键.2、B【分析】根据2013年教育经费额×(1+平均年增长率)2=2015年教育经费支出额,列出方程即可.【详解】设增长率为x,根据题意得2500×(1+x)2=3500,故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.(当增长时中间的“±”号选“+”,当下降时中间的“±”号选“-”).3、A【解析】根据特殊四边形的判定方法进行判断.对角线相等的平行四边形是矩形;对角线互相平分的四边形是平行四边形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形4、A【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标,根据平移的性质解答即可.【详解】∵点C的坐标为(﹣1,0),AC=1,∴点A的坐标为(﹣3,0),如图所示,将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°,则点A′的坐标为(﹣1,1),再向右平移3个单位长度,则变换后点A′的对应点坐标为(1,1),故选A.【点睛】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移,掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键.5、C【解析】解:∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=1有两个实数根,∴△=b2﹣4ac=4+4k≥1,且k≠1,解得:k≥﹣1且k≠1.故选C.点睛:此题考查了一元二次方程根的判别式,根的判别式的值大于1,方程有两个不相等的实数根;根的判别式的值等于1,方程有两个相等的实数根;根的判别式的值小于1,方程没有实数根.6、A【分析】根据圆周角定理和正切函数的定义,即可求解.【详解】∵∠1与∠2是同弧所对的圆周角,∴∠1=∠2,∴tan∠1=tan∠2=,故选A.【点睛】本题主要考查圆周角定理和正切函数的定义,把∠1的正切值化为∠2的正切值,是解题的关键.7、B【解析】无限不循环小数叫无理数,无理数通常有以下三种形式:一是开方开不尽的数,二是圆周率π,三是构造的一些不循环的数,如1.010010001……(两个1之间0的个数一次多一个).然后用无理数的个数除以所有书的个数,即可求出从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有,共2个,∴卡片上的数为无理数的概率是.故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算.8、C【详解】解:∵共有4个球,红球有1个,∴摸出的球是红球的概率是:P=.故选C.【点睛】本题考查概率公式.9、B【分析】由矩形ABCD可得:S△AOD=S矩形ABCD,又由AB=15,BC=20,可求得AC的长,则可求得OA与OD的长,又由S△AOD=S△APO+S△DPO=OA•PE+OD•PF,代入数值即可求得结果.【详解】连接OP,如图所示:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,∠ABC=90°,S△AOD=S矩形ABCD,∴OA=OD=AC,∵AB=15,BC=20,∴AC===25,S△AOD=S矩形ABCD=×15×20=75,∴OA=OD=,∴S△AOD=S△APO+S△DPO=OA•PE+OD•PF=OA•(PE+PF)=×(PE+PF)=75,∴PE+PF=1.∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是1.故选B.【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积.熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键.10、B【解析】试题分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.解:A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故错误;B、是轴对称图形,也是中心对称图形.故正确;C、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;D、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故错误.故选B.点睛:掌握中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.11、B【分析】由表中数据可判断合格衬衣的频率稳定在0.98,于是利于频率估计概率可判断任意抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98,从而得出结论.【详解】解:根据表中数据可得任抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98,次品的概率为0.02,
出售1200件衬衣,其中次品大约有1200×0.02=24(件),
故选:B.【点睛】此题考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:频率=所求情况数与总情况数之比.12、A【解析】过B作BC⊥y轴于C,过B1作B1D⊥y轴于D,依据△AOB和△A1OB1相似,且相似比为1:2,即可得到,再根据△BOC∽△B1OD,可得OD=2OC=4,B1D=2BC=2,进而得出点B1的坐标为(2,-4).【详解】解:如图,过B作BC⊥y轴于C,过B1作B1D⊥y轴于D,
∵点B的坐标为(-1,2),
∴BC=1,OC=2,
∵△AOB和△A1OB1相似,且相似比为1:2,∴,∵∠BCO=∠B1DO=90°,∠BOC=∠B1OD,
∴△BOC∽△B1OD,
∴OD=2OC=4,B1D=2BC=2,
∴点B1的坐标为(2,-4),
故选:A.【点睛】本题考查的是位似变换的性质,正确理解位似与相似的关系,记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键.二、填空题(每题4分,共24分)13、1【分析】在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,列出方程求解.【详解】由题意可得,
=0.2,解得,n=1.故估计n大约有1个.故答案为1.【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率,本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据红球的频率得到相应的等量关系.14、【分析】利用配方法变形即可.【详解】解:故答案为:【点睛】本题考查了二次函数的的解析式,熟练掌握配方法是解题的关键.15、-5【解析】把代入方程得:,解得:,∴原方程为:,解此方程得:,∴此方程的另一根为:.16、.【分析】根据余弦函数的定义可解.【详解】解:根据余弦函数的定义可知,所以AB=.故答案是:.【点睛】本题考查了三角函数的定义,牢记定义是关键.三角函数的定义是本章中最重要最基础的知识点,一定要掌握.17、(答案不唯一)【分析】已知有公共角∠C,由相似三角形的判定方法可得出答案.【详解】已知△ABC和△DCA中,∠ACD=∠BAC;
如果△ABC∽△DAC,需满足的条件有:
①∠DAC=∠B或∠ADC=∠BAC;
②AC2=DC•BC;
故答案为:AC2=DC•BC(答案不唯一).【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定方法;熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键.18、55.【详解】试题分析:∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°,得到△A’B’C∴∠ACA’=35°,∠A=∠A’,.∵∠A’DC=90°,∴∠A’=55°.∴∠A=55°.考点:1.旋转的性质;2.直角三角形两锐角的关系.三、解答题(共78分)19、(1);(2)存在,点,周长为:;(3)存在,点M坐标为【分析】(1)由于条件给出抛物线与x轴的交点,故可设交点式,把点C代入即求得a的值,减小计算量.(2)由于点A、B关于对称轴:直线对称,故有,则,所以当C、P、B在同一直线上时,最小.利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长,求直线BC解析式,把代入即求得点P纵坐标.(3)由可得,当两三角形以PA为底时,高相等,即点C和点M到直线PA距离相等.又因为M在x轴上方,故有.由点A、P坐标求直线AP解析式,即得到直线CM解析式.把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标.【详解】解:(1)∵抛物线与x轴交于点∴可设交点式把点代入得:∴抛物线解析式为(2)在抛物线的对称轴上存在一点P,使得的周长最小.如图1,连接PB、BC∵点P在抛物线对称轴直线上,点A、B关于对称轴对称∵当C、P、B在同一直线上时,最小最小设直线BC解析式为把点B代入得:,解得:∴直线BC:∴点使的周长最小,最小值为.(3)存在满足条件的点M,使得.∵∴当以PA为底时,两三角形等高∴点C和点M到直线PA距离相等∵M在x轴上方,设直线AP解析式为解得:∴直线∴直线CM解析式为:解得:(即点C),∴点M坐标为【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式,轴对称的最短路径问题,勾股定理,平行线间距离处处相等,一元二次方程的解法.其中第(3)题条件给出点M在x轴上方,无需分类讨论,解法较常规而简单.20、(1)(2)当时,的长最大(3)【分析】(1)根据待定系数法求解即可;(2)设点的坐标为、点的坐标为,列出,根据二次函数的图象性质求解即可;(3)分以为对角线时、以为对角线时、以为对角线时三种情况进行讨论求解即可.【详解】解:(1)∵抛物线与轴交于、两点∴将、两点代入,得:∴∴抛物线的解析式为:.(2)∵直线与轴交于点,与轴交于点∴点的坐标为,点的坐标为∴∵点的横坐标为∴点的坐标为,点的坐标为∴∵,∴当时,的长最大.(3)∵由(2)可知,点的坐标为:∴以、、、为顶点的四边形是平行四边形分为三种情况,如图:①以为对角线时∵点的坐标为:,点的坐标为,点的坐标为∴点的坐标为,即;②以为对角线时∵点的坐标为:,点的坐标为,点的坐标为∴点的坐标为,即;③以为对角线时∵点的坐标为:,点的坐标为,点的坐标为∴点的坐标为,即.∴综上所述,在(2)的情况下,存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形,点的坐标为:、或∴存在个满足题意的点.【点睛】本题考查了二次函数、一次函数和平行四边形的综合应用,涉及到的知识点有待定系数法求解析式、利用一次函数关系式求与坐标轴交点坐标、根据图像信息直接列函数关系式、将二次函数一般式通过配方法转化成顶点式、求当二次函数取最值时的自变量取值、根据平行四边形的性质求得符合要求的点的坐标等,属于压轴题目,有一定难度.21、(1),;(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.(2)要证方程都有两个不相等的实数根,只要证明根的判别式大于0即可.试题解析:(1)设方程的另一根为x1,∵该方程的一个根为1,∴.解得.∴a的值为,该方程的另一根为.(2)∵,∴不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.考点:1.一元二次方程根与系数的关系;2.一元二次方程根根的判别式;3.配方法的应用.22、(1)y=﹣x2﹣2x+1;(2)点P(﹣2,1)在这个二次函数的图象上,【分析】(1)根据给定点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式即可;
(2)代入x=-2求出y值,将其与1比较后即可得出结论.【详解】(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+1;∵二次函数的图象经过点(﹣1,0),(2,﹣5),则有:解得;∴y=﹣x2﹣2x+1.(2)把x=-2代入函数得y=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+1=﹣4+4+1=1,∴点P(﹣2,1)在这个二次函数的图象上,【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征,掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.23、【分析】画出树形图,即可求出两次摸到的球都是白球的概率.【详解】解:画树状图如下:
∴摸得两次白球的概率=【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗
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