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文档简介
江苏省扬州市江都区郭村中学2025届数学九上期末达标检测试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图,正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点,AE与BD交于点P,F是CD上的一点,连接AF分别交BD,DE于点M,N,且AF⊥DE,连接PN,则下列结论中:①;②;③tan∠EAF=;④正确的是()A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④2.如图,为的切线,切点为,连接,与交于点,延长与交于点,连接,若,则的度数为()A. B. C. D.3.如图,在△ABC中,点D在BC上一点,下列条件中,能使△ABC与△DAC相似的是()
A.∠BAD=∠C B.∠BAC=∠BDA C.AB2=BD∙BC D.AC2=CD∙CB4.如图,的半径为,圆心到弦的距离为,则的长为()A. B. C. D.5.如图,为的直径,为上两点,若,则的大小为().A.60° B.50° C.40° D.20°6.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC边上的点,且DE∥AC,若,,则△ACD的面积为()A.64 B.72 C.80 D.967.如图为O、A、B、C四点在数线上的位置图,其中O为原点,且AC=1,OA=OB,若C点所表示的数为x,则B点所表示的数与下列何者相等?()A.﹣(x+1) B.﹣(x﹣1) C.x+1 D.x﹣18.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个9.如图,已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF,tanα=,则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是()A.144cm B.180cm C.240cm D.360cm10.如图平行四边变形ABCD中,E是BC上一点,BE∶EC=2∶3,AE交BD于F,则S△BFE∶S△FDA等于()A.2∶5 B.4∶9 C.4∶25 D.2∶3二、填空题(每小题3分,共24分)11.已知点P是线段AB的黄金分割点,AP>PB.若AB=2,则AP=_____.12.如图,在△ABC中,DE∥BC,,则=_____.13.已知一组数据:12,10,1,15,6,1.则这组数据的中位数是__.14.在平面直角坐标系中,点(4,-5)关于原点的对称点的坐标是________.15.如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,且cosα=.下列结论:①△ADE∽△ACD;②当BD=6时,△ABD与△DCE全等;③△DCE为直角三角形时,BD为8或;④0<CE≤6.1.其中正确的结论是_____.(把你认为正确结论的序号都填上)16.若扇形的圆心角为,半径为,则该扇形的弧长为__________.17.如图,已知直线y=mx与双曲线y=一个交点坐标为(3,4),则它们的另一个交点坐标是_____.18.抛物线y=3(x+2)2+5的顶点坐标是_____.三、解答题(共66分)19.(10分)解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来.20.(6分)为了解某校九年级男生1000米跑的水平,从中随机抽取部分男生进行测试,并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图,请你依图解答下列问题:(1)a=,b=,c=;(2)扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为度;(3)学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中,随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛,请用列表法或画树状图法,求甲、乙两名男生同时被选中的概率.21.(6分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,动点Q在边AB上,连接CQ,将△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN,延长QN交直线CD于点M.(1)求证:MC=MQ(2)当BQ=1时,求DM的长;(3)过点D作DE⊥CQ,垂足为点E,直线QN与直线DE交于点F,且,求BQ的长.22.(8分)定义:连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,那么称这样的菱形为自相似菱形.(1)判断下列命题是真命题,还是假命题?①正方形是自相似菱形;②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形.③如图1,若菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC=α(0°<α<90°),E为BC中点,则在△ABE,△AED,△EDC中,相似的三角形只有△ABE与△AED.(2)如图2,菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC是锐角,边长为4,E为BC中点.①求AE,DE的长;②AC,BD交于点O,求tan∠DBC的值.23.(8分)解方程:-2(x+1)=324.(8分)如图,▱ABCD中,连接AC,AB⊥AC,tanB=,E、F分别是BC,AD上的点,且CE=AF,连接EF交AC与点G.(1)求证:G为AC中点;(2)若EF⊥BC,延长EF交BA的延长线于H,若FH=4,求AG的长.25.(10分)一艘运沙船装载着5000m3沙子,到达目的地后开始卸沙,设平均卸沙速度为v(单位:m3/小时),卸沙所需的时间为t(单位:小时).(1)求v关于t的函数表达式,并用列表描点法画出函数的图象;(2)若要求在20小时至25小时内(含20小时和25小时)卸完全部沙子,求卸沙的速度范围.26.(10分)一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球,把它们分别标号为,,,.随机摸取一个小球然后放回,再随机摸取一个.请用画树状图和列表的方法,求下列事件的概率:(1)两次取出的小球标号相同;(2)两次取出的小球标号的和等于1.
参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】利用正方形的性质,得出∠DAN=∠EDC,CD=AD,∠C=∠ADF即可判定△ADF≌△DCE(ASA),再证明△ABM∽△FDM,即可解答①;根据题意可知:AF=DE=AE=,再根据三角函数即可得出③;作PH⊥AN于H.利用平行线的性质求出AH=,即可解答②;利用相似三角形的判定定理,即可解答④【详解】解:∵正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点,∴AB=BC=CD=AD=2,∠ABC=∠C=∠ADF=90°,CE=BE=1,∵AF⊥DE,∴∠DAF+∠ADN=∠ADN+∠CDE=90°,∴∠DAN=∠EDC,在△ADF与△DCE中,,∴△ADF≌△DCE(ASA),∴DF=CE=1,∵AB∥DF,∴△ABM∽△FDM,∴,∴S△ABM=4S△FDM;故①正确;根据题意可知:AF=DE=AE=,∵×AD×DF=×AF×DN,∴DN=,∴EN=,AN=,∴tan∠EAF=,故③正确,作PH⊥AN于H.∵BE∥AD,∴,∴PA=,∵PH∥EN,∴,∴AH=,∴PH=∴PN=,故②正确,∵PN≠DN,∴∠DPN≠∠PDE,∴△PMN与△DPE不相似,故④错误.故选:A.【点睛】此题考查三角函数,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质难度较大,解题关键在于综合掌握各性质2、D【分析】由切线性质得到,再由等腰三角形性质得到,然后用三角形外角性质得出【详解】切线性质得到故选D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等,掌握基础定义是解题关键3、D【解析】根据相似三角形的判定即可.【详解】△ABC与△DAC有一个公共角,即∠ACB=∠DCA,要使△ABC与△DAC相似,则还需一组角对应相等,或这组相等角的两边对应成比例即可,观察四个选项可知,选项D中的AC即ACCD=CBAC,正好是故选:D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定是解题关键.4、D【分析】过点O作OC⊥AB于C,连接OA,根据勾股定理求出AC长,根据垂径定理得出AB=2CA,代入求出即可.【详解】过点O作OC⊥AB于C,连接OA,则OC=6,OA=10,由勾股定理得:,∵OC⊥AB,OC过圆心O,∴AB=2AC=16,故选D.【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理等知识点的应用,正确作出辅助线是关键.5、B【分析】根据题意连接AD,再根据同弧的圆周角相等,即可计算的的大小.【详解】解:连接,∵为的直径,∴.∵,∴,∴.故选B.【点睛】本题主要考查圆弧的性质,同弧的圆周角相等,这是考试的重点,应当熟练掌握.6、C【分析】根据题意得出BE:CE=1:4,由DE∥AC得出△DBE和△ABC相似,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积,然后求出△ACD的面积.【详解】∵S△BDE=4,S△CDE=16,
∴S△BDE:S△CDE=1:4,
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等,∴,∴,∵DE∥AC,
∴△DBE∽△ABC,
∴S△DBE:S△ABC=1:25,∴S△ABC=100
∴S△ACD=S△ABC-S△BDE-S△CDE=100-4-16=1.
故选C.【点睛】考查了相似三角形的判定与性质,等高的三角形的面积的比等于底边的比,熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方,用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键.7、B【解析】分析:首先根据AC=1,C点所表示的数为x,求出A表示的数是多少,然后根据OA=OB,求出B点所表示的数是多少即可.详解:∵AC=1,C点所表示的数为x,∴A点表示的数是x﹣1,又∵OA=OB,∴B点和A点表示的数互为相反数,∴B点所表示的数是﹣(x﹣1).故选B.点睛:此题主要考查了在数轴上表示数的方法,以及数轴的特征和应用,要熟练掌握.8、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】解:第一个图形是轴对称图形,不是中心对称图形;第二个图形是轴对称图形,是中心对称图形;第三个图形是轴对称图形,不是中心对称图形;第四个图形不是轴对称图形,是中心对称图形;既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个,故选:D.【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.9、B【解析】试题分析:解:如图:根据题意可知::△AFO∽△ABD,OF=EF=30cm∴,∴∴CD=72cm,∵tanα=∴∴AD==180cm.故选B.考点:解直角三角形的应用.10、C【分析】由四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BE,由平行得相似,即△BEF∽△DAF,再利用相似比解答本题.【详解】∵,
∴,∵四边形是平行四边形,
∴,∥,
∴,,
∴,,故选:C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质.正确运用相似三角形的相似比是解题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、-1【详解】解:如果一点为线段的黄金分割点,那么被分割的较短的边比较大的边等于较大的边比上这一线段的长=≈0.618.∵AB=2,AP﹥BP,∴AP:AB=×2=-1.故答案是:-112、【分析】先利用平行条件证明三角形的相似,再利用相似三角形面积比等于相似比的平方,即可解题.【详解】解:∵DE∥BC,,∴,由平行条件易证△ADE△ABC,∴S△ADE:S△ABC=1:9,∴=.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,中等难度,熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.13、2【解析】根据这组数据是从大到小排列的,求出最中间的两个数的平均数即可【详解】解:将数据从小到大重新排列为:6、1、1、10、12、15,所以这组数据的中位数为,故答案为:2.【点睛】此题考查了中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数)即可14、(-4,5)【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得答案.【详解】解:点(4,-5)关于原点的对称点的坐标是(-4,5),故答案为:(-4,5).【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点,关键是掌握点的坐标的变化规律.15、①、②、④.【分析】①先利用等腰三角形的性质可得一组角相等,又因有一组公共角,所以由三角形相似的判定定理即可得;②根据为等腰三角形,加上、AB的值可得出底边CD的值,从而可找到两个三角形有一组相等的边,在加上①中两组相等的角,即可证明全等;③因只已知为直角三角形,所以要分两种情况考虑,利用三角形相似可得为直角三角形,再结合的值即可求得BD;④设,则,由∽得,从而可得出含x的等式,化简分析即可得.【详解】①(等边对等角)又∽,所以①正确;②作于H,如图在中,又由等腰三角形三线合一性质得,当时,则又在和中,,所以②正确;③为直角三角形,有两种情况:当时,如图1∽在中,可解得当时,如图2在中,可解得综上或,所以③不正确;④设,则由∽得,即故,所以④正确.综上,正确的结论有①②④.【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和性质、三角形全等的判定、相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;或依据基本图形对图形进行分解、组合.16、【分析】根据弧长公式求解即可.【详解】扇形的圆心角为,半径为,则弧长故答案为:.【点睛】本题考查了弧长计算,熟记弧长公式是解题的关键.17、(﹣3,﹣4)【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性解答即可.【详解】解:因为直线y=mx过原点,双曲线y=的两个分支关于原点对称,所以其交点坐标关于原点对称,一个交点坐标为(3,4),则另一个交点的坐标为(﹣3,﹣4).故答案是:(﹣3,﹣4).【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质,通过数形结合和中心对称的定义很容易解决.反比例函数的图象是中心对称图形,则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.18、(﹣2,5)【分析】已知抛物线的顶点式,可直接写出顶点坐标.【详解】解:由y=3(x+2)2+5,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(﹣2,5).故答案为:(﹣2,5).【点睛】本题考查二次函数的性质,熟知二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x-h)2+k中,顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h.三、解答题(共66分)19、,在数轴上表示见解析.【分析】分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,并在数轴上表示出来即可.【详解】解:解解不等式①得;解不等式②得;把解集在数轴上表示为所以不等式组的解集为.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.20、(1)2、45、20;(2)72;(3)【解析】分析:(1)根据A等次人数及其百分比求得总人数,总人数乘以D等次百分比可得a的值,再用B、C等次人数除以总人数可得b、c的值;(2)用360°乘以C等次百分比可得;(3)画出树状图,由概率公式即可得出答案.详解:(1)本次调查的总人数为12÷30%=40人,∴a=40×5%=2,b=×100=45,c=×100=20,(2)扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%=72°,(3)画树状图,如图所示:共有12个可能的结果,选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个,故P(选中的两名同学恰好是甲、乙)=.点睛:此题主要考查了列表法与树状图法,以及扇形统计图、条形统计图的应用,要熟练掌握.21、(1)见解析;(2)2.1;(3)或2【分析】(1)由矩形的性质得出∠B=90°,AB=CD=6,CD∥AB,得出∠MCQ=∠CQB,由折叠的性质得出△CBQ≌△CNQ,求出BC=NC=4,NQ=BQ=1,∠CNQ=∠B=90°,∠CQN=∠CQB,得出∠CNM=90°,∠MCQ=∠CQN,证出MC=MQ.
(2)设DM=x,则MQ=MC=6+x,MN=1+x,在Rt△CNM中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
(3)分两种情况:①当点M在CD延长线上时,由(1)得:∠MCQ=∠CQM,证出∠FDM=∠F,得出MD=MF,过M作MH⊥DF于H,则DF=2DH,证明△MHD∽△CED,得出,求出MD=CD=1,MC=MQ=7,由勾股定理得出MN即可解决问题.
②当点M在CD边上时,同①得出BQ=2即可.【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴DC∥AB
即∠MCQ=∠CQB,
∵△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN,
∴∠CQN=∠CQB,
即∠MCQ=∠MQC,
∴MC=MQ.
(2)∵四边形ABCD是矩形,△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN,
∴∠CNM=∠B=90°,
设DM=x,则MQ=MC=6+x,MN=1+x,
在Rt△CNM中,MB2=BN2+MN2,
即(x+6)2=42+(x+1)2,
解得:x=,
∴DM=,
∴DM的长2.1.
(3)解:分两种情况:
①当点M在CD延长线上时,如图所示:
由(1)得∠MCQ=∠MQC,
∵DE⊥CQ,
∴∠CDE=∠F,
又∵∠CDE=∠FDM,
∴∠FDM=∠F,
∴MD=MF.
过M点作MH⊥DF于H,则DF=2DH,
又,∴,
∵DE⊥CQ
MH⊥DF,
∴∠MHD=∠DEC=90°,
∴△MHD∽△DEC
∴,
∴DM=1,MC=MQ=7,
∴MN=
∴BQ=NQ=
②当点M在CD边上时,如图所示,类似可求得BQ=2.
综上所述,BQ的长为或2.【点睛】此题考查四边形综合题,翻折变换的性质,矩形的性质,等腰三角形的判定,勾股定理,相似三角形的判定与性质,解题关键在于掌握各性质定义和需要进行分类讨论.22、(1)见解析;(2)①AE=2,DE=4;②tan∠DBC=.【分析】(1)①证明△ABE≌△DCE(SAS),得出△ABE∽△DCE即可;②连接AC,由自相似菱形的定义即可得出结论;③由自相似菱形的性质即可得出结论;(2)①由(1)③得△ABE∽△DEA,得出,求出AE=2,DE=4即可;②过E作EM⊥AD于M,过D作DN⊥BC于N,则四边形DMEN是矩形,得出DN=EM,DM=EN,∠M=∠N=90°,设AM=x,则EN=DM=x+4,由勾股定理得出方程,解方程求出AM=1,EN=DM=5,由勾股定理得出DN=EM==,求出BN=7,再由三角函数定义即可得出答案.【详解】解:(1)①正方形是自相似菱形,是真命题;理由如下:如图3所示:∵四边形ABCD是正方形,点E是BC的中点,∴AB=CD,BE=CE,∠ABE=∠DCE=90°,在△ABE和△DCE中,∴△ABE≌△DCE(SAS),∴△ABE∽△DCE,∴正方形是自相似菱形,故答案为:真命题;②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形,是假命题;理由如下:如图4所示:连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD,AD∥BC,AB∥CD,∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∠DCE=120°,∵点E是BC的中点,∴AE⊥BC,∴∠AEB=∠DAE=90°,∴只能△AEB与△DAE相似,∵AB∥CD,∴只能∠B=∠AED,若∠AED=∠B=60°,则∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°,∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°,∴∠CED=∠CDE,∴CD=CE,不成立,∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形,故答案为:假命题;③若菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC=α(0°<α<90°),E为BC中点,则在△ABE,△AED,△EDC中,相似的三角形只有△ABE与△AED,是真命题;理由如下:∵∠ABC=α(0°<α<90°),∴∠C>90°,且∠ABC+∠C=180°,△ABE与△EDC不能相似,同理△AED与△EDC也不能相似,∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE,当∠AED=∠B时,△ABE∽△DEA,∴若菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC=α(0°<α<90°),E为BC中点,则在△ABE,△AED,△EDC中,相似的三角形只有△ABE与△AED,故答案为:真命题;(2)①∵菱形ABCD是自相似菱形,∠ABC是锐角,边长为4,E为BC中点,∴BE=2,AB=AD=4,由(1)③得:△ABE∽△DEA,∴∴AE2=BE•AD=2×4=8,∴AE=2,DE===4,故答案为:AE=2;DE=4;②过E作EM⊥AD于M,过D作DN⊥BC于N,如图2所示:则四边形DMEN是矩形,∴DN=EM,DM=EN,∠M=∠N=90°,设AM=x,则EN=DM=x+4,由勾股定理得:EM2=DE2﹣DM2=AE2﹣AM2,即(4)2﹣(x+4)2=(2)2﹣x2,解得:x=1,∴AM=1,EN=DM=5,∴DN=EM==,在Rt△BDN中,∵BN=BE+EN=2+5=7,∴tan∠DBC=,故答案为:.【点睛】本题考查了自相似菱形的定义和判定,菱形的性质应用,三角形全等的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理的应用,锐角三角函数的定义,掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键.23、【分析】先将-2(x+1)=3化成-2(x+1)-3=0,再将x+1当作一个整体运用因式分解法求出x+1,最后求出x.【详解】解:∵-2(x+1)=3化成-2(x+1)-3
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