2025届新高考数学冲刺复习不等式的性质与基本不等式

2025届新高考数学冲刺复习不等式的性质与基本不等式

知识梳理

＜＞

≤

2

②

如果和

x

＋

y

是定值

S

，那么当且仅当

x

＝

y

时，积

xy

有最大

值

⁠.注意点：运用基本不等式求最值时要注意：“一正、二定、三

⁠

”；连续两次使用基本不等式求最值时，要注意不等号的方向是否

一致，且等号能否同时成立；利用基本不等式求最值的常用方法：

“1”的代换、配凑法、消元法、换元法等.

相

等

a

－

b

＜0

a

＜

b

＞

＜

≥

√✕✕✕回归课本2.（RA一P43习题2.1第8题）下列命题为真命题的是（

B

）A.若

a

＞

b

＞0，则

ac

2＞

bc

2B.若

a

＞

b

＞0，则

a

2＞

b

2C.若

a

＜

b

＜0，则

a

2＜

ab

＜

b

2B3.（RA一P49习题2.2第5题改编）下列说法正确的是（

D

）D4.（多选）（RA一P42练习第2题改编）下列说法正确的有

（

ACD

）A.若

a

＞

b

，

c

＜

d

，则

a

－

c

＞

b

－

d

B.若

a

＞

b

＞0，

c

＜

d

＜0，则

ac

＞

bd

ACD5.（RA一P46例3改编）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形

菜园，墙长18m，则当这个矩形菜园的长为

m，宽为

⁠m

时，菜园的面积最大.15

7.5

考点一

不等式的性质例1（1）

（多选）若0＜

a

＜1，

b

＞

c

＞1，则下列结论正确的是

（

AD

）C.

ca

－1＜

ba

－1D.log

ca

＜log

ba

AD

B.｜

a

｜＋

b

＞0D.ln

a

2＞ln

b

2AC

总结提炼

解决此类问题的常用方法（1）

直接利用不等式的性质逐个验证；（2）

利用特殊值排除错误项；（3）

利用函数的单调性.

[对点训练]

1.（多选）若

a

＞

b

＞

c

＞0，则下列结论错误的是（

ABC

）B.

a

－

b

＞

b

－

c

ABC

A.6B.8C.12D.16B

（2）

（多选）设

a

＞0，

b

＞0，

a

＋

b

＝1，则下列不等式中，一定成

立的是（

ABD

）ABD

（3）

若正实数

x

，

y

满足2

x

＋

y

＋6＝

xy

，则

x

的取值范围是

⁠；

xy

的最小值是

⁠.

（1，＋

∞）

18

A.6B.8C.12D.16

B

2

总结提炼

1.用基本不等式求多元最值问题的基本策略是减元.2.“1”的代换的好处是变形后可直接使用基本不等式求最值.

[对点训练]

2.若正实数

x

，

y

满足4

x

2＋

y

2＋

xy

＝1，则

xy

的最大值为

，2

x

＋

y

的最大值为

⁠.

考向2

基本不等式在实际问题中的应用例3（1）

有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为

a

，

b

，1.

现将它的长增加1，宽增加2，且保持其体积不变，则所得新长方体的高

h

的最大值为

⁠.（2）

某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉

的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买

面粉每次需支付运费900元.该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天

所支付的总费用最少？

[变式演练]3.有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为

a

，

b

，1，则其表

面积

S

的最小值为

⁠.

总结提炼

利用基本不等式求解实际应用题的注意点（1）

解题时需先弄清题意，从中提炼出有用的信息，建立数学模

型，转化为数学问题求解，最后要下结论.（2）

利用基本不等式求最值时，要注意验证等号是否成立，当使等

号成立的自变量不在定义域内时，可利用函数的单调性求解.

对接高考1.（多选）（2022·新高考Ⅱ卷）对任意

x

，

y

，

x

2＋

y

2－

xy

＝1，则下列

结论正确的是（

BC

）A.

x

＋

y

≤1B.

x

＋

y

≥－2C.

x

2＋

y

2≤2D.

x

2＋

y

2≥1BC

2.（2023·全国甲卷改编）已知

f

（

x

）＝2｜

x

－

a

｜－

a

，

a

＞0，则不

等式

f

（

x

）＜

x

的解集为

⁠.

A——基础过关1.

（RA一教参P91本章学业水平测试题第3题）设

a

，

b

∈R，则下列命

题正确的是（

D

）A.

若

a

＞

b

，则

a

2＞

b

2B.

若

a

≠

b

，则

a

2≠

b

2C.

若

a

＜｜

b

｜，则

a

2＜

b

2D.

若

a

＞｜

b

｜，则

a

2＞

b

2解：当

a

＝1，

b

＝－2时，满足

a

＞

b

，但

a

2＜

b

2，故A错误.当

a

＝1，

b

＝－1时，满足

a

≠

b

，但

a

2＝

b

2，故B错误.当

a

＝－2，

b

＝1时，满

足

a

＜｜

b

｜，但

a

2＞

b

2，故C错误.易知D正确.D12345678910高效练习2.

若

a

，

b

∈R，且

ab

＞0，则下列不等式中，恒成立的是（

D

）A.

a

2＋

b

2＞2

ab

D12345678910

A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件

A12345678910

C.

3D.

4

C123456789105.

（多选）已知正实数

a

，

b

满足

a

＋

b

＝1，则下列结论正确的是

（

BCD

）C.

log2

a

＋log2

b

≤－2BCD12345678910

123456789106.

（多选）（2022·南通模考）下列函数中，最小值为6的是（

BC

）C.

y

＝3

x

＋32－

x

BC12345678910

123456789107.

已知

x

＞0，

y

＞0，

x

2＋

y

2＝18，则

xy

的最大值为

⁠.

9

12345678910

123456789109.

若正数

a

，

b

满足2

a

＋

b

＝1.（1）

求

ab

的最大值；

12345678910

1234567891010.

（2022·南通海安模考）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司

拟在一张矩形海报纸（记为矩形

ABCD

，如图）上设计三个等高的宣传

栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（涂

色部分）的面积之和为1

440cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和

竖直方向的留空宽度均为2cm.设直角梯形的高为

x

cm.（1）

当

x

＝20时，求海报纸的面积；

12345678910（2）

为了节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，使得用纸量最少

（即

矩形

ABCD

的面积最小）？

12345678910B——能力提升

A.

1B.

4C.

9D.

16D12345

A12345

123453.

（多选）已知正数

a

，

b

满足

a

＋2

b

＝1，则下列结论正确的是

（

BD

）BD12345

123454.

已知函数

f

（

x

）＝2

x

2－ln

x

，则

f

（

x

）的单调增区间为⁠⁠

⁠

；若

f

（

x

）