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文档简介
2025届新高考数学冲刺复习不等式的性质与基本不等式
知识梳理
<>
≤
2
②
如果和
x
+
y
是定值
S
,那么当且仅当
x
=
y
时,积
xy
有最大
值
.注意点:运用基本不等式求最值时要注意:“一正、二定、三
”;连续两次使用基本不等式求最值时,要注意不等号的方向是否
一致,且等号能否同时成立;利用基本不等式求最值的常用方法:
“1”的代换、配凑法、消元法、换元法等.
相
等
a
-
b
<0
a
<
b
>
<
≥
√✕✕✕回归课本2.(RA一P43习题2.1第8题)下列命题为真命题的是(
B
)A.若
a
>
b
>0,则
ac
2>
bc
2B.若
a
>
b
>0,则
a
2>
b
2C.若
a
<
b
<0,则
a
2<
ab
<
b
2B3.(RA一P49习题2.2第5题改编)下列说法正确的是(
D
)D4.(多选)(RA一P42练习第2题改编)下列说法正确的有
(
ACD
)A.若
a
>
b
,
c
<
d
,则
a
-
c
>
b
-
d
B.若
a
>
b
>0,
c
<
d
<0,则
ac
>
bd
ACD5.(RA一P46例3改编)用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形
菜园,墙长18m,则当这个矩形菜园的长为
m,宽为
m
时,菜园的面积最大.15
7.5
考点一
不等式的性质例1(1)
(多选)若0<
a
<1,
b
>
c
>1,则下列结论正确的是
(
AD
)C.
ca
-1<
ba
-1D.log
ca
<log
ba
AD
B.|
a
|+
b
>0D.ln
a
2>ln
b
2AC
总结提炼
解决此类问题的常用方法(1)
直接利用不等式的性质逐个验证;(2)
利用特殊值排除错误项;(3)
利用函数的单调性.
[对点训练]
1.(多选)若
a
>
b
>
c
>0,则下列结论错误的是(
ABC
)B.
a
-
b
>
b
-
c
ABC
A.6B.8C.12D.16B
(2)
(多选)设
a
>0,
b
>0,
a
+
b
=1,则下列不等式中,一定成
立的是(
ABD
)ABD
(3)
若正实数
x
,
y
满足2
x
+
y
+6=
xy
,则
x
的取值范围是
;
xy
的最小值是
.
(1,+
∞)
18
A.6B.8C.12D.16
B
2
总结提炼
1.用基本不等式求多元最值问题的基本策略是减元.2.“1”的代换的好处是变形后可直接使用基本不等式求最值.
[对点训练]
2.若正实数
x
,
y
满足4
x
2+
y
2+
xy
=1,则
xy
的最大值为
,2
x
+
y
的最大值为
.
考向2
基本不等式在实际问题中的应用例3(1)
有一个体积为2的长方体,它的长、宽、高依次为
a
,
b
,1.
现将它的长增加1,宽增加2,且保持其体积不变,则所得新长方体的高
h
的最大值为
.(2)
某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉
的价格为1800元,面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元,购买
面粉每次需支付运费900元.该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天
所支付的总费用最少?
[变式演练]3.有一个体积为2的长方体,它的长、宽、高依次为
a
,
b
,1,则其表
面积
S
的最小值为
.
总结提炼
利用基本不等式求解实际应用题的注意点(1)
解题时需先弄清题意,从中提炼出有用的信息,建立数学模
型,转化为数学问题求解,最后要下结论.(2)
利用基本不等式求最值时,要注意验证等号是否成立,当使等
号成立的自变量不在定义域内时,可利用函数的单调性求解.
对接高考1.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)对任意
x
,
y
,
x
2+
y
2-
xy
=1,则下列
结论正确的是(
BC
)A.
x
+
y
≤1B.
x
+
y
≥-2C.
x
2+
y
2≤2D.
x
2+
y
2≥1BC
2.(2023·全国甲卷改编)已知
f
(
x
)=2|
x
-
a
|-
a
,
a
>0,则不
等式
f
(
x
)<
x
的解集为
.
A——基础过关1.
(RA一教参P91本章学业水平测试题第3题)设
a
,
b
∈R,则下列命
题正确的是(
D
)A.
若
a
>
b
,则
a
2>
b
2B.
若
a
≠
b
,则
a
2≠
b
2C.
若
a
<|
b
|,则
a
2<
b
2D.
若
a
>|
b
|,则
a
2>
b
2解:当
a
=1,
b
=-2时,满足
a
>
b
,但
a
2<
b
2,故A错误.当
a
=1,
b
=-1时,满足
a
≠
b
,但
a
2=
b
2,故B错误.当
a
=-2,
b
=1时,满
足
a
<|
b
|,但
a
2>
b
2,故C错误.易知D正确.D12345678910高效练习2.
若
a
,
b
∈R,且
ab
>0,则下列不等式中,恒成立的是(
D
)A.
a
2+
b
2>2
ab
D12345678910
A.
充分不必要条件B.
必要不充分条件C.
充要条件D.
既不充分也不必要条件
A12345678910
C.
3D.
4
C123456789105.
(多选)已知正实数
a
,
b
满足
a
+
b
=1,则下列结论正确的是
(
BCD
)C.
log2
a
+log2
b
≤-2BCD12345678910
123456789106.
(多选)(2022·南通模考)下列函数中,最小值为6的是(
BC
)C.
y
=3
x
+32-
x
BC12345678910
123456789107.
已知
x
>0,
y
>0,
x
2+
y
2=18,则
xy
的最大值为
.
9
12345678910
123456789109.
若正数
a
,
b
满足2
a
+
b
=1.(1)
求
ab
的最大值;
12345678910
1234567891010.
(2022·南通海安模考)为宣传2022年北京冬奥会,某公益广告公司
拟在一张矩形海报纸(记为矩形
ABCD
,如图)上设计三个等高的宣传
栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形),宣传栏(涂
色部分)的面积之和为1
440cm2.为了美观,要求海报上所有水平方向和
竖直方向的留空宽度均为2cm.设直角梯形的高为
x
cm.(1)
当
x
=20时,求海报纸的面积;
12345678910(2)
为了节约成本,应如何选择海报纸的尺寸,使得用纸量最少
(即
矩形
ABCD
的面积最小)?
12345678910B——能力提升
A.
1B.
4C.
9D.
16D12345
A12345
123453.
(多选)已知正数
a
,
b
满足
a
+2
b
=1,则下列结论正确的是
(
BD
)BD12345
123454.
已知函数
f
(
x
)=2
x
2-ln
x
,则
f
(
x
)的单调增区间为
;若
f
(
x
)
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