高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题13导数的概念及其意义、导数的运算(原卷版+解析)

2023高考一轮复习讲与练专题13导数的概念及其意义、导数的运算练高考明方向1.(2023·新高考Ⅰ卷T15）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________．2.(2023·新高考Ⅱ卷T14）写出曲线过坐标原点的切线方程：____________，____________．3.(2023·全国甲（文）T20）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．（1）若，求a；（2）求a的取值范围．4.(2023·新高考Ⅰ卷T22）已知函数和有相同最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．5．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数的图像在点处的切线方程为 ()A． B． C． D．6．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为 ()A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+7．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线在点处的切线方程为，则 ()A．B． C． D．8．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数．讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．9．(2023年高考全国甲卷理科)曲线在点处的切线方程为__________．10．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)曲线在点处的切线方程为．11．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)曲线在点处的切线的斜率为，则．12．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)曲线在点处的切线方程为__________．13．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为偶函数,当时,,,则曲线在点处的切线方程是_______________.14．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．导数的概念及其意义、导数的运算导数的概念导数的概念及其意义、导数的运算导数的概念导数的几何意义导数公式导数的运算法则复合函数的导数类型一、导数的概念及导数的几何意义基础知识：1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记法记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)2．函数f(x)的导函数：函数f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数．基本题型：1．设为可导函数，且满足，则为（）A．1 B．C．2 D．2．已知函数，且，则的值为（）A． B．2 C． D．3．（多选题）已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则（）A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56C．该物体位移的最大值为43D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70类型二、导数的几何意义基础知识：导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．基本题型：1、（过某点处切线的方程）若经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为()A．12x－y－16＝0B．3x－y＋2＝0C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝02．（在某点处切线的方程）(2023全国卷Ⅰ)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A． B． C． D．3、（求参数的值）已知函数f(x)＝msinx＋b在x＝eq\f(π,6)处的切线方程为y＝eq\f(\r(3),2)x－eq\f(\r(3),12)π＋1，则实数b的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．1 D.eq\r(3)4．（求参数的范围）已知函数，过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．（切线的倾斜角）设点P是曲线y＝x3－x＋9上的任意一点，曲线在P点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是()A．B． C． D．6．（切线的斜率）偶函数的图象在处的切线斜率为A．2e B．e C． D．7、（求切点坐标）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为．8．（求参数的值）已知直线l：y＝x＋b为曲线f(x)＝ex的切线，若直线l与曲线g(x)＝－eq\f(1,2)x2＋mx－eq\f(7,2)也相切，则实数m的值为________．基本方法：1、函数y＝f(x)在点A(x0，f(x0))处的切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，一定要抓住关键eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝fx0，,k＝f′x0.))2、过点的切线方程的求解方法：设切点为P(x0，y0)，则斜率k＝f′(x0)，过切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，又因为切线方程过点A(m，n)，所以n－y0＝f′(x0)(m－x0)，然后解出x0的值．(x0有几个值，就有几条切线)3、求切点坐标的思路：已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．4、求参数问题的方法：通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出关于参数的方程(组)并解出参数，注意以下几点：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上．类型三、导数的运算基础知识：1．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝eq\a\vs4\al(0)f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))eq\a\vs4\al(′,)＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；(4)[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)．基本题型：1．（多选）下列函数求导正确的是（）A． B．C． D．2．(多选)下列结论中正确的是()A．若y＝coseq\f(1,x)，则y′＝eq\f(1,x2)sineq\f(1,x)B．若y＝lneq\r(1＋2x)，则y′＝eq\f(1,1＋2x)C．若y＝eq\f(1,tanx)，则y′＝eq\f(1,cos2x)D．若y＝x2022＋log2x，则y′＝2022x2021＋eq\f(1,xln2)3．（多选）设函数，则下列说法正确的是（）A．B．C．在处的切线方程为D．基本方法：1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．2．常见形式及具体求导的几种方法连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式：先化为和、差形式，再求导类型三、复合函数的导数基础知识：1、一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成eq\a\vs4\al(x)的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))2、复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．基本题型：1．设，，，…，，，则（）A． B．C． D．2．已知函数，其导函数记为，则（）A．2 B． C．3 D．3．求下列函数的导数．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．基本方法：复合函数的求导：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元。类型四、解析式中含有导数值的函数基础知识：对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．注意：f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.基本题型：1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝eq\f(1,x)＋3xf′(1)，则f′(2)的值为()A.eq\f(5,4) B．1C.eq\f(1,4) D．－22．已知函数，，则满足的的值为______．3．已知函数的导函数，若，则________.新预测破高考1．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．2、(多选)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于y＝2x－1，则点P的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(－1，－3) D．(1，－3)3．函数，且，则（）A．1 B．C．2 D．4、若对恒成立，则曲线在点处的切线方程为（）A． B．C． D．5．已知函数的图象在和处的切线互相垂直，且，则（）A． B． C． D．6．（多选）过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数可能的值是（）A． B． C． D．7．已知函数的导函数为，且满足，则（）A．1 B． C． D．8．甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是（）A．v甲＞v乙 B．v甲＜v乙C．v甲＝v乙 D．大小关系不确定9．设曲线y＝x＋lnx的一条切线过点(0,1)，则此切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.eq\f(e,21＋e) B.eq\f(e,1＋e)C.eq\f(e2,2e2＋1) D.eq\f(e2,e2＋1)10．设函数，其中，则导数的取值范围是（）A．[－2，2] B． C． D．11．（多选）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确是（）A． B．C． D．12．（多选）已知函数在处的导数为，则的解析式可能为（）A． B．C． D．13．（多选题）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“青山点”．下列函数中，有“青山点”的是（）A． B． C． D．14．（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（）A．对任意，B．若，且，则对任意，C．当时，需要作2条切线即可确定的值D．无论在上取任何有理数都有15．曲线在点处的切线与直线垂直，则________.16．已知曲线：，若过曲线外一点引曲线的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数的值为______．17．过点(0，－1)且与曲线y＝x－1＋eq\f(1,ex)相切的直线方程为________．18．已知函数，若，则实数的值为___________.19．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ex－2的切线，也是曲线y＝ex－1的切线，则b＝________.20．经过原点作函数图像的切线，则切线方程为__________．21．（若直线与曲线满足下列两个条件：直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线在点处“切过”曲线：②直线在点处“切过”曲线：③直线在点处“切过”曲线：④直线在点处“切过”曲线：⑤直线在点处“切过”曲线：．2023高考一轮复习讲与练专题13导数的概念及其意义、导数的运算练高考明方向1.(2023·新高考Ⅰ卷T15）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________．答案：分析：设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,2.(2023·新高考Ⅱ卷T14）写出曲线过坐标原点的切线方程：____________，____________．答案：①.②.【解析】分析：分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；【详解】解：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；3.(2023·全国甲（文）T20）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．（1）若，求a；（2）求a的取值范围．答案：（1）3（2）分析：（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.【小问1详解】由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；【小问2详解】，则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：01000则的值域为，故的取值范围为.4.(2023·新高考Ⅰ卷T22）已知函数和有相同最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．答案：（1）（2）见解析【解析】分析：（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当时，的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小问1详解】的定义域为，而，若，则，此时无最小值，故.的定义域为，而.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.因为和有相同的最小值，故，整理得到，其中，设，则，故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为.综上，.【小问2详解】由（1）可得和的最小值为.当时，考虑的解的个数、的解的个数.设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，设，其中，则，故在上为增函数，故，故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，有两个不同的零点即的解的个数为2.当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，当时，由（1）讨论可得、均无零点，故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则.设，其中，故，设，，则，故在上为增函数，故即，所以，所以在上为增函数，而，，故在上有且只有一个零点，且：当时，即即，当时，即即，因此若存在直线与曲线、有三个不同交点，故，此时有两个不同的零点，此时有两个不同的零点，故，，，所以即即，故为方程的解，同理也为方程的解，又可化为即，即，故为方程的解，同理也为方程的解，所以，而，故即.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.5．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数的图像在点处的切线方程为 ()A． B． C． D．答案：B【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即．【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题6．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为 ()A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+答案：D解析：设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．7．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线在点处的切线方程为，则 ()A．B． C． D．答案：D【解析】由，根据导数的几何意义易得，解得，从而得到切点坐标为，将其代入切线方程，得，解得，故选D．【点评】准确求导是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为切点，若为切点，牢记三条：①切点处的导数即为切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。8．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数．讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．答案：函数在和上是单调增函数，证明见解析；证明见解析.【解析】法一：（1）的定义域为.因为，所以在和上是单调递增.因为，，所以在有唯一零点，即．又，，故在有唯一零点．综上，有且仅有两个零点．（2）因为，故点在曲线上．由题设知，即，故直线的斜率．曲线在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线的切线．法二：（1）函数的定义域为，，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；当时，，因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点综上所述，函数的定义域内有2个零点；(2)因为是的一个零点，所以,，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.设曲线的切点为，过切点为切线，，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，当切线的斜率等于直线的斜率时，即，切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.【点评】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.9．(2023年高考全国甲卷理科)曲线在点处的切线方程为__________．答案：解析：由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．10．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)曲线在点处的切线方程为．答案：解析：，所以曲线在点处的切线方程为．11．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)曲线在点处的切线的斜率为，则．答案：解析：记，则依题意有，即，解得．12．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)曲线在点处的切线方程为__________．答案：解析：因为，所以，切线方程为，即．13．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为偶函数,当时,,,则曲线在点处的切线方程是_______________.答案：【解析】当时,,则.又因为是偶函数,所以,所以,则切线斜率为,所以切线方程为,即.14．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．答案：【解析】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为则，所以所以，所以，所以．导数的概念及其意义、导数的运算导数的概念导数的概念及其意义、导数的运算导数的概念导数的几何意义导数公式导数的运算法则复合函数的导数类型一、导数的概念及导数的几何意义基础知识：1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记法记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)2．函数f(x)的导函数：函数f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数．基本题型：1．设为可导函数，且满足，则为（）A．1 B．C．2 D．答案：B分析：利用导数的定义进行求解.【详解】因为，所以，即所以.2．已知函数，且，则的值为（）A． B．2 C． D．答案：D分析：利用导数定义，可求得，代入，即得解【详解】∵，∴，∴，，解得．3．（多选题）已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则（）A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56C．该物体位移的最大值为43D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70答案：ABD分析：结合平均速度、瞬时速度、位移等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】该物体在时的平均速度是，A正确.，B正确.当时，，C错误.，D正确.类型二、导数的几何意义基础知识：导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．基本题型：1、（过某点处切线的方程）若经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为()A．12x－y－16＝0B．3x－y＋2＝0C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0答案：D分析：①易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，y′＝3x2，k＝12，切线方程为12x－y－16＝0.②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3xeq\o\al(2,0).∵点A在曲线上，∴y0＝xeq\o\al(3,0)，∴eq\f(x\o\al(3,0)－8,x0－2)＝3xeq\o\al(2,0)，∴xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0.2．（在某点处切线的方程）(2023全国卷Ⅰ)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A． B． C． D．答案：D【解析】法一：因为函数为奇函数，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．法二：因为函数为奇函数，所以，所以，解得，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．法三：易知，因为为奇函数，所以函数为偶函数，所以，解得，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．3、（求参数的值）已知函数f(x)＝msinx＋b在x＝eq\f(π,6)处的切线方程为y＝eq\f(\r(3),2)x－eq\f(\r(3),12)π＋1，则实数b的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．1 D.eq\r(3)答案：A分析：由题意，函数f(x)＝msinx＋b，则f′(x)＝mcosx，可得f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝mcoseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)m，即切线的斜率k＝eq\f(\r(3),2)m，所以eq\f(\r(3),2)m＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝1，所以f(x)＝sinx＋b，当x＝eq\f(π,6)时，y＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(π,6)－eq\f(\r(3),12)π＋1＝1，即切点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))，代入函数f(x)＝sinx＋b，可得sineq\f(π,6)＋b＝1，解得b＝eq\f(1,2).4．（求参数的范围）已知函数，过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（）A． B． C． D．答案：D分析：先设切点坐标，用导数求出切线斜率，再用斜率公式求出切线斜率，两者相等，得到含m的方程，因为过点可作曲线的三条切线，所以前面所求方程有3解，再借助导数判断何时方程有3解即可．【详解】设切点坐标，∵，∴，∴曲线在处的切线斜率为，又∵切线过点，∴切线斜率为，∴

即

①，∵过点可作曲线的三条切线，∴方程①有3解．

令，则图象与x轴有3个交点，∴的极大值与极小值异号

，令，得或1，∴，即（m＋3）（m＋2）＜0，

解得−3＜m＜−2.

【点睛】（1准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将切线的条数转化为函数的零点个数，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．（2）当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.5．（切线的倾斜角）设点P是曲线y＝x3－x＋9上的任意一点，曲线在P点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是()A．B． C． D．答案：C分析：对函数求导得y′＝3x2－≥－，即tanα≥－，结合正切函数的性质得α∈[0，)∪[，π).【详解】因为y′＝3x2－≥－，所以tanα≥－，又α∈，所以α∈[0，)∪[，π)．6．（切线的斜率）偶函数的图象在处的切线斜率为A．2e B．e C． D．答案：A分析：先通过偶函数的性质求出的值，然后对函数求导，即可求出的值，即为图像在处的切线斜率．【详解】由于函数为偶函数，则，即，解得，故，则，则，故函数的图像在处的切线斜率为.7、（求切点坐标）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为．答案：【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是．8．（求参数的值）已知直线l：y＝x＋b为曲线f(x)＝ex的切线，若直线l与曲线g(x)＝－eq\f(1,2)x2＋mx－eq\f(7,2)也相切，则实数m的值为________．答案：4或－2分析：设直线l：y＝x＋b与曲线f(x)＝ex相切于点(x0，ex0)，由f′(x0)＝ex0＝1，得x0＝0，所以切点坐标为(0,1)，所以直线l的方程为y＝x＋1.又由直线l与曲线g(x)相切，联立方程，消去y得－eq\f(1,2)x2＋mx－eq\f(7,2)＝x＋1，化简得x2－2(m－1)x＋9＝0，所以Δ＝4(m－1)2－4×9＝0，解得m＝4或m＝－2.基本方法：1、函数y＝f(x)在点A(x0，f(x0))处的切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，一定要抓住关键eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝fx0，,k＝f′x0.))2、过点的切线方程的求解方法：设切点为P(x0，y0)，则斜率k＝f′(x0)，过切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，又因为切线方程过点A(m，n)，所以n－y0＝f′(x0)(m－x0)，然后解出x0的值．(x0有几个值，就有几条切线)3、求切点坐标的思路：已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．4、求参数问题的方法：通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出关于参数的方程(组)并解出参数，注意以下几点：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上．类型三、导数的运算基础知识：1．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝eq\a\vs4\al(0)f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))eq\a\vs4\al(′,)＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；(4)[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)．基本题型：1．（多选）下列函数求导正确的是（）A． B．C． D．答案：AB分析：根据求导的基本公式、四则运算法则及复合函数求导法则，逐一计算，即可得答案.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：令，则=，故C错误；对于D：，故D错误.2．(多选)下列结论中正确的是()A．若y＝coseq\f(1,x)，则y′＝eq\f(1,x2)sineq\f(1,x)B．若y＝lneq\r(1＋2x)，则y′＝eq\f(1,1＋2x)C．若y＝eq\f(1,tanx)，则y′＝eq\f(1,cos2x)D．若y＝x2022＋log2x，则y′＝2022x2021＋eq\f(1,xln2)答案：ABD【解析】对于A，y′＝－sineq\f(1,x)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2)sineq\f(1,x)，A正确；对于B，y′＝eq\f(1,2)·eq\f(1,1＋2x)·(1＋2x)′＝eq\f(1,1＋2x)，B正确；对于C，y＝eq\f(1,tanx)＝eq\f(cosx,sinx)，y′＝eq\f(－sinx·sinx－cosx·cosx,sin2x)＝－eq\f(1,sin2x)，C错误；对于D，y′＝2022x2021＋eq\f(1,xln2)，D正确．3．（多选）设函数，则下列说法正确的是（）A．B．C．在处的切线方程为D．答案：BC分析：利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，对四个选项一一求导，即可验证.【详解】对于A：因为，所以，所以，故A错误；对于B：因为，所以，所以，故B正确；对于C：因为，所以，所以.而，所以在处的切线方程为，故C正确；对于D：.故D错误.基本方法：1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．2．常见形式及具体求导的几种方法连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式：先化为和、差形式，再求导类型三、复合函数的导数基础知识：1、一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成eq\a\vs4\al(x)的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))2、复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．基本题型：1．设，，，…，，，则（）A． B．C． D．答案：A分析：分别计算，，，，得出规律，进而可得结果.【详解】∵，∴，，，，通过以上过程可以看出满足以下规律：对任意，，故，2．已知函数，其导函数记为，则（）A．2 B． C．3 D．答案：A分析：函数，分析其性质可求的值，再求并讨论其性质即可作答.【详解】由已知得，则，显然为偶函数.令，显然为奇函数.又为偶函数，所以，，所以.3．求下列函数的导数．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.分析：对于（1）直接求导，对于（2）（4），直接利用导数的除法法则求导，（3）（5）（6）利用导数乘法法则求导.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.基本方法：复合函数的求导：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元。类型四、解析式中含有导数值的函数基础知识：对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．注意：f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.基本题型：1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝eq\f(1,x)＋3xf′(1)，则f′(2)的值为()A.eq\f(5,4) B．1C.eq\f(1,4) D．－2答案：A【解析】因为f(x)＝eq\f(1,x)＋3xf′(1)，所以f′(x)＝－eq\f(1,x2)＋3f′(1)，令x＝1代入f′(x)得，f′(1)＝eq\f(1,2)，所以f′(x)＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(3,2)，f′(2)＝－eq\f(1,4)＋eq\f(3,2)＝eq\f(5,4).2．已知函数，，则满足的的值为______．答案：分析：对分别求导，结合题设方程得，即可求的值.【详解】∵，∴，又，，∴，解得，又，故．3．已知函数的导函数，若，则________.答案：分析：根据导数运算法则可求得，代入即可构造方程求得结果.【详解】，，解得：.新预测破高考1．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．答案：A分析：利用导数的几何意义求解即可.【详解】设切点为，，由题知：，所以，解得：或（舍去）.2、(多选)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于y＝2x－1，则点P的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(－1，－3) D．(1，－3)答案：AB【解析】因为f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，故3x2－1＝2⇒x＝1或－1，所以P(1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选A、B.3．函数，且，则（）A．1 B．C．2 D．答案：A分析：首先根据导数的四则运算和简单复合函数的导数运算，求出函数的导函数，再根据，代入求值即可.【详解】，，即，解得：或，∵，∴，4、若对恒成立，则曲线在点处的切线方程为（）A． B．C． D．答案：B【解析】……①，……②，联立①②，解得，则，，，切线方程为：，即.5．已知函数的图象在和处的切线互相垂直，且，则（）A． B． C． D．答案：A分析：求得，由结合条件可求得的值.【详解】，，由题意可得，化简得，，.6．（多选）过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数可能的值是（）A． B． C． D．答案：BCD分析：设切点坐标为，利用导数的几何意义求切线方程，代入点后，转化为关于的一元二次方程，由条件可知方程有两个不等实数根，求的取值范围.【详解】设切点坐标为，因为，所以，所以切线方程为，将点代入可得，化简得，过点作曲线的切线有且仅有两条，即方程有两个不同的解，则，解得或，故实数的取值范围是.，所以由选项判断可知正确.7．已知函数的导函数为，且满足，则（）A．1 B． C． D．答案：C分析：求导可得，令，得，化简即可得解.【详解】由，得.令，得，解得.8．甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是（）A．v甲＞v乙 B．v甲＜v乙C．v甲＝v乙 D．大小关系不确定答案：B分析：利用平均变化率的几何意义即可得出选项.【详解】设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．9．设曲线y＝x＋lnx的一条切线过点(0,1)，则此切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.eq\f(e,21＋e) B.eq\f(e,1＋e)C.eq\f(e2,2e2＋1) D.eq\f(e2,e2＋1)答案：C【解析】设切点为(x0，y0)，y′＝1＋eq\f(1,x)，切线方程为y－x0－lnx0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x0)))(x－x0)，切线过点(0,1)，∴1－x0－lnx0＝－x0－1，∴lnx0＝2，x0＝e2，∴切线方程为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,e2)))x＋1，故可得切线在x，y轴上的截距为－eq\f(e2,e2＋1)，1.故三角形的面积为eq\f(e2,2e2＋1).10．设函数，其中，则导数的取值范围是（）A．[－2，2] B． C． D．答案：D分析：对函数求导得，进而得到，求三角函数的值域，即可得到答案；【详解】，，，。11．（多选）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确是（）A． B．C． D．答案：AB分析：根据导数的几何意义可对比切线斜率得到，将看作过和的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.【详解】由图象可知，在x=2处的切线斜率大于在x=3处的切线斜率，且斜率为正，，，可看作过和的割线的斜率，由图象可知，。12．（多选）已知函数在处的导数为，则的解析式可能为（）A． B．C． D．答案：AD分析：依次求出每个选项中对应函数的导数即可判断.【详解】对于A，，，故A满足题意对于B，，，故B不满足题意对于C，，，故C不满足题意对于D，，，故D满足题意.13．（多选题）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“青山点”．下列函数中，有“青山点”的是（）A． B． C． D．答案：ACD分析：根据青山点的定义逐个分析判断即可【详解】对于A，由，得，由，得或，所以函数有青山点，所以A正确，对于B，由，得，由，方程无解，所以函数不存在青山点，所以B错误，对于C，由，得（），由于和的图像有交点，所以方程有解，所以函数有青山点，所以C正确，对于D，由，得，由，得，所以有青山点，所以D正确，14．（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（）A．对任意，B．若，且，则对任意，C．当时，需要作2条切线即可确定的值D．无论在上取任何有理数都有答案：BCD分析：利用特殊情况判断选项A；求出曲线在处的切线方程与轴的交点横坐标，即