2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.1数列的概念(精讲)(原卷版+解析)

4.1数列的概念（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析重点题型一：数列的概念及分类重点题型二：根据数列的前几项求通项公式重点题型三：数列中具体某项的求解与判断重点题型四：利用递推关系求数列的通项公式类型五：数列的单调性的判断及其应用类型六：求数列中的最大(小)项类型七：与周期有关的数列问题类型八：根据数列的前项和求第五部分：新定义问题第六部分：高考（模拟）题体验第一部分：思维导图总览全局第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆第二部分：知识点精准记忆知识点一：数列的概念1、数列的概念一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项.数列的一般形式是,,…,,…,简记为.2、数列与函数的关系由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系：所以数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为.也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列.另一方面，对于函数，如果（）有意义，那么，，…，，…构成了一个数列.知识点二:数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列其中递减数列常数列知识点三：数列的通项公式如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.知识点四：数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知识点五：数列的性质1、数列的单调性若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）；①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项；②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项；2、数列的周期性一般地，若数列满足存在正整数使得对一切正整数都成立，则称数列为周期数列，叫做数列的周期.知识点六：数列的前项和1、数列前项和的概念我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即2、数列前项和与通项的关系当时，当时，用化简得：所以：第三部分：课前自我评估测试第三部分：课前自我评估测试1．(2023·福建·莆田一中高二期末）已知数列的通项公式为，则这个数列第5项是（

）A．9 B．17 C．33 D．652．(2023·山东东营·高二期末）已知数列，则是这个数列的（

）A．第1011项 B．第1012项 C．第1013项 D．第1014项3．(多选）(2023·全国·高二课时练习）数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（

）A．， B．，，C．， D．，，5．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，则的最小值为______，此时n=______．4．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和是，且，求的通项公式．第四部分：典型例题剖析第四部分：典型例题剖析重点题型一：数列的概念及分类典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列，，与数列，，是同一个数列C．数列1，3，5，7可表示为D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列例题2．(2023·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）下列四个选项中，不正确的是（

）A．数列的图象是一群孤立的点B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列C．数列，，，，…的一个通项公式是D．数列，，…，是递减数列同类题型归类练1．(2023·全国·高二课时练习）下列叙述正确的是（

）A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n}C．数列0，1，0，1，…是常数列D．数列是递增数列重点题型二：根据数列的前几项求通项公式典型例题例题1．(2023·陕西西安·高二期中（文））由数列1，10，100，1000，…，猜想数列的第项可能是______.例题2．（2023·甘肃·兰州市第三十三中学高二阶段练习（文））已知，，，，则数列的一个通项公式为（

）A． B． C． D．同类题型归类练1．(2023·山东烟台·高二期末）数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高二课时练习）1.观察下列各式：…………请写出第4个、第5个等式，并归纳出第个等式．重点题型三：数列中具体某项的求解与判断典型例题例题1．(2023·天津河北·高二期末）已知数列的通项公式，则数列的前5项为______.例题2．(2023·四川省峨眉第二中学校高一阶段练习（理））已知数列中，，，.(1)求；(2)判断66是不是该数列中的项?若是，是第几项?同类题型归类练1．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列{an}的通项公式为an＝，那么5是否为该数列中的项？如果是，是第几项？2．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式是，那么56是这个数列中的项吗？如果是，那么是第几项？3．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为.（1）求这个数列的第10项；（2）是不是该数列中的项？为什么？重点题型四：利用递推关系求数列的通项公式典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，则数列的通项公式___________.例题2．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，则通项公式=_____.同类题型归类练1．(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习（文））已知数列中，，时，，依次计算后猜想______.类型五：数列的单调性的判断及其应用典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式是，则（

）A．不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列例题2．(2023·北京西城·高二期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（

）A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．例题3．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为.(1)0.98是不是数列中的项？(2)判断此数列的单调性.同类题型归类练1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，对于任意，恒成立，则实数的取值范围是______．2．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式.(1)写出该数列的前5项；(2)判断并证明该数列的单调性．类型六：求数列中的最大(小)项典型例题例题1．(2023·广东潮州·高二期末）已知数列的通项公式为，则该数列中的数值最大的项是第___________项.例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知数列中，，试求中的最大项.例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式是．(1)写出这个数列的前5项，并作出它的图象；(2)这个数列中有没有最小的项？同类题型归类练1．(2023·全国·高二课时练习）若数列的通项公式为，则数列的最小项的值是_______．2．(2023·全国·高二课时练习）已知，求数列的最小值.3．(2023·浙江·高三专题练习）已知数列满足，（1）数列中有哪些项是负数？（2）当为何值时，取得最小值？并求出此最小值．类型七：与周期有关的数列问题典型例题例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，，则（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4例题2．(2023·北京大兴·高二期末）已知数列满足，，则等于（

）A．1 B．2C．4 D．－4例题3．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，，则的值为__________.同类题型归类练1．(2023·全国·高二课时练习）若数列满足，，（且），则（

）A． B．2 C． D．2．(2023·全国·高二期中）数列中，，当时，等于的个位数字，则（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，数列满足，则___________.类型八：根据数列的前项和求典型例题例题1．(2023·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）设为数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；例题2．(2023·四川·攀枝花市第三高级中学校高一阶段练习（理））设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．(1)求的值；(2)求数列的通项公式．例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求的通项公式．同类题型归类练1．(2023·青海西宁·二模（文））数列满足，则______．2．(2023·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）已知数列的前项和为，若.(1)求，，；(2)求数列的通项公式3．(2023·全国·高二课时练习）已知数列满足，求数列的通项公式；第五部分：新定义问题第五部分：新定义问题1．(2023·北京市第十二中学高二阶段练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（

）A．2696 B．2697 C．2698 D．27002．(2023·全国·高三专题练习）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，，．设．若且，则，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之差为（

）A．5 B． C．0 D．103．(2023·北京·高三专题练习）德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（

）A．4 B．6 C．32 D．1284．(2023·浙江绍兴·模拟预测）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是，则第11项和第12项之和是__________．第六部分：高考（模拟）题体验第六部分：高考（模拟）题体验1．(2023·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（

）A． B． C． D．2．(2023·河南·模拟预测（文））设数列满足且，则（

）A． B． C． D．33．(2023·北京·北大附中三模）已知数列满足，其中，则数列（

）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项4．(2023·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知数列满足：①先单调递减后单调递增：②当时取得最小值．写出一个满足条件的数列的通项公式_________．5．(2023·上海静安·二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.4.1数列的概念（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析重点题型一：数列的概念及分类重点题型二：根据数列的前几项求通项公式重点题型三：数列中具体某项的求解与判断重点题型四：利用递推关系求数列的通项公式类型五：数列的单调性的判断及其应用类型六：求数列中的最大(小)项类型七：与周期有关的数列问题类型八：根据数列的前项和求第五部分：新定义问题第六部分：高考（模拟）题体验第一部分：思维导图总览全局第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆第二部分：知识点精准记忆知识点一：数列的概念1、数列的概念一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项.数列的一般形式是,,…,,…,简记为.2、数列与函数的关系由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系：所以数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为.也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列.另一方面，对于函数，如果（）有意义，那么，，…，，…构成了一个数列.知识点二:数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列其中递减数列常数列知识点三：数列的通项公式如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.知识点四：数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知识点五：数列的性质1、数列的单调性若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）；①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项；②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项；2、数列的周期性一般地，若数列满足存在正整数使得对一切正整数都成立，则称数列为周期数列，叫做数列的周期.知识点六：数列的前项和1、数列前项和的概念我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即2、数列前项和与通项的关系当时，当时，用化简得：所以：第三部分：课前自我评估测试第三部分：课前自我评估测试1．(2023·福建·莆田一中高二期末）已知数列的通项公式为，则这个数列第5项是（

）A．9 B．17 C．33 D．65答案：C【详解】.故选：C.2．(2023·山东东营·高二期末）已知数列，则是这个数列的（

）A．第1011项 B．第1012项 C．第1013项 D．第1014项答案：B【详解】解：由数列，可得，令，解得，所以是这个数列的第1012项.故选：B.3．(多选）(2023·全国·高二课时练习）数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是（

）A．， B．，，C．， D．，，答案：B【详解】设数列1，3，6，10，15，…为，则，，，，…，n=1时，A、D不合题意；而中不包含，由此可得数列满足.故选：B．5．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，则的最小值为______，此时n=______．答案：

－2

2或3【详解】因为，所以当或时，取得最小值，为．故答案为：；2或3．4．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和是，且，求的通项公式．答案：.【详解】当时，；当时，，显然满足上式，∴；第四部分：典型例题剖析第四部分：典型例题剖析重点题型一：数列的概念及分类典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列，，与数列，，是同一个数列C．数列1，3，5，7可表示为D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列答案：D【详解】例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误；数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确.故选：D.例题2．(2023·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）下列四个选项中，不正确的是（

）A．数列的图象是一群孤立的点B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列C．数列，，，，…的一个通项公式是D．数列，，…，是递减数列答案：B【详解】因为数列是一类特殊的函数，其自变量,故数列的图象是一群孤立的点，A正确；数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B错误；观察数列，，，，…的前四项规律，可知一个通项公式是，C正确；数列，，…，的每项是越来越小，故数列是递减数列，D正确，故选：B同类题型归类练1．(2023·全国·高二课时练习）下列叙述正确的是（

）A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n}C．数列0，1，0，1，…是常数列D．数列是递增数列答案：D【详解】A由数列的概念可知数列1，3，5，7与7，5，3，1是不同的数列，故A错误；B因为首项是0，所以不能表示为{n}，故B错误；C根据常数列的概念可知数列0，1，0，1，…不是常数列，故C错误；D由数列的通项an＝知，an＋1－an＝－＝>0，即数列{}是递增数列，故D正确；故选：D．重点题型二：根据数列的前几项求通项公式典型例题例题1．(2023·陕西西安·高二期中（文））由数列1，10，100，1000，…，猜想数列的第项可能是______.答案：【详解】，则猜想数列的第n项可能是故答案为：例题2．（2023·甘肃·兰州市第三十三中学高二阶段练习（文））已知，，，，则数列的一个通项公式为（

）A． B． C． D．答案：B【详解】解：，，，，则，故选：．同类题型归类练1．(2023·山东烟台·高二期末）数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（

）A． B．C． D．答案：D【详解】A.当时，，不符；B.当时，，不符；C.当时，，不符；D.当时，，当时，，符合.故选：D.2．（2023·全国·高二课时练习）1.观察下列各式：…………请写出第4个、第5个等式，并归纳出第个等式．答案：第4个等式：；第5个等式：；第个等式：.【详解】解：由题可知，，，，则第4个等式为：，第5个等式为：，所以第个等式为：.重点题型三：数列中具体某项的求解与判断典型例题例题1．(2023·天津河北·高二期末）已知数列的通项公式，则数列的前5项为______.答案：【详解】因为，所以数列的前5项为.故答案为：例题2．(2023·四川省峨眉第二中学校高一阶段练习（理））已知数列中，，，.(1)求；(2)判断66是不是该数列中的项?若是，是第几项?答案：(1)(2)是，第12项(3)当或4时，有最小值，最小值为(1)由题可知，，解之得p=7，q=6．可得，所以.(2)设数列的第n项为66，则，即，解之得n=12或－5（舍去），所以66是数列的第12项．同类题型归类练1．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列{an}的通项公式为an＝，那么5是否为该数列中的项？如果是，是第几项？答案：是，第7项.【详解】由，可得n＝7，则5是该数列中的第7项.2．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式是，那么56是这个数列中的项吗？如果是，那么是第几项？答案：6【详解】由题意，可令，即，解得，或（舍去），故56是这个数列中的第6项.3．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为.（1）求这个数列的第10项；（2）是不是该数列中的项？为什么？答案：（1）；（2）不是，理由见解析；【详解】.（1）令，得第10项.（2）令，得.此方程无正整数解，∴不是该数列中的项.重点题型四：利用递推关系求数列的通项公式典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，则数列的通项公式___________.答案：【详解】因为，，所以，所以当时，，所以（）当，满足上式，所以.故答案为：例题2．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，则通项公式=_____.答案：2+lnn【详解】解析：∵an+1=an+ln，∴a2-a1=ln=ln2，a3-a2=ln=ln，a4-a3=ln=ln，……an-an-1=ln=ln.以上(n-1)个等式相加，得an-a1=ln2+ln+…+ln=lnn.∵a1=2，∴an=2+lnn.∵a1=2+ln1=2，∴{an}的通项公式为2+lnn.答案：2+lnn.同类题型归类练1．(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习（文））已知数列中，，时，，依次计算后猜想______.答案：【详解】因为，，所以，，，所以猜想.故答案为：.类型五：数列的单调性的判断及其应用典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式是，则（

）A．不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列答案：C【详解】因为，所以是递增数列.故选：C.例题2．(2023·北京西城·高二期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（

）A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．答案：D【详解】因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，所以对于都成立，所以对于都成立，即，所以对于都成立，所以对于都成立，所以，即的取值范围是，故选：D例题3．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为.(1)0.98是不是数列中的项？(2)判断此数列的单调性.答案：(1)是.(2)数列是递增数列.(1)若0.98是数列中的项，则存在正整数n，满足.化简，得，解得或（舍去）.所以0.98是数列中的项.(2)因为，所以数列是递增数列.同类题型归类练1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，对于任意，恒成立，则实数的取值范围是______．答案：【详解】当时，恒成立，当时，，不合题意；当时，，，解得：；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.2．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式.(1)写出该数列的前5项；(2)判断并证明该数列的单调性．答案：(1)前5项分别是1，，，，.(2)单调递减数列，证明见解析(1)解：因为，所以，，，，，所以前5项分别是1，，，，.(2)解：数列是单调递减数列．因为，所以，从而数列是单调递减数列．类型六：求数列中的最大(小)项典型例题例题1．(2023·广东潮州·高二期末）已知数列的通项公式为，则该数列中的数值最大的项是第___________项.答案：5【详解】因为,所以,由于,所以当时,最大,此时故答案为：5例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知数列中，，试求中的最大项.答案：时，最大项为129【详解】由题,对于,当时取得最大值,由于,故取不到,,当时,；当时,故当时,取得中的最大项为例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式是．(1)写出这个数列的前5项，并作出它的图象；(2)这个数列中有没有最小的项？答案：(1)，，，，，图象如下：(2)有，为最小项.(1)，，，，，图象如下：(2)，当时，取得最小值，为最小项同类题型归类练1．(2023·全国·高二课时练习）若数列的通项公式为，则数列的最小项的值是_______．答案：【详解】由题意，数列的通项公式为，因为，当时，；当时，，结合二次函数的性质，可得数列的最小项的值是.故答案为：.2．(2023·全国·高二课时练习）已知，求数列的最小值.答案：4【详解】因为二次函数的对称轴为，故在上，为增函数，而，故当时，为递增数列，故当时，的最小值为.3．(2023·浙江·高三专题练习）已知数列满足，（1）数列中有哪些项是负数？（2）当为何值时，取得最小值？并求出此最小值．答案：（1）数列中第1，2，3，4，5项为负数，即，，，，；（2）当，3时取得最小值，最小值为．【详解】解：（1），解得，，数列中第1，2，3，4，5项为负数，即，，，，，（2），当，3时取得最小值，最小值为．类型七：与周期有关的数列问题典型例题例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，，则（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4答案：D【详解】因为，，，所以，则，，，…，所以数列是以3为周期的数列，则.故选：D.例题2．(2023·北京大兴·高二期末）已知数列满足，，则等于（

）A．1 B．2C．4 D．－4答案：A【详解】因为，，所以，，……，所以数列是以为周期的周期数列，又所以.故选：A.例题3．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，，则的值为__________.答案：【详解】依题意，，所以，，，所以数列是周期为的数列，所以.故答案为：同类题型归类练1．(2023·全国·高二课时练习）若数列满足，，（且），则（

）A． B．2 C． D．答案：A【详解】因为，，（且），所以，，，，，，所以的周期，所以.故选：A.2．(2023·全国·高二期中）数列中，，当时，等于的个位数字，则（

）A． B． C． D．答案：C【详解】由题意可得，数列中项分别为：故可知数列是周期为的周期数列，.故选：C3．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，数列满足，则___________.答案：2【详解】因为，所以，因为，所以，因此，，所以该数列的周期为3，，故答案为：2类型八：根据数列的前项和求典型例题例题1．(2023·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）设为数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；答案：(1)（1）当时，，当时，，，两式相减可得：，检验：当时，，成立，可得数列的通项公式：.例题2．(2023·四川·攀枝花市第三高级中学校高一阶段练习（理））设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．(1)求的值；(2)求数列的通项公式．答案：(1)；(2).（1）由，得，即，解得：(舍或.（2）由，得，即或（舍）当时，．当时，．验证时上式成立，．例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求的通项公式．答案：.【详解】对任意的，，当时，则，当时，由，可得，上述两个等式作差可得，，满足，因此，对任意的，.同类题型归类练1．(2023·青海西宁·二模（文））数列满足，则______．答案：【详解】因为，当时，，当时，，两式相减可得，即当时，也成立，综上可知，故答案为：2．(2023·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）已知数列的前项和为，若.(1)求，，；(2)求数列的通项公式答案：(1)，，；(2)(1)；，∴；，∴；(2)当时，，当时，，不满足上式，∴.3．(2023·全国·高二课时练习）已知数列满足，求数列的通项公式；答案：【详解】解：因为①所以当时，，可得；当时，，②①-②得，所以，当时也满足上式，所以的通项公式为.第五部分：新定义问题第五部分：新定义问题1．(2023·北京市第十二中学高二阶段练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（

）A．2696 B．2697 C．2698 D．2700答案：A【详解】解：由题意得：数列为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…所以该数列的周期为6，所以，，，故选：A2．(2023·全国·高三专题练习）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，，．设．