高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.2同角三角函数的基本关系与诱导公式(知识点讲解)(原卷版+解析)

专题5.2同角三角函数的基本关系与诱导公式（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）同角三角函数1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2.三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=sinαcosα;形如asin(2)“1”的灵活代换法:等.(3)和积转换法:利用的关系进行变形、转化.（二）诱导公式六组诱导公式角函数2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α对于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”【常考题型剖析】题型一：同角三角函数的基本关系式例1.(2023·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例2．（2023·湖南·高考真题）已知，且为第四象限角，则____________例3.（2023·金华市江南中学高一月考）已知=2，则tanx=____，sinxcosx=____.例4.（2023·江苏·高一课时练习）已知tanα＝2，求sinα和cosα的值．【规律方法】1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法”(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意等；(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．2.利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．（1）若已知tanα＝m，求形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)(或eq\f(asin2α＋bcos2α,csin2α＋dcos2α))的值，其方法是将分子、分母同除以cosα(或cos2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和cosα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．（2）形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代换，分子、分母同除以cos2α再求解．题型二：sinαcosα与sinαcosα的关系及应用例5.(2023·浙江温州·高二期末）已知，，则（

）A． B． C． D．例6.(2023·辽宁沈阳·高一期中）已知，且函数．(1)化简；(2)若，求和的值．【总结提升】(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.题型三：诱导公式及其应用例7．（2008·天津·高考真题（文））设，，，则（）A． B． C． D．例8．(2023·安徽·高考真题（理））设函数满足当时，，则（）A． B． C．0 D．例9．（2007·天津·高考真题（文））“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例10.（2023·永州市第四中学高一月考）已知是第四象限角，.（1）化简.（2）若，求的值.【总结提升】1.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π62.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.题型四：同角公式、诱导公式的综合应用例11.（2023·内蒙古·海拉尔第二中学高三月考（理））已知，则＝（）A．-7 B． C． D．5例12.（2023·江苏·高考真题）已知，且，则的值是_________.例13.(2023·全国·高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）=___________.例14．(2023·河北·沧县中学高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，记的终边与单位圆的交点为Q．(1)若，，求角的值；(2)若，求tan的值．【规律方法】1.明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．4证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．专题5.2同角三角函数的基本关系与诱导公式（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）同角三角函数1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2.三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=sinαcosα;形如asin(2)“1”的灵活代换法:等.(3)和积转换法:利用的关系进行变形、转化.（二）诱导公式六组诱导公式角函数2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α对于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”【常考题型剖析】题型一：同角三角函数的基本关系式例1.(2023·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A【解析】分析：由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.例2．（2023·湖南·高考真题）已知，且为第四象限角，则____________答案：分析：首先求的值，再求.【详解】，且为第四象限角，，.故答案为：例3.（2023·金华市江南中学高一月考）已知=2，则tanx=____，sinxcosx=____.答案：3【解析】分析：将=2左端分子分母同除以，得，解得，.故答案为：；例4.（2023·江苏·高一课时练习）已知tanα＝2，求sinα和cosα的值．答案：当α是第一象限角，则cosα＝，sinα＝；当α是第三象限角，则cosα＝－，sinα＝－.分析：利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】解由＝tanα＝2，可得sinα＝2cosα.又sin2α＋cos2α＝1，故(2cosα)2＋cos2α＝1，解得cos2α＝.又由tanα＝2>0，知α是第一或第三象限角．当α是第一象限角，则cosα＝，sinα＝；当α是第三象限角，则cosα＝－，sinα＝－.【规律方法】1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法”(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意等；(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．2.利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．（1）若已知tanα＝m，求形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)(或eq\f(asin2α＋bcos2α,csin2α＋dcos2α))的值，其方法是将分子、分母同除以cosα(或cos2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和cosα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．（2）形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代换，分子、分母同除以cos2α再求解．题型二：sinαcosα与sinαcosα的关系及应用例5.(2023·浙江温州·高二期末）已知，，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.【详解】，，，，，，所以.故选：C例6.(2023·辽宁沈阳·高一期中）已知，且函数．(1)化简；(2)若，求和的值．答案：(1)(2)，【解析】分析：（1）利用三角函数恒等变换公式直接化简即可，（2）对平方可求出，再由可得，然后求出，从而可求得的值(1)．(2)由，平方可得，即．∴．又，∴，，∴，∵，∴．【总结提升】(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.题型三：诱导公式及其应用例7．（2008·天津·高考真题（文））设，，，则（）A． B． C． D．答案：D【解析】【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以,故选D.例8．(2023·安徽·高考真题（理））设函数满足当时，，则（）A． B． C．0 D．答案：A【解析】【详解】试题分析：由题意，，故选A.例9．（2007·天津·高考真题（文））“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A【解析】分析：【详解】由已知，充分性成立；由不能得出，如也满足．故选：A.例10.（2023·永州市第四中学高一月考）已知是第四象限角，.（1）化简.（2）若，求的值.答案：（1）；（2）【解析】（1）．．（2）因为，所以．因为是第四象限角，所以，所以．【总结提升】1.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π62.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.题型四：同角公式、诱导公式的综合应用例11.（2023·内蒙古·海拉尔第二中学高三月考（理））已知，则＝（）A．-7 B． C． D．5答案：D分析：先通过诱导公式对等式进行化简，进而弦化切求出正切值，然后对所求式子进行弦化切，最后得到答案.【详解】由题意，，则.故选：D.例12.（2023·江苏·高考真题）已知，且，则的值是_________.答案：分析：先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.【详解】，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.例13.(2023·全国·高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）=___________.答案：【解析】分析：由题求得θ的范围，结合已知求得cos（θ），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ）的值．【详解】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ），∴cos（θ）．∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）．则tan（θ）＝﹣