高考数学一轮复习考点探究与题型突破第03讲相等关系与不等关系(原卷版+解析)

相等关系与不等关系1．实数大小与运算性质之间的关系a－b>0⇔；a－b＝0⇔；a－b<0⇔．2．等式的性质(1)对称性：若a＝b，则．(2)传递性：若a＝b，b＝c，则．(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝．(4)可乘性：若a＝b，则；若a＝b，c＝d，则．3.不等式的性质性质性质内容注意对称性a>b⇔；a<b⇔可逆传递性a>b，b>c⇒；a<b，b<c⇒同向可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆可乘性a>b，c>0⇒；a>b，c<0⇒c的符号同向可加性a>b，c>d⇒同向同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒同向，同正可乘方性a>b>0，n∈N*⇒同正可开方性a>b>0，n∈N，n≥2⇒同正考点1比较大小[名师点睛]比较两个数(式)大小的方法[典例]1.(2023·湖南·高三周练）若，比较与的大小．2.（2023·江苏·高三专题复习）设x，y为正数，比较与的大小.[举一反三]1．(2023·重庆·模拟预测）若，则（

）A． B．C． D．2.(2023·重庆市育才中学模拟预测）（多选）若a＞b＞0＞c，则(

)A． B． C． D．3.比较与的大小．4．已知：、，且，比较的大小.5．（2023·全国·高三专题练习（文））已知，比较与的大小考点2不等式的性质[名师点睛](1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．[典例](1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A．若eq\f(a,b)＞1，则a＞bB．若eq\f(a,c)＞eq\f(b,c)，则a＞bC．若a3＞b3且ab＜0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)D．若a2＞b2且ab＞0，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)(2)(多选)下列命题为真命题的是()A．若a>b>0，则ac2>bc2B．若a<b<0，则a2>ab>b2C．若a>b>0且c<0，则eq\f(c,a2)>eq\f(c,b2)D．若a>b且eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则ab<0[举一反三]1．（2023·辽宁·东北育才学校一模）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（

）A．< B．a2>b2C．> D．a|c|>b|c|2．(2023·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．3．（多选）（2023·福建三明·模拟预测）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（

）A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bdC．若ab>0，bc-ad>0，则 D．若a>b，c>d>0，则4．（多选）（2023·山东潍坊·模拟预测）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．5.设a>b>0，m>0，n>0，则eq\f(b,a)，eq\f(a,b)，eq\f(b＋m,a＋m)，eq\f(a＋n,b＋n)由小到大的顺序是____________________．考点3不等式性质的应用[名师点睛]利用待定系数法求代数式的取值范围已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范围．(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．[典例]已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．[举一反三]1．若6<a<10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()A．[9，18] B．(15，30)C．[9，30] D．(9，30)2.（多选）(2023·山东·模拟预测）已知实数x，y满足则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为3.(2023·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数、满足，，则的取值范围为______．4．[2021·东北三省四市联考]已知角α，β满足－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，0<α＋β<π，求3α－β的取值范围．相等关系与不等关系1．实数大小与运算性质之间的关系a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．2．等式的性质(1)对称性：若a＝b，则b＝a．(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c．(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c．(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd．3.不等式的性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a；a<b⇔b>a可逆传递性a>b，b>c⇒a>c；a<b，b<c⇒a<c同向可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆可乘性a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bcc的符号同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向，同正可乘方性a>b>0，n∈N*⇒an>bn同正可开方性a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)同正考点1比较大小[名师点睛]比较两个数(式)大小的方法[典例]1.(2023·湖南·高三周练）若，比较与的大小．【解】-=,因为，故，，，故，即.2.（2023·江苏·高三专题复习）设x，y为正数，比较与的大小.【解】因为为整数，则且，由，当且仅当时，等号成立，所以，所以.[举一反三]1．(2023·重庆·模拟预测）若，则（

）A． B．C． D．答案：A【解析】∵，，∴又，∴∴，又∴综上：故选：A2.(2023·重庆市育才中学模拟预测）（多选）若a＞b＞0＞c，则(

)A． B． C． D．答案：ABD【解析】A：，∵，，，，故A正确；B：，∵，∴，，故B正确；C：时，在单调递减，∵，故C错误；D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等号取不到，故，故D正确.故选：ABD.3.比较与的大小．【解】,<.4．已知：、，且，比较的大小.【解】∵、，∴，作商：

（*）(1)若a>b>0，则，a-b>0，，此时成立；(2)若b>a>0，则，a-b<0，，此时成立.综上，总成立.5．（2023·全国·高三专题练习（文））已知，比较与的大小【解】,同理，,从而，即>.考点2不等式的性质[名师点睛](1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．[典例](1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A．若eq\f(a,b)＞1，则a＞bB．若eq\f(a,c)＞eq\f(b,c)，则a＞bC．若a3＞b3且ab＜0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)D．若a2＞b2且ab＞0，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)(2)(多选)下列命题为真命题的是()A．若a>b>0，则ac2>bc2B．若a<b<0，则a2>ab>b2C．若a>b>0且c<0，则eq\f(c,a2)>eq\f(c,b2)D．若a>b且eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则ab<0【解析】(1)A中，只有b＞0时正确，故A错误；B中，当c＜0时，a＜b，故B错误；C中，若a3＞b3，ab＜0，则a＞0＞b，所以eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，故C正确；D中，当a＜0，b＜0时，eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)不成立，故D错误．综上所述，故选C.(2)当c＝0时，不等式不成立，所以A命题是假命题；eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<b，,a<0))⇒a2>ab，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<b，,b<0))⇒ab>b2，所以a2>ab>b2，所以B命题是真命题；a>b>0⇒a2>b2>0⇒0<eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)，因为c<0，所以eq\f(c,a2)>eq\f(c,b2)，所以C命题是真命题；eq\f(1,a)>eq\f(1,b)⇒eq\f(1,a)－eq\f(1,b)>0⇒eq\f(b－a,ab)>0，因为a>b，所以b－a<0，ab<0，所以D命题是真命题，故选BCD.答案：(1)C(2)BCD[举一反三]1．（2023·辽宁·东北育才学校一模）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（

）A．< B．a2>b2C．> D．a|c|>b|c|答案：C【解析】当a=1，b=-2时，满足a>b，但，a2<b2，排除A，B；因>0，a>b，由不等式性质得，C正确；当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，故选：C2．(2023·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】对于A：当，时不成立，故A错误；对于B：当，，所以，，即，故C错误；对于C：当时不成立，故C错误；对于D：因为，所以，又，所以（等号成立的条件是），故D正确.故选：D.3．（多选）（2023·福建三明·模拟预测）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（

）A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bdC．若ab>0，bc-ad>0，则 D．若a>b，c>d>0，则答案：AC【解析】解：由不等式性质逐项分析：A选项：由，故，根据不等式同向相加的原则，故A正确B选项：若，则，故B错误；C选项：，，则，化简得，故C正确；D选项：，，，则，故D错误.故选：AC4．（多选）（2023·山东潍坊·模拟预测）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】解：对于A，由，可得，故A正确；对于B，由，当时，可得，故B错误；对于C，由，当时，可得，，可得，当，时，可得，当时，，可得，故C正确；对于D，当，时，，，故D错误．故选：AC．5.设a>b>0，m>0，n>0，则eq\f(b,a)，eq\f(a,b)，eq\f(b＋m,a＋m)，eq\f(a＋n,b＋n)由小到大的顺序是____________________．[答案]eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)<eq\f(a＋n,b＋n)<eq\f(a,b)[解析]∵eq\f(b,a)－eq\f(b＋m,a＋m)＝eq\f(ba＋m－ab＋m,aa＋m)＝eq\f(mb－a,aa＋m)<0，∴eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)<1.∵eq\f(a＋n,b＋n)－eq\f(a,b)＝eq\f(ba＋n－ab＋n,bb＋n)＝eq\f(nb－a,bb＋n)<0，∴1<eq\f(a＋n,b＋n)<eq\f(a,b).∴eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)<eq\f(a＋n,b＋n)<eq\f(a,b).考点3不等式性质的应用[名师点睛]利用待定系数法求代数式的取值范围已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范围．(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．[典例]已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．【解析】因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.答案：(－4，2)(1，18)[举一反三]1．若6<a<10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()A．[9，18] B．(15，30)C．[9，30] D．(9，30)解析：选D.因为eq\f(a,2)≤b≤2a，所以eq\f(3a,2)≤a＋b≤3a，即eq\f(3a,2)≤c≤3a，因为6<a<10，所以9<c<30.故选D.2.（多选）(2023·山东·模拟预测）已知实数x，y满足则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为答案：ABD【解析】因为，所以.因为，所以，则，故A正确