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文档简介
相等关系与不等关系1.实数大小与运算性质之间的关系a-b>0⇔;a-b=0⇔;a-b<0⇔.2.等式的性质(1)对称性:若a=b,则.(2)传递性:若a=b,b=c,则.(3)可加性:若a=b,则a+c=.(4)可乘性:若a=b,则;若a=b,c=d,则.3.不等式的性质性质性质内容注意对称性a>b⇔;a<b⇔可逆传递性a>b,b>c⇒;a<b,b<c⇒同向可加性a>b⇔a+c>b+c可逆可乘性a>b,c>0⇒;a>b,c<0⇒c的符号同向可加性a>b,c>d⇒同向同向同正可乘性a>b>0,c>d>0⇒同向,同正可乘方性a>b>0,n∈N*⇒同正可开方性a>b>0,n∈N,n≥2⇒同正考点1比较大小[名师点睛]比较两个数(式)大小的方法[典例]1.(2023·湖南·高三周练)若,比较与的大小.2.(2023·江苏·高三专题复习)设x,y为正数,比较与的大小.[举一反三]1.(2023·重庆·模拟预测)若,则(
)A. B.C. D.2.(2023·重庆市育才中学模拟预测)(多选)若a>b>0>c,则(
)A. B. C. D.3.比较与的大小.4.已知:、,且,比较的大小.5.(2023·全国·高三专题练习(文))已知,比较与的大小考点2不等式的性质[名师点睛](1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.(2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质等.[典例](1)已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是()A.若eq\f(a,b)>1,则a>bB.若eq\f(a,c)>eq\f(b,c),则a>bC.若a3>b3且ab<0,则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)D.若a2>b2且ab>0,则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)(2)(多选)下列命题为真命题的是()A.若a>b>0,则ac2>bc2B.若a<b<0,则a2>ab>b2C.若a>b>0且c<0,则eq\f(c,a2)>eq\f(c,b2)D.若a>b且eq\f(1,a)>eq\f(1,b),则ab<0[举一反三]1.(2023·辽宁·东北育才学校一模)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式恒成立的是(
)A.< B.a2>b2C.> D.a|c|>b|c|2.(2023·安徽黄山·二模(文))设实数、满足,则下列不等式一定成立的是(
)A. B. C. D.3.(多选)(2023·福建三明·模拟预测)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是(
)A.若a>b,c>d,则a-d>b-c B.若a>b,c>d则ac>bdC.若ab>0,bc-ad>0,则 D.若a>b,c>d>0,则4.(多选)(2023·山东潍坊·模拟预测)16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,则下列结论成立的是(
)A. B.C. D.5.设a>b>0,m>0,n>0,则eq\f(b,a),eq\f(a,b),eq\f(b+m,a+m),eq\f(a+n,b+n)由小到大的顺序是____________________.考点3不等式性质的应用[名师点睛]利用待定系数法求代数式的取值范围已知M1<f1(a,b)<N1,M2<f2(a,b)<N2,求g(a,b)的取值范围.(1)设g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b);(2)根据恒等变形求得待定系数p,q;(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范围.[典例]已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是________,3x+2y的取值范围是________.[举一反三]1.若6<a<10,eq\f(a,2)≤b≤2a,c=a+b,则c的取值范围是()A.[9,18] B.(15,30)C.[9,30] D.(9,30)2.(多选)(2023·山东·模拟预测)已知实数x,y满足则(
)A.的取值范围为 B.的取值范围为C.的取值范围为 D.的取值范围为3.(2023·全国·江西科技学院附属中学模拟预测(文))已知实数、满足,,则的取值范围为______.4.[2021·东北三省四市联考]已知角α,β满足-eq\f(π,2)<α-β<eq\f(π,2),0<α+β<π,求3α-β的取值范围.相等关系与不等关系1.实数大小与运算性质之间的关系a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.2.等式的性质(1)对称性:若a=b,则b=a.(2)传递性:若a=b,b=c,则a=c.(3)可加性:若a=b,则a+c=b+c.(4)可乘性:若a=b,则ac=bc;若a=b,c=d,则ac=bd.3.不等式的性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a;a<b⇔b>a可逆传递性a>b,b>c⇒a>c;a<b,b<c⇒a<c同向可加性a>b⇔a+c>b+c可逆可乘性a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bcc的符号同向可加性a>b,c>d⇒a+c>b+d同向同向同正可乘性a>b>0,c>d>0⇒ac>bd同向,同正可乘方性a>b>0,n∈N*⇒an>bn同正可开方性a>b>0,n∈N,n≥2⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)同正考点1比较大小[名师点睛]比较两个数(式)大小的方法[典例]1.(2023·湖南·高三周练)若,比较与的大小.【解】-=,因为,故,,,故,即.2.(2023·江苏·高三专题复习)设x,y为正数,比较与的大小.【解】因为为整数,则且,由,当且仅当时,等号成立,所以,所以.[举一反三]1.(2023·重庆·模拟预测)若,则(
)A. B.C. D.答案:A【解析】∵,,∴又,∴∴,又∴综上:故选:A2.(2023·重庆市育才中学模拟预测)(多选)若a>b>0>c,则(
)A. B. C. D.答案:ABD【解析】A:,∵,,,,故A正确;B:,∵,∴,,故B正确;C:时,在单调递减,∵,故C错误;D:∵a>b>0>c,∴-c>0,∴,∵a≠b,故等号取不到,故,故D正确.故选:ABD.3.比较与的大小.【解】,<.4.已知:、,且,比较的大小.【解】∵、,∴,作商:
(*)(1)若a>b>0,则,a-b>0,,此时成立;(2)若b>a>0,则,a-b<0,,此时成立.综上,总成立.5.(2023·全国·高三专题练习(文))已知,比较与的大小【解】,同理,,从而,即>.考点2不等式的性质[名师点睛](1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.(2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质等.[典例](1)已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是()A.若eq\f(a,b)>1,则a>bB.若eq\f(a,c)>eq\f(b,c),则a>bC.若a3>b3且ab<0,则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)D.若a2>b2且ab>0,则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)(2)(多选)下列命题为真命题的是()A.若a>b>0,则ac2>bc2B.若a<b<0,则a2>ab>b2C.若a>b>0且c<0,则eq\f(c,a2)>eq\f(c,b2)D.若a>b且eq\f(1,a)>eq\f(1,b),则ab<0【解析】(1)A中,只有b>0时正确,故A错误;B中,当c<0时,a<b,故B错误;C中,若a3>b3,ab<0,则a>0>b,所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b),故C正确;D中,当a<0,b<0时,eq\f(1,a)<eq\f(1,b)不成立,故D错误.综上所述,故选C.(2)当c=0时,不等式不成立,所以A命题是假命题;eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<b,,a<0))⇒a2>ab,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<b,,b<0))⇒ab>b2,所以a2>ab>b2,所以B命题是真命题;a>b>0⇒a2>b2>0⇒0<eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2),因为c<0,所以eq\f(c,a2)>eq\f(c,b2),所以C命题是真命题;eq\f(1,a)>eq\f(1,b)⇒eq\f(1,a)-eq\f(1,b)>0⇒eq\f(b-a,ab)>0,因为a>b,所以b-a<0,ab<0,所以D命题是真命题,故选BCD.答案:(1)C(2)BCD[举一反三]1.(2023·辽宁·东北育才学校一模)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式恒成立的是(
)A.< B.a2>b2C.> D.a|c|>b|c|答案:C【解析】当a=1,b=-2时,满足a>b,但,a2<b2,排除A,B;因>0,a>b,由不等式性质得,C正确;当c=0时,a|c|>b|c|不成立,排除D,故选:C2.(2023·安徽黄山·二模(文))设实数、满足,则下列不等式一定成立的是(
)A. B. C. D.答案:D【解析】对于A:当,时不成立,故A错误;对于B:当,,所以,,即,故C错误;对于C:当时不成立,故C错误;对于D:因为,所以,又,所以(等号成立的条件是),故D正确.故选:D.3.(多选)(2023·福建三明·模拟预测)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是(
)A.若a>b,c>d,则a-d>b-c B.若a>b,c>d则ac>bdC.若ab>0,bc-ad>0,则 D.若a>b,c>d>0,则答案:AC【解析】解:由不等式性质逐项分析:A选项:由,故,根据不等式同向相加的原则,故A正确B选项:若,则,故B错误;C选项:,,则,化简得,故C正确;D选项:,,,则,故D错误.故选:AC4.(多选)(2023·山东潍坊·模拟预测)16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,则下列结论成立的是(
)A. B.C. D.答案:AC【解析】解:对于A,由,可得,故A正确;对于B,由,当时,可得,故B错误;对于C,由,当时,可得,,可得,当,时,可得,当时,,可得,故C正确;对于D,当,时,,,故D错误.故选:AC.5.设a>b>0,m>0,n>0,则eq\f(b,a),eq\f(a,b),eq\f(b+m,a+m),eq\f(a+n,b+n)由小到大的顺序是____________________.[答案]eq\f(b,a)<eq\f(b+m,a+m)<eq\f(a+n,b+n)<eq\f(a,b)[解析]∵eq\f(b,a)-eq\f(b+m,a+m)=eq\f(ba+m-ab+m,aa+m)=eq\f(mb-a,aa+m)<0,∴eq\f(b,a)<eq\f(b+m,a+m)<1.∵eq\f(a+n,b+n)-eq\f(a,b)=eq\f(ba+n-ab+n,bb+n)=eq\f(nb-a,bb+n)<0,∴1<eq\f(a+n,b+n)<eq\f(a,b).∴eq\f(b,a)<eq\f(b+m,a+m)<eq\f(a+n,b+n)<eq\f(a,b).考点3不等式性质的应用[名师点睛]利用待定系数法求代数式的取值范围已知M1<f1(a,b)<N1,M2<f2(a,b)<N2,求g(a,b)的取值范围.(1)设g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b);(2)根据恒等变形求得待定系数p,q;(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范围.[典例]已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是________,3x+2y的取值范围是________.【解析】因为-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2.由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18.答案:(-4,2)(1,18)[举一反三]1.若6<a<10,eq\f(a,2)≤b≤2a,c=a+b,则c的取值范围是()A.[9,18] B.(15,30)C.[9,30] D.(9,30)解析:选D.因为eq\f(a,2)≤b≤2a,所以eq\f(3a,2)≤a+b≤3a,即eq\f(3a,2)≤c≤3a,因为6<a<10,所以9<c<30.故选D.2.(多选)(2023·山东·模拟预测)已知实数x,y满足则(
)A.的取值范围为 B.的取值范围为C.的取值范围为 D.的取值范围为答案:ABD【解析】因为,所以.因为,所以,则,故A正确
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