2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)5.2导数的运算(精讲)(原卷版+解析)

5.2导数的运算（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析重点题型一：导数公式与运算法则的简单应用重点题型二：利用导数公式与运算法则求复合函数的导数重点题型三：解析式中含的导数问题重点题型四：求切线方程或切线斜率重点题型五：利用相切关系求最小距离第五部分：高考（模拟）题体验第一部分：思第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆第二部分：知识点精准记忆知识点一：基本初等函数的导数公式原函数导函数(为常数)知识点二：导数的四则运算法则1、两个函数和的和（或差）的导数法则：.2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：；.3、由函数的乘积的导数法则可以得出，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即知识点三：复合函数的导数复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．知识点四：切线问题1、在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.2、过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.第三部分：课前自我评估测试第三部分：课前自我评估测试1．(2023·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）函数的导数为（

）A． B．C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（

）A．-e B．-1 C．1 D．e3．(2023·辽宁·高二期末）过点且与曲线相切的直线方程是__________.4．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，其中，求．5．(2023·全国·高二专题练习）已知函数，且.(1)求的解析式；(2)求曲线在处的切线方程.第四部分：第四部分：典型例题剖析重点题型一：导数公式与运算法则的简单应用典型例题例题1．(2023·四川遂宁·高二期末（理））下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．例题2．(2023·福建省福安市第一中学高二阶段练习）记函数的导函数为．若，则（

）A． B．C． D．例题3．(2023·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．例题4．(2023·甘肃·高台县第一中学高二期中（文））求下列函数的导数.(1)；(2).同类题型归类练1．(2023·四川泸州·高二期末（文））曲线在处切线的斜率为（

）A． B．C． D．2．（多选）(2023·全国·高二课时练习）下列函数求导运算正确的是（

）A． B．C． D．3．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2).4．(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习（理））求下列函数的导数.(1)(2)5．(2023·北京·北理工附中高二阶段练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)重点题型二：利用导数公式与运算法则求复合函数的导数典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．例题2．(2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数：(1)；(2).例题3．(2023·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））求下列函数的导数：(1)；(2)(3)例题4．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．同类题型归类练1．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)．2．(2023·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习）求下列函数的导数：(1)；(2)．3．(2023·湖南·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4).重点题型三：解析式中含的导数问题典型例题例题1．(2023·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（文））已知函数的导函数为，且满足，则（

）A． B． C．1 D．例题2．(2023·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））已知函数的导数为，且满足，则（

）A． B． C． D．例题3．(2023·天津一中高三阶段练习）已知函数的导函数，满足，则等于_______________.例题4．(2023·全国·高二课时练习）已知函数的导数是，且满足，则__________．例题5．(2023·北京·北师大二附中高三开学考试）已知函数的导函数，满足，则等于___________.同类题型归类练1．(2023·四川·高三阶段练习（理））已知函数，则（

）A． B． C． D．2．(2023·四川·树德怀远中学高三开学考试（文））已知函数的导函数为，且满足，则（

）．A． B． C．1 D．e3．(2023·吉林·高二期末）已知函数，则的值为（

）A． B．1 C． D．24．(2023·江苏省响水中学高二阶段练习）已知函数（是的导函数），则______．5．(2023·辽宁锦州·高二期末）已知函数的导函数为，且满足，则______．重点题型四：求切线方程或切线斜率典型例题例题1．(2023·浙江·高二阶段练习）曲线在处的切线方程为（

）A． B． C． D．例题2．（多选）(2023·江苏南通·高三阶段练习）函数过点的切线方程是（

）A． B．C． D．例题3．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）已知函数，若，则函数的图像在点处的切线方程为____________．例题4．(2023·全国·高三阶段练习（理））过原点且与相切的直线方程为___________.例题5．(2023·全国·成都七中高三开学考试（理））函数的一条过原点的切线方程为____________.同类题型归类练1．(2023·重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．2．(2023·贵州·盘州市聚道高中有限责任公司高三阶段练习（文））函数的图象在处的切线方程为______.3．(2023·上海市杨浦高级中学高二期末）函数在点处的切线的方程为_________.4．(2023·云南大理·模拟预测）过点作曲线的切线，则切线方程是__________．5．(2023·全国·高二课时练习）过点且与曲线相切的直线方程为______．重点题型五：利用相切关系求最小距离典型例题例题1．(2023·全国·高二期末）已知分别是曲线与曲线上的点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．(2023·浙江·效实中学模拟预测）已知且，则的最小值是（

）A． B． C． D．8例题3．(2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题4．(2023·全国·高三专题练习）已知实数、、、满足，则的最小值为______．同类题型归类练1．(2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．(2023·河南河南·高二期末（理））已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，记，则（

）．A．M的最小值为 B．当M最小时，点Q的横坐标为C．M的最小值为 D．当M最小时，点Q的横坐标为3．(2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．(2023·辽宁鞍山·一模）若实数，，，满足，则的最小值为__________.第五部分：高第五部分：高考（模拟）题体验1．(2023·河南平顶山·模拟预测（理））已知函数，，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．2．(2023·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．3．（2023·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．①；②当时，；③是奇函数．4．(2023·河南洛阳·模拟预测（理））曲线在处的切线方程是________．5．(2023·广西柳州·模拟预测（理））已知直线是曲线的一条切线，则b＝___．6．(2023·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数，则函数___________.5.2导数的运算（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析重点题型一：导数公式与运算法则的简单应用重点题型二：利用导数公式与运算法则求复合函数的导数重点题型三：解析式中含的导数问题重点题型四：求切线方程或切线斜率重点题型五：利用相切关系求最小距离第五部分：高考（模拟）题体验第一部分：思第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆第二部分：知识点精准记忆知识点一：基本初等函数的导数公式原函数导函数(为常数)知识点二：导数的四则运算法则1、两个函数和的和（或差）的导数法则：.2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：；.3、由函数的乘积的导数法则可以得出，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即知识点三：复合函数的导数复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．知识点四：切线问题1、在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.2、过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.第三部分：课前自我评估测试第三部分：课前自我评估测试1．(2023·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）函数的导数为（

）A． B．C． D．答案：B【详解】定义域为，故选：B2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（

）A．-e B．-1 C．1 D．e答案：B【详解】由题意，函数，可得，所以，则．故选：B.3．(2023·辽宁·高二期末）过点且与曲线相切的直线方程是__________.答案：（或）【详解】解：由题意可知切点坐标为，由得，，即切线的斜率，切线方程为，即（或）.故答案为：4．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，其中，求．答案：【详解】解：因为，所以．5．(2023·全国·高二专题练习）已知函数，且.(1)求的解析式；(2)求曲线在处的切线方程.答案：(1)(2)（1）因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为.（2）由（1）可知，；又，所以曲线在处的切线方程为，即.第四部分：第四部分：典型例题剖析重点题型一：导数公式与运算法则的简单应用典型例题例题1．(2023·四川遂宁·高二期末（理））下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．答案：D【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确．故选：D例题2．(2023·福建省福安市第一中学高二阶段练习）记函数的导函数为．若，则（

）A． B．C． D．答案：B【详解】因为，则.故选：B.例题3．(2023·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．答案：(1)(2)(3)（1）解：因为，所以，即；（2）解：因为，则.（3）解：因为，所以.例题4．(2023·甘肃·高台县第一中学高二期中（文））求下列函数的导数.(1)；(2).答案：(1)(2)(1)(2)，.同类题型归类练1．(2023·四川泸州·高二期末（文））曲线在处切线的斜率为（

）A． B．C． D．答案：B【详解】，则，当时，，故选：B2．（多选）(2023·全国·高二课时练习）下列函数求导运算正确的是（

）A． B．C． D．答案：BCD【详解】A：，错误；B：，正确；C：，正确；D：，正确．故选：BCD3．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2).答案：(1)(2)（1），所以.（2），所以.4．(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习（理））求下列函数的导数.(1)(2)答案：(1)(2)(1)因为，所以.(2).5．(2023·北京·北理工附中高二阶段练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)答案：(1)；(2)；(3).（1）.（2）.（3）.重点题型二：利用导数公式与运算法则求复合函数的导数典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．答案：(1)(2)(3)(4)（1）设，，则．（2）设，，，则．（3）设，，，则．（4）设，，则例题2．(2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数：(1)；(2).答案：(1)(2)（1）因为，所以.（2）.例题3．(2023·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））求下列函数的导数：(1)；(2)(3)答案：(1)(2)(3)(1)(2)(3)例题4．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．答案：(1)(2)(3)(4)(5)【详解】（1）．（2）方法一：．方法二：∵，∴．（3）∵，∴．（4）∵，∴．（5）方法一：．方法二：∵，∴．同类题型归类练1．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)．答案：(1)(2)(1)应为，所以．(2)因为，所以．2．(2023·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习）求下列函数的导数：(1)；(2)．答案：(1)(2)(1)(2)3．(2023·湖南·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4).答案：(1)；(2)；(3)；(4).(1)由；(2)由；(3)由；(4)由.重点题型三：解析式中含的导数问题典型例题例题1．(2023·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（文））已知函数的导函数为，且满足，则（

）A． B． C．1 D．答案：B【详解】由，可得，所以，则.故选：B.例题2．(2023·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））已知函数的导数为，且满足，则（

）A． B． C． D．答案：A【详解】，，解得：，，.故选：A.例题3．(2023·天津一中高三阶段练习）已知函数的导函数，满足，则等于_______________.答案：【详解】由，得，令，得，解得，所以，故答案为：.例题4．(2023·全国·高二课时练习）已知函数的导数是，且满足，则__________．答案：2【详解】由得，，则，可得，则，.故答案为：2例题5．(2023·北京·北师大二附中高三开学考试）已知函数的导函数，满足，则等于___________.答案：【详解】∵，∴，∴，即.故答案为：.同类题型归类练1．(2023·四川·高三阶段练习（理））已知函数，则（

）A． B． C． D．答案：B【详解】由，得，令，则，解得，故选：B.2．(2023·四川·树德怀远中学高三开学考试（文））已知函数的导函数为，且满足，则（

）．A． B． C．1 D．e答案：B【详解】，将代入得：，解得：.故选：B3．(2023·吉林·高二期末）已知函数，则的值为（

）A． B．1 C． D．2答案：B【详解】解：因为，所以，所以，解得．故选：B4．(2023·江苏省响水中学高二阶段练习）已知函数（是的导函数），则______．答案：【详解】因为是一个常数，，所以，故，得，所以，故.故答案为：.5．(2023·辽宁锦州·高二期末）已知函数的导函数为，且满足，则______．答案：【详解】由，解得，故答案为：重点题型四：求切线方程或切线斜率典型例题例题1．(2023·浙江·高二阶段练习）曲线在处的切线方程为（

）A． B． C． D．答案：C【详解】对函数求导得,故当时,斜率，又切线过点，故切线方程为，即故选：C.例题2．（多选）(2023·江苏南通·高三阶段练习）函数过点的切线方程是（

）A． B．C． D．答案：AD【详解】设切点坐标为，由，∴在处的切线斜率为，切线方程为，由切线过，，解得或，时切线方程，选D；时切线方程，选A.故选：AD例题3．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）已知函数，若，则函数的图像在点处的切线方程为____________．答案：【详解】当时，（）,所以；由，则函数在点处的切线斜率，所以函数的图像在点处的切线方程为：，即.故答案为：.例题4．(2023·全国·高三阶段练习（理））过原点且与相切的直线方程为___________.答案：【详解】设切点坐标，由，得，所以切线的斜率为切线方程为又切线过原点，所以解得所以切线方程为，故答案为：例题5．(2023·全国·成都七中高三开学考试（理））函数的一条过原点的切线方程为____________.答案：【详解】解：因为，所以，设切点为，则，所以​，即​，令，，则，所以在上单调递增，又，所以​，则，，所以函数​过原点的一条切线方程为​.故答案为：同类题型归类练1．(2023·重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．答案：D【详解】由题意得，切线和垂直，切线斜率显然存在，设为，根据直线垂直的斜率关系可得，，那么切线斜率，由导数的几何意义：，而，，解得.故选：D2．(2023·贵州·盘州市聚道高中有限责任公司高三阶段练习（文））函数的图象在处的切线方程为______.答案：【详解】由得，则，又，所以切线方程为：，故答案为：3．(2023·上海市杨浦高级中学高二期末）函数在点处的切线的方程为_________.答案：【详解】由题，，则，所以切线方程为，故答案为：4．(2023·云南大理·模拟预测）过点作曲线的切线，则切线方程是__________．答案：【详解】函数定义域为，，设切点为，，所以切线方程为，代入，得，解得：，所以切线方程为，整理得：．故答案为：5．(2023·全国·高二课时练习）过点且与曲线相切的直线方程为______．答案：或【详解】由题意，设切点坐标为，则，又由函数，可得，可得，所以，根据斜率公式和导数的几何意义，可得，即，解得或，所以切线的斜率为或，所以切线方程为或，即或.故答案为：或.重点题型五：利用相切关系求最小距离典型例题例题1．(2023·全国·高二期末）已知分别是曲线与曲线上的点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【详解】曲线与曲线互为反函数，其图象关于对称，求出点到的最小距离设曲线上斜率为的切线为，由得，切点坐标为，即的最小值为，无最大值，即故选：B.例题2．(2023·浙江·效实中学模拟预测）已知且，则的最小值是（

）A． B． C． D．8答案：B【详解】代数式可以看成点到点距离的平方，点在平面直角坐标系中，表示单位圆上的点，点表示曲线上的点，如下图所示：，由，所以曲线在点处的切线方程为：，此时直线与直线垂直于点，交圆于点，由数形结合思想可以确定：当点运动到点时，当点运用到点时，有最小值，即，故选：B例题3．(2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【详解】设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离，将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小．而，令，则，可得，此时，Q到直线的距离，故，所以．故选：B例题4．(2023·全国·高三专题练习）已知实数、、、满足，则的最小值为______．答案：【详解】因为实数、、、满足，所以，，，所以，点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方．考查曲线上和直线平行的切线，对函数求导得，令，解得，所以，切点为，该切点到直线的距离就是所要求的两曲线间的最小距离，故的最小值为．故答案为：.同类题型归类练1．(2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：C【详解】解：由，则点在函数上，，则点在函数上，则表示、两点的距离的平方，要求的最小值，即求的最小值，当过的点切线与直线平行时，点到直线的距离即为的最小值，由可得，所以，解得，所以，即，所以到的距离，即，所以的最小值为；故选：C2．(2023·河南河南·高二期末（理））已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，记，则（

）．A．M的最小值为 B．当M最小时，点Q的横坐标为C．M的最小值为 D．当M最小时，点Q的横坐标为答案：B【详解】将化为，即直线l的斜率为，因为，所以，令，得，∴当M最小时，点P的坐标为，此时点P到直线的距离为，所以M的最小值为；过点P且垂直于的直线方程为，联立，得，即点Q的横坐标为.故选:B．3．(20