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文档简介
5.2导数的运算(精讲)目录第一部分:思维导图(总览全局)第二部分:知识点精准记忆第三部分:课前自我评估测试第四部分:典型例题剖析重点题型一:导数公式与运算法则的简单应用重点题型二:利用导数公式与运算法则求复合函数的导数重点题型三:解析式中含的导数问题重点题型四:求切线方程或切线斜率重点题型五:利用相切关系求最小距离第五部分:高考(模拟)题体验第一部分:思第一部分:思维导图总览全局第二部分:知识点精准记忆第二部分:知识点精准记忆知识点一:基本初等函数的导数公式原函数导函数(为常数)知识点二:导数的四则运算法则1、两个函数和的和(或差)的导数法则:.2、对于两个函数和的乘积(或商)的导数,有如下法则:;.3、由函数的乘积的导数法则可以得出,也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数与函数的导数的积,即知识点三:复合函数的导数复合函数的导数和函数,的导数间的关系为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.知识点四:切线问题1、在型求切线方程已知:函数的解析式.计算:函数在或者处的切线方程.步骤:第一步:计算切点的纵坐标(方法:把代入原函数中),切点.第二步:计算切线斜率.第三步:计算切线方程.切线过切点,切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程:.2、过型求切线方程已知:函数的解析式.计算:过点(无论该点是否在上)的切线方程.步骤:第一步:设切点第二步:计算切线斜率;计算切线斜率;第三步:令:,解出,代入求斜率第三步:计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程:.第三部分:课前自我评估测试第三部分:课前自我评估测试1.(2023·安徽省临泉第一中学高二阶段练习)函数的导数为(
)A. B.C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的导函数为,且满足,则(
)A.-e B.-1 C.1 D.e3.(2023·辽宁·高二期末)过点且与曲线相切的直线方程是__________.4.(2023·全国·高二课时练习)已知函数,其中,求.5.(2023·全国·高二专题练习)已知函数,且.(1)求的解析式;(2)求曲线在处的切线方程.第四部分:第四部分:典型例题剖析重点题型一:导数公式与运算法则的简单应用典型例题例题1.(2023·四川遂宁·高二期末(理))下列求导运算正确的是(
)A. B.C. D.例题2.(2023·福建省福安市第一中学高二阶段练习)记函数的导函数为.若,则(
)A. B.C. D.例题3.(2023·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习)求下列函数的导数:(1);(2);(3).例题4.(2023·甘肃·高台县第一中学高二期中(文))求下列函数的导数.(1);(2).同类题型归类练1.(2023·四川泸州·高二期末(文))曲线在处切线的斜率为(
)A. B.C. D.2.(多选)(2023·全国·高二课时练习)下列函数求导运算正确的是(
)A. B.C. D.3.(2023·全国·高二课时练习)求下列函数的导数:(1);(2).4.(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习(理))求下列函数的导数.(1)(2)5.(2023·北京·北理工附中高二阶段练习)求下列函数的导数:(1);(2);(3)重点题型二:利用导数公式与运算法则求复合函数的导数典型例题例题1.(2023·全国·高二课时练习)求下列函数的导数:(1);(2);(3);(4).例题2.(2023·全国·高二专题练习)求下列函数的导数:(1);(2).例题3.(2023·新疆·莎车县第一中学高二期中(理))求下列函数的导数:(1);(2)(3)例题4.(2023·全国·高二课时练习)求下列函数的导数.(1);(2);(3);(4);(5).同类题型归类练1.(2023·全国·高二课时练习)求下列函数的导数:(1);(2).2.(2023·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习)求下列函数的导数:(1);(2).3.(2023·湖南·高二课时练习)求下列函数的导数:(1);(2);(3);(4).重点题型三:解析式中含的导数问题典型例题例题1.(2023·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习(文))已知函数的导函数为,且满足,则(
)A. B. C.1 D.例题2.(2023·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习(文))已知函数的导数为,且满足,则(
)A. B. C. D.例题3.(2023·天津一中高三阶段练习)已知函数的导函数,满足,则等于_______________.例题4.(2023·全国·高二课时练习)已知函数的导数是,且满足,则__________.例题5.(2023·北京·北师大二附中高三开学考试)已知函数的导函数,满足,则等于___________.同类题型归类练1.(2023·四川·高三阶段练习(理))已知函数,则(
)A. B. C. D.2.(2023·四川·树德怀远中学高三开学考试(文))已知函数的导函数为,且满足,则(
).A. B. C.1 D.e3.(2023·吉林·高二期末)已知函数,则的值为(
)A. B.1 C. D.24.(2023·江苏省响水中学高二阶段练习)已知函数(是的导函数),则______.5.(2023·辽宁锦州·高二期末)已知函数的导函数为,且满足,则______.重点题型四:求切线方程或切线斜率典型例题例题1.(2023·浙江·高二阶段练习)曲线在处的切线方程为(
)A. B. C. D.例题2.(多选)(2023·江苏南通·高三阶段练习)函数过点的切线方程是(
)A. B.C. D.例题3.(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习)已知函数,若,则函数的图像在点处的切线方程为____________.例题4.(2023·全国·高三阶段练习(理))过原点且与相切的直线方程为___________.例题5.(2023·全国·成都七中高三开学考试(理))函数的一条过原点的切线方程为____________.同类题型归类练1.(2023·重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习)已知曲线在点处的切线与直线垂直,则实数的值为(
)A. B. C. D.2.(2023·贵州·盘州市聚道高中有限责任公司高三阶段练习(文))函数的图象在处的切线方程为______.3.(2023·上海市杨浦高级中学高二期末)函数在点处的切线的方程为_________.4.(2023·云南大理·模拟预测)过点作曲线的切线,则切线方程是__________.5.(2023·全国·高二课时练习)过点且与曲线相切的直线方程为______.重点题型五:利用相切关系求最小距离典型例题例题1.(2023·全国·高二期末)已知分别是曲线与曲线上的点,则的取值范围是(
)A. B. C. D.例题2.(2023·浙江·效实中学模拟预测)已知且,则的最小值是(
)A. B. C. D.8例题3.(2023·全国·高三专题练习)若不等式对任意,恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.例题4.(2023·全国·高三专题练习)已知实数、、、满足,则的最小值为______.同类题型归类练1.(2023·全国·高三专题练习)已知,,则的最小值为(
)A. B. C. D.2.(2023·河南河南·高二期末(理))已知点P在函数的图象上,点Q在直线上,记,则(
).A.M的最小值为 B.当M最小时,点Q的横坐标为C.M的最小值为 D.当M最小时,点Q的横坐标为3.(2023·全国·高三专题练习)设点P在曲线上,点Q在曲线上,则的最小值为(
)A. B. C. D.4.(2023·全国·高三专题练习)已知,则的最小值为(
)A. B. C. D.5.(2023·辽宁鞍山·一模)若实数,,,满足,则的最小值为__________.第五部分:高第五部分:高考(模拟)题体验1.(2023·河南平顶山·模拟预测(理))已知函数,,则的值为(
)A.1 B.2 C. D.2.(2023·全国·高考真题)若曲线有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是________________.3.(2023·全国·高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______.①;②当时,;③是奇函数.4.(2023·河南洛阳·模拟预测(理))曲线在处的切线方程是________.5.(2023·广西柳州·模拟预测(理))已知直线是曲线的一条切线,则b=___.6.(2023·福建省福州格致中学模拟预测)已知函数,则函数___________.5.2导数的运算(精讲)目录第一部分:思维导图(总览全局)第二部分:知识点精准记忆第三部分:课前自我评估测试第四部分:典型例题剖析重点题型一:导数公式与运算法则的简单应用重点题型二:利用导数公式与运算法则求复合函数的导数重点题型三:解析式中含的导数问题重点题型四:求切线方程或切线斜率重点题型五:利用相切关系求最小距离第五部分:高考(模拟)题体验第一部分:思第一部分:思维导图总览全局第二部分:知识点精准记忆第二部分:知识点精准记忆知识点一:基本初等函数的导数公式原函数导函数(为常数)知识点二:导数的四则运算法则1、两个函数和的和(或差)的导数法则:.2、对于两个函数和的乘积(或商)的导数,有如下法则:;.3、由函数的乘积的导数法则可以得出,也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数与函数的导数的积,即知识点三:复合函数的导数复合函数的导数和函数,的导数间的关系为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.知识点四:切线问题1、在型求切线方程已知:函数的解析式.计算:函数在或者处的切线方程.步骤:第一步:计算切点的纵坐标(方法:把代入原函数中),切点.第二步:计算切线斜率.第三步:计算切线方程.切线过切点,切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程:.2、过型求切线方程已知:函数的解析式.计算:过点(无论该点是否在上)的切线方程.步骤:第一步:设切点第二步:计算切线斜率;计算切线斜率;第三步:令:,解出,代入求斜率第三步:计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程:.第三部分:课前自我评估测试第三部分:课前自我评估测试1.(2023·安徽省临泉第一中学高二阶段练习)函数的导数为(
)A. B.C. D.答案:B【详解】定义域为,故选:B2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的导函数为,且满足,则(
)A.-e B.-1 C.1 D.e答案:B【详解】由题意,函数,可得,所以,则.故选:B.3.(2023·辽宁·高二期末)过点且与曲线相切的直线方程是__________.答案:(或)【详解】解:由题意可知切点坐标为,由得,,即切线的斜率,切线方程为,即(或).故答案为:4.(2023·全国·高二课时练习)已知函数,其中,求.答案:【详解】解:因为,所以.5.(2023·全国·高二专题练习)已知函数,且.(1)求的解析式;(2)求曲线在处的切线方程.答案:(1)(2)(1)因为,且,所以,解得,所以函数的解析式为.(2)由(1)可知,;又,所以曲线在处的切线方程为,即.第四部分:第四部分:典型例题剖析重点题型一:导数公式与运算法则的简单应用典型例题例题1.(2023·四川遂宁·高二期末(理))下列求导运算正确的是(
)A. B.C. D.答案:D【详解】对于A选项,,A选项错误;对于B选项,,B选项错误;对于C选项,,C选项错误;对于D选项,,D选项正确.故选:D例题2.(2023·福建省福安市第一中学高二阶段练习)记函数的导函数为.若,则(
)A. B.C. D.答案:B【详解】因为,则.故选:B.例题3.(2023·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习)求下列函数的导数:(1);(2);(3).答案:(1)(2)(3)(1)解:因为,所以,即;(2)解:因为,则.(3)解:因为,所以.例题4.(2023·甘肃·高台县第一中学高二期中(文))求下列函数的导数.(1);(2).答案:(1)(2)(1)(2),.同类题型归类练1.(2023·四川泸州·高二期末(文))曲线在处切线的斜率为(
)A. B.C. D.答案:B【详解】,则,当时,,故选:B2.(多选)(2023·全国·高二课时练习)下列函数求导运算正确的是(
)A. B.C. D.答案:BCD【详解】A:,错误;B:,正确;C:,正确;D:,正确.故选:BCD3.(2023·全国·高二课时练习)求下列函数的导数:(1);(2).答案:(1)(2)(1),所以.(2),所以.4.(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习(理))求下列函数的导数.(1)(2)答案:(1)(2)(1)因为,所以.(2).5.(2023·北京·北理工附中高二阶段练习)求下列函数的导数:(1);(2);(3)答案:(1);(2);(3).(1).(2).(3).重点题型二:利用导数公式与运算法则求复合函数的导数典型例题例题1.(2023·全国·高二课时练习)求下列函数的导数:(1);(2);(3);(4).答案:(1)(2)(3)(4)(1)设,,则.(2)设,,,则.(3)设,,,则.(4)设,,则例题2.(2023·全国·高二专题练习)求下列函数的导数:(1);(2).答案:(1)(2)(1)因为,所以.(2).例题3.(2023·新疆·莎车县第一中学高二期中(理))求下列函数的导数:(1);(2)(3)答案:(1)(2)(3)(1)(2)(3)例题4.(2023·全国·高二课时练习)求下列函数的导数.(1);(2);(3);(4);(5).答案:(1)(2)(3)(4)(5)【详解】(1).(2)方法一:.方法二:∵,∴.(3)∵,∴.(4)∵,∴.(5)方法一:.方法二:∵,∴.同类题型归类练1.(2023·全国·高二课时练习)求下列函数的导数:(1);(2).答案:(1)(2)(1)应为,所以.(2)因为,所以.2.(2023·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习)求下列函数的导数:(1);(2).答案:(1)(2)(1)(2)3.(2023·湖南·高二课时练习)求下列函数的导数:(1);(2);(3);(4).答案:(1);(2);(3);(4).(1)由;(2)由;(3)由;(4)由.重点题型三:解析式中含的导数问题典型例题例题1.(2023·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习(文))已知函数的导函数为,且满足,则(
)A. B. C.1 D.答案:B【详解】由,可得,所以,则.故选:B.例题2.(2023·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习(文))已知函数的导数为,且满足,则(
)A. B. C. D.答案:A【详解】,,解得:,,.故选:A.例题3.(2023·天津一中高三阶段练习)已知函数的导函数,满足,则等于_______________.答案:【详解】由,得,令,得,解得,所以,故答案为:.例题4.(2023·全国·高二课时练习)已知函数的导数是,且满足,则__________.答案:2【详解】由得,,则,可得,则,.故答案为:2例题5.(2023·北京·北师大二附中高三开学考试)已知函数的导函数,满足,则等于___________.答案:【详解】∵,∴,∴,即.故答案为:.同类题型归类练1.(2023·四川·高三阶段练习(理))已知函数,则(
)A. B. C. D.答案:B【详解】由,得,令,则,解得,故选:B.2.(2023·四川·树德怀远中学高三开学考试(文))已知函数的导函数为,且满足,则(
).A. B. C.1 D.e答案:B【详解】,将代入得:,解得:.故选:B3.(2023·吉林·高二期末)已知函数,则的值为(
)A. B.1 C. D.2答案:B【详解】解:因为,所以,所以,解得.故选:B4.(2023·江苏省响水中学高二阶段练习)已知函数(是的导函数),则______.答案:【详解】因为是一个常数,,所以,故,得,所以,故.故答案为:.5.(2023·辽宁锦州·高二期末)已知函数的导函数为,且满足,则______.答案:【详解】由,解得,故答案为:重点题型四:求切线方程或切线斜率典型例题例题1.(2023·浙江·高二阶段练习)曲线在处的切线方程为(
)A. B. C. D.答案:C【详解】对函数求导得,故当时,斜率,又切线过点,故切线方程为,即故选:C.例题2.(多选)(2023·江苏南通·高三阶段练习)函数过点的切线方程是(
)A. B.C. D.答案:AD【详解】设切点坐标为,由,∴在处的切线斜率为,切线方程为,由切线过,,解得或,时切线方程,选D;时切线方程,选A.故选:AD例题3.(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习)已知函数,若,则函数的图像在点处的切线方程为____________.答案:【详解】当时,(),所以;由,则函数在点处的切线斜率,所以函数的图像在点处的切线方程为:,即.故答案为:.例题4.(2023·全国·高三阶段练习(理))过原点且与相切的直线方程为___________.答案:【详解】设切点坐标,由,得,所以切线的斜率为切线方程为又切线过原点,所以解得所以切线方程为,故答案为:例题5.(2023·全国·成都七中高三开学考试(理))函数的一条过原点的切线方程为____________.答案:【详解】解:因为,所以,设切点为,则,所以,即,令,,则,所以在上单调递增,又,所以,则,,所以函数过原点的一条切线方程为.故答案为:同类题型归类练1.(2023·重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习)已知曲线在点处的切线与直线垂直,则实数的值为(
)A. B. C. D.答案:D【详解】由题意得,切线和垂直,切线斜率显然存在,设为,根据直线垂直的斜率关系可得,,那么切线斜率,由导数的几何意义:,而,,解得.故选:D2.(2023·贵州·盘州市聚道高中有限责任公司高三阶段练习(文))函数的图象在处的切线方程为______.答案:【详解】由得,则,又,所以切线方程为:,故答案为:3.(2023·上海市杨浦高级中学高二期末)函数在点处的切线的方程为_________.答案:【详解】由题,,则,所以切线方程为,故答案为:4.(2023·云南大理·模拟预测)过点作曲线的切线,则切线方程是__________.答案:【详解】函数定义域为,,设切点为,,所以切线方程为,代入,得,解得:,所以切线方程为,整理得:.故答案为:5.(2023·全国·高二课时练习)过点且与曲线相切的直线方程为______.答案:或【详解】由题意,设切点坐标为,则,又由函数,可得,可得,所以,根据斜率公式和导数的几何意义,可得,即,解得或,所以切线的斜率为或,所以切线方程为或,即或.故答案为:或.重点题型五:利用相切关系求最小距离典型例题例题1.(2023·全国·高二期末)已知分别是曲线与曲线上的点,则的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:B【详解】曲线与曲线互为反函数,其图象关于对称,求出点到的最小距离设曲线上斜率为的切线为,由得,切点坐标为,即的最小值为,无最大值,即故选:B.例题2.(2023·浙江·效实中学模拟预测)已知且,则的最小值是(
)A. B. C. D.8答案:B【详解】代数式可以看成点到点距离的平方,点在平面直角坐标系中,表示单位圆上的点,点表示曲线上的点,如下图所示:,由,所以曲线在点处的切线方程为:,此时直线与直线垂直于点,交圆于点,由数形结合思想可以确定:当点运动到点时,当点运用到点时,有最小值,即,故选:B例题3.(2023·全国·高三专题练习)若不等式对任意,恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:B【详解】设,则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离,将直线平移到与面线相切时,切点Q到直线的距离最小.而,令,则,可得,此时,Q到直线的距离,故,所以.故选:B例题4.(2023·全国·高三专题练习)已知实数、、、满足,则的最小值为______.答案:【详解】因为实数、、、满足,所以,,,所以,点在曲线上,点在曲线上,的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方.考查曲线上和直线平行的切线,对函数求导得,令,解得,所以,切点为,该切点到直线的距离就是所要求的两曲线间的最小距离,故的最小值为.故答案为:.同类题型归类练1.(2023·全国·高三专题练习)已知,,则的最小值为(
)A. B. C. D.答案:C【详解】解:由,则点在函数上,,则点在函数上,则表示、两点的距离的平方,要求的最小值,即求的最小值,当过的点切线与直线平行时,点到直线的距离即为的最小值,由可得,所以,解得,所以,即,所以到的距离,即,所以的最小值为;故选:C2.(2023·河南河南·高二期末(理))已知点P在函数的图象上,点Q在直线上,记,则(
).A.M的最小值为 B.当M最小时,点Q的横坐标为C.M的最小值为 D.当M最小时,点Q的横坐标为答案:B【详解】将化为,即直线l的斜率为,因为,所以,令,得,∴当M最小时,点P的坐标为,此时点P到直线的距离为,所以M的最小值为;过点P且垂直于的直线方程为,联立,得,即点Q的横坐标为.故选:B.3.(20
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