广东省东莞市第四高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题(原卷版+解析)

东莞四中2022－2023学年度第一学期期中考试高二数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1.二元方程表示圆C,圆心的坐标和半径分别为（）A. B. C. D.2.在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则（）A B.2 C.3 D.33.将直线l上一点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的点B仍在直线l上，则直线l的方程是（）A. B. C. D.4.如图，在正方形网格中，已知，，三点不共线，为平面内一定点，点为平面外任意一点，则下列向量能表示向量的为（）A. B.C. D.5.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为，点E，F，G分别是AB，AD，DC中点，则下列向量的数量积等于的是（）A B.C. D.6.在长方体中，若向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在单位正交基底下的坐标为（）A. B. C. D.7.已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是A等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BB1与面ACD1所成角的正弦值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9.若向量，，则（）A. B.C. D.10.两平行直线和间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程为（）A. B. C. D.11.已知直线：和直线：，下列说法正确的是（）A.始终过定点B.若，则或-3C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限12.若直线l：mx+(2m-1)y-6=0与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值是（）A.2 B. C.3 D.-三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．13.直线的倾斜角为_________．14.在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(0，4)，O为坐标原点，则△ABO的外接圆的方程是__________.15.在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点B是直线l：x-2y-2=0动点，则|AB|的最小值为__________．16.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17.已知关于x，y的二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+3=0.（1）若方程表示的曲线是圆，求证：点在圆x2+y2=12外；（2）若方程表示的圆C的圆心在直线x+y-1=0上且在第二象限，半径为，求圆C的方程.18.在△ABC中，顶点B的坐标为(1，2)，顶点A在x轴上，边BC上的高AH所在直线的方程为x-2y+1=0，边AB，AC所在直线的倾斜角之和为180º.（1）求顶点A的坐标和直线BC的方程；（2）求△ABC的面积.19.如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，CC1=3，CD=2，且∠C1CB=∠C1CD=60°.（1）求证：BD⊥CA1；（2）求CA1的长.20.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=，D是棱AC的中点，且AB=BC=BB1=2．（1）求异面直线AB1与BC1所成角的大小；（2）求直线AB1与平面BC1D的距离．21.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M分别是BC，AE的中点，AD=AA1=1，AB=2.（1）试问在线段CD1上是否存在一点N，使MN∥平面ADD1A1?若存在，确定N的位置；若不存在，请说明理由；（2）在（1）中，当MN∥平面ADD1A1时，试确定直线BB1与平面DMN的交点F的位置，并求BF的长.22.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，底面，，，为的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值.东莞四中2022－2023学年度第一学期期中考试高二数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1.二元方程表示圆C,圆心的坐标和半径分别为（）A. B. C. D.答案：B【解析】分析：根据方程化简为圆的标准形式,选出答案即可.【详解】解:由题知方程,即,因为该二元方程表示圆,所以圆心,半径.故选:B2.在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则（）A. B.2 C.3 D.3答案：D【解析】分析：利用中位线的性质可以得出：，然后利用向量的线性运算即可求解.【详解】因为M，G分别是BC，CD的中点，由三角形中位线的性质可得：，又因为，所以，故选：.3.将直线l上一点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的点B仍在直线l上，则直线l的方程是（）A. B. C. D.答案：A【解析】分析：由平移求得点坐标，再根据都在直线上，求出直线的斜率，从而可得出答案.【详解】解：将向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得，因为都在直线上，则，所以直线的方程为，即.

故选：A.4.如图，在正方形网格中，已知，，三点不共线，为平面内一定点，点为平面外任意一点，则下列向量能表示向量的为（）A. B.C. D.答案：C【解析】分析：根据，，，四点共面，可知存在唯一的实数对，使，结合图形可得的值，即可得到答案；【详解】根据，，，四点共面，可知存在唯一的实数对，使．由图知，，故，故选：C.5.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于的是（）A. B.C. D.答案：AC【解析】分析：利用向量数量积的定义，分别计算出四个选项对应的数量积，即可得到答案.【详解】在空间四边形中，夹角为60°，所以.故A正确；夹角为120°，所以.故B错误；因为点F，G分别是AD，DC的中点，所以且,所以夹角为0°，所以.故C正确；因为点E，F分别是AB，AD的中点，所以,所以夹角为120°，所以.故D错误.故选：AC6.在长方体中，若向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在单位正交基底下的坐标为（）A. B. C. D.答案：B【解析】分析：根据向量的线性与空间向量的基本定理即可求解【详解】因为，所以向量在单位正交基底下的坐标为，故选：B7.已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案：C【解析】分析：求出三点间任意两点的距离，最后运用勾股定理或者余弦定理判断出三角形的形状.【详解】由两点间的距离公式得，，，满足，故选C.【点睛】本题考查了空间两点间的距离公式，以及判断空间三点组成三角形的形状问题，考查了数学运算能力.8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BB1与面ACD1所成角的正弦值为（）A. B. C. D.答案：D【解析】分析：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，利用向量法求出和平面的法向量，结合空间向量的数量积的定义即可求解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，所以，设平面的一个法向量为，有，令，则，所以，故，设直线与平面所成平面角为，则.故选：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9.若向量，，则（）A. B.C. D.答案：AD【解析】分析：根据空间向量夹角公式判断A，根据空间向量垂直的坐标表示判断B，根据空间向量平行的坐标关系判断C，根据空间向量的模的公式判断D．【详解】由已知，，D正确；，与不垂直．B错误；，A正确；设，则，，，满足条件不存在，因此与不共线，C错误；故选：AD．10.两平行直线和间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程为（）A. B. C. D.答案：BC【解析】分析：设出直线的方程，由两平行线间距离公式列出方程，求出，得到直线方程.【详解】设直线的方程为，由两平行线间距离公式可知：，解得：或，当时，直线的方程为，即，当时，直线的方程为，即，故直线的方程为或.故选：BC11.已知直线：和直线：，下列说法正确的是（）A.始终过定点B.若，则或-3C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限答案：ACD【解析】分析：将直线化可判断A；将或-3代入直线方程可判断B；根据可判断C；将直线化为，即可求解.【详解】：过点，A正确；当时，，重合，故B错误；由，得或2，故C正确；：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查了直线过定点、直线垂直求参数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.12.若直线l：mx+(2m-1)y-6=0与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值是（）A.2 B. C.3 D.-答案：AD【解析】分析：根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：∵直线l与两坐标轴围成三角形，∴，，且，令，解得，令，解得，，，或，当时，，方程无解；当，解得或．故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．13.直线的倾斜角为_________．答案：【解析】分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角【详解】，则，斜率为则，解得故答案为【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，解题的关键是求出直线的斜率，属于基础题14.在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(0，4)，O为坐标原点，则△ABO的外接圆的方程是__________.答案：(x-1)2+(y-2)2=5【解析】分析：由题意可知：，所以为直角三角形，其外接圆圆心为斜边的中点，半径为斜边长度的一半，进而求解.【详解】由题意可知:,故为直角三角形,的外接圆的圆心为的中点，半径为,所以外接圆的标准方程为,故答案为:.15.在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点B是直线l：x-2y-2=0的动点，则|AB|的最小值为__________．答案：【解析】分析：根据时最小求解即可．【详解】解：当时最小，．故答案为：．16.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________．答案：【解析】分析：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到直线的距离．【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则点到直线的距离：．点到直线的距离为．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17.已知关于x，y的二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+3=0.（1）若方程表示的曲线是圆，求证：点在圆x2+y2=12外；（2）若方程表示的圆C的圆心在直线x+y-1=0上且在第二象限，半径为，求圆C的方程.答案：（1）证明见解析（2）【解析】分析：（1）由二元二次方程能表示圆的一般方程的条件易证得所求；（2）利用圆的一般式得到圆心与半径关于的表达式，进而由题设条件得到关于的方程组，解之即可得到圆C的方程.【小问1详解】因为方程x2+y2+Dx+Ey+3=0表示的曲线是圆，所以D2+E2-12>0，即D2+E2>12，因而点在圆x2+y2=12外.【小问2详解】由题意知，圆心，因为圆心在直线x+y-1=0上，所以，即①，又因为半径，即②，联立①②，解得或，又因为圆心在第二象限，所以，，即D>0，E<0.所以，故圆的一般方程为，即.18.在△ABC中，顶点B的坐标为(1，2)，顶点A在x轴上，边BC上的高AH所在直线的方程为x-2y+1=0，边AB，AC所在直线的倾斜角之和为180º.（1）求顶点A的坐标和直线BC的方程；（2）求△ABC的面积.答案：（1）(-1，0)，2x+y-4=0（2）12【解析】分析：(1)A点的坐标可以由AH与两条直线联立得到.由AH与BC垂直，可得BC斜率，点斜式就可得到BC的方程.(2)由AB，AC所在直线的倾斜角之和为180º与A点坐标可求得AC的方程，联立方程组得C点的坐标，求BC长度，用面积公示即可求出.【小问1详解】由方程组求得点A的坐标为(-1，0).因为BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，斜率为所以边BC所在直线的斜率为-2，因而边BC所在直线的方程为y-2=-2(x-1)，即2x+y-4=0.【小问2详解】因为边AB所在直线的斜率为kAB=1，边AB，AC所在直线的倾斜角之和为180º所以边AC所在直线的斜率为-1，其方程为y=-(x+1)，即x+y+1=0.联立方程解得，即顶点C的坐标为(5，-6)，所以|BC|=4点A到直线BC的距离，因而△ABC的面积为.19.如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，CC1=3，CD=2，且∠C1CB=∠C1CD=60°.（1）求证：BD⊥CA1；（2）求CA1的长.答案：（1）证明见解析（2）【解析】分析：（1）利用空间向量的线性运算得到，，再利用已知的模与夹角求得与的数量积为0，从而证得BD⊥CA1；（2）利用数量积的性质，由已知的模与夹角求得，从而求得CA1的长.【小问1详解】设，，，由已知条件，得，，，，而，，所以，所以，即BD⊥CA1..【小问2详解】由（1）得，则，所以，即A1C的长为.20.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=，D是棱AC的中点，且AB=BC=BB1=2．（1）求异面直线AB1与BC1所成角的大小；（2）求直线AB1与平面BC1D的距离．答案：（1）（2）【解析】分析：（1）利用与的数量积求异面直线所成的角即可；（2）先证明AB1平面BC1D，再根据在平面BC1D法向量上的投影求解即可．【小问1详解】解：以为基底建立空间直角坐标系，连接于点O，则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)．所以=(0，-2，2)，=(2，0，2)，===，设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则=，因为θ∈，所以θ=．【小问2详解】解：由（1）知D(1，1，0)，直线AB1的方向向量为=(0，-2，2)，设平面BC1D的法向量为=(x，y，z)，因为=(2，0，2)，=(1，1，0)，由0，0得，化简得，取，得，，∴平面BC1D的法向量为=(-1，1，1)，(0，-2，2)·(-1，1，1)=0-2+2=0，∴⊥，即AB1平面BC1D，∴直线AB1与平面BC1D的距离为点A到平面BC1D的距离，，∴直线AB1与平面BC1D的距离为．21.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M分别是BC，AE的中点，AD=AA1=1，AB=2.（1）试问在线段CD1上是否存在一点N，使MN∥平面ADD1A1?若存在，确定N的位置；若不存在，请说明理由；（2）在（1）中，当MN∥平面ADD1A1时，试确定直线BB1与平面DMN的交点F的位置，并求BF的长.答案：（1）存在，N为CD1的中点（2）点F是线段BB1上靠近点B的一个三等分点，BF=【解析】分析：(1)建立如图空间直角坐标系，假设CD1上存在点N使MN∥平面ADD1A1并设=λ利用空间向量法求出平面ADD1A1的法向量，根据⊥求出即可；(2)根据题意可知点F在平面DMN内，设F（1，2，t)，结合空间向量的基本定理求出即可.【小问1详解】如图，以{}为基底建立空间直角坐标系D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，E，M，所以=(0，2，0)，==(0，-2，1).法一：假设CD1上存在点N使MN//平面ADD1A1，并设=λ=λ(0，-2，1)=(0，-2λ，λ)(0<λ<1)，则=+=(0，2，0)+(0，-2λ，λ)=，=-=，由题意知=(0，2，0)是平面ADD1A1的一个法向量，所以⊥，即2(1-2λ)=0，解得λ=.因为MN⊄平面ADD1A1，所以当N为CD1的中点时，MN//平面ADD1A1.法二：由CD1面Dyz，假设CD1上存在点N(0，y，z)，使MN//平面ADD1A1，在△CDD1中，由三角形相似的性质知，，即①，=(0，2，0)是平面ADD1A1的一个法向量，而由得②，由①②得：y=1，，因为MN⊄平面ADD1A1，所以当N为CD1的中点时，MN//平面ADD1A1.，【小问2详解】法一：由已知，点F在直线BB1上，因直线BB1与z轴平行，可设F（1，2，t)，，又点F平面DMN内，因而存在实数，使得=+，即（1，2，t)=，，整理得：（1，2，t)=，因而，解得，所以F（1，2，)，故是线段BB1上靠近点B的一个三等分点，BF=.法二：由已知，点F在直线BB1上，因直线BB1