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文档简介
东莞四中2022-2023学年度第一学期期中考试高二数学一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.二元方程表示圆C,圆心的坐标和半径分别为()A. B. C. D.2.在空间四边形ABCD中,M,G分别是BC,CD的中点,则()A B.2 C.3 D.33.将直线l上一点向右平移1个单位,再向上平移2个单位,得到的点B仍在直线l上,则直线l的方程是()A. B. C. D.4.如图,在正方形网格中,已知,,三点不共线,为平面内一定点,点为平面外任意一点,则下列向量能表示向量的为()A. B.C. D.5.如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为,点E,F,G分别是AB,AD,DC中点,则下列向量的数量积等于的是()A B.C. D.6.在长方体中,若向量在单位正交基底下的坐标为,则向量在单位正交基底下的坐标为()A. B. C. D.7.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是A等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BB1与面ACD1所成角的正弦值为()A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.若向量,,则()A. B.C. D.10.两平行直线和间的距离为,若直线的方程为,则直线的方程为()A. B. C. D.11.已知直线:和直线:,下列说法正确的是()A.始终过定点B.若,则或-3C.若,则或2D.当时,始终不过第三象限12.若直线l:mx+(2m-1)y-6=0与两坐标轴所围成的三角形的面积为3,则m的值是()A.2 B. C.3 D.-三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13.直线的倾斜角为_________.14.在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则△ABO的外接圆的方程是__________.15.在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点B是直线l:x-2y-2=0动点,则|AB|的最小值为__________.16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为________.四、解答题:本大题共6小题,第17题10分,18、19、20、21、22题各12分,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内,超出指定区域的答案无效.17.已知关于x,y的二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+3=0.(1)若方程表示的曲线是圆,求证:点在圆x2+y2=12外;(2)若方程表示的圆C的圆心在直线x+y-1=0上且在第二象限,半径为,求圆C的方程.18.在△ABC中,顶点B的坐标为(1,2),顶点A在x轴上,边BC上的高AH所在直线的方程为x-2y+1=0,边AB,AC所在直线的倾斜角之和为180º.(1)求顶点A的坐标和直线BC的方程;(2)求△ABC的面积.19.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,CC1=3,CD=2,且∠C1CB=∠C1CD=60°.(1)求证:BD⊥CA1;(2)求CA1的长.20.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2.(1)求异面直线AB1与BC1所成角的大小;(2)求直线AB1与平面BC1D的距离.21.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M分别是BC,AE的中点,AD=AA1=1,AB=2.(1)试问在线段CD1上是否存在一点N,使MN∥平面ADD1A1?若存在,确定N的位置;若不存在,请说明理由;(2)在(1)中,当MN∥平面ADD1A1时,试确定直线BB1与平面DMN的交点F的位置,并求BF的长.22.如图,在四棱锥中,底面是边长为1的菱形,底面,,,为的中点.(1)求点到平面的距离;(2)求平面与平面所成夹角的余弦值.东莞四中2022-2023学年度第一学期期中考试高二数学一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.二元方程表示圆C,圆心的坐标和半径分别为()A. B. C. D.答案:B【解析】分析:根据方程化简为圆的标准形式,选出答案即可.【详解】解:由题知方程,即,因为该二元方程表示圆,所以圆心,半径.故选:B2.在空间四边形ABCD中,M,G分别是BC,CD的中点,则()A. B.2 C.3 D.3答案:D【解析】分析:利用中位线的性质可以得出:,然后利用向量的线性运算即可求解.【详解】因为M,G分别是BC,CD的中点,由三角形中位线的性质可得:,又因为,所以,故选:.3.将直线l上一点向右平移1个单位,再向上平移2个单位,得到的点B仍在直线l上,则直线l的方程是()A. B. C. D.答案:A【解析】分析:由平移求得点坐标,再根据都在直线上,求出直线的斜率,从而可得出答案.【详解】解:将向右平移1个单位,再向上平移2个单位,得,因为都在直线上,则,所以直线的方程为,即.
故选:A.4.如图,在正方形网格中,已知,,三点不共线,为平面内一定点,点为平面外任意一点,则下列向量能表示向量的为()A. B.C. D.答案:C【解析】分析:根据,,,四点共面,可知存在唯一的实数对,使,结合图形可得的值,即可得到答案;【详解】根据,,,四点共面,可知存在唯一的实数对,使.由图知,,故,故选:C.5.如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于的是()A. B.C. D.答案:AC【解析】分析:利用向量数量积的定义,分别计算出四个选项对应的数量积,即可得到答案.【详解】在空间四边形中,夹角为60°,所以.故A正确;夹角为120°,所以.故B错误;因为点F,G分别是AD,DC的中点,所以且,所以夹角为0°,所以.故C正确;因为点E,F分别是AB,AD的中点,所以,所以夹角为120°,所以.故D错误.故选:AC6.在长方体中,若向量在单位正交基底下的坐标为,则向量在单位正交基底下的坐标为()A. B. C. D.答案:B【解析】分析:根据向量的线性与空间向量的基本定理即可求解【详解】因为,所以向量在单位正交基底下的坐标为,故选:B7.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案:C【解析】分析:求出三点间任意两点的距离,最后运用勾股定理或者余弦定理判断出三角形的形状.【详解】由两点间的距离公式得,,,满足,故选C.【点睛】本题考查了空间两点间的距离公式,以及判断空间三点组成三角形的形状问题,考查了数学运算能力.8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BB1与面ACD1所成角的正弦值为()A. B. C. D.答案:D【解析】分析:建立如图空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,利用向量法求出和平面的法向量,结合空间向量的数量积的定义即可求解.【详解】如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则,所以,设平面的一个法向量为,有,令,则,所以,故,设直线与平面所成平面角为,则.故选:D.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.若向量,,则()A. B.C. D.答案:AD【解析】分析:根据空间向量夹角公式判断A,根据空间向量垂直的坐标表示判断B,根据空间向量平行的坐标关系判断C,根据空间向量的模的公式判断D.【详解】由已知,,D正确;,与不垂直.B错误;,A正确;设,则,,,满足条件不存在,因此与不共线,C错误;故选:AD.10.两平行直线和间的距离为,若直线的方程为,则直线的方程为()A. B. C. D.答案:BC【解析】分析:设出直线的方程,由两平行线间距离公式列出方程,求出,得到直线方程.【详解】设直线的方程为,由两平行线间距离公式可知:,解得:或,当时,直线的方程为,即,当时,直线的方程为,即,故直线的方程为或.故选:BC11.已知直线:和直线:,下列说法正确的是()A.始终过定点B.若,则或-3C.若,则或2D.当时,始终不过第三象限答案:ACD【解析】分析:将直线化可判断A;将或-3代入直线方程可判断B;根据可判断C;将直线化为,即可求解.【详解】:过点,A正确;当时,,重合,故B错误;由,得或2,故C正确;:始终过,斜率为负,不会过第三象限,故D正确.故选:ACD【点睛】本题考查了直线过定点、直线垂直求参数,考查了基本运算求解能力,属于基础题.12.若直线l:mx+(2m-1)y-6=0与两坐标轴所围成的三角形的面积为3,则m的值是()A.2 B. C.3 D.-答案:AD【解析】分析:根据三角形面积公式求解即可.【详解】解:∵直线l与两坐标轴围成三角形,∴,,且,令,解得,令,解得,,,或,当时,,方程无解;当,解得或.故选:AD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13.直线的倾斜角为_________.答案:【解析】分析:求出直线的斜率,然后求解直线的倾斜角【详解】,则,斜率为则,解得故答案为【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角,解题的关键是求出直线的斜率,属于基础题14.在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则△ABO的外接圆的方程是__________.答案:(x-1)2+(y-2)2=5【解析】分析:由题意可知:,所以为直角三角形,其外接圆圆心为斜边的中点,半径为斜边长度的一半,进而求解.【详解】由题意可知:,故为直角三角形,的外接圆的圆心为的中点,半径为,所以外接圆的标准方程为,故答案为:.15.在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点B是直线l:x-2y-2=0的动点,则|AB|的最小值为__________.答案:【解析】分析:根据时最小求解即可.【详解】解:当时最小,.故答案为:.16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为________.答案:【解析】分析:以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点到直线的距离.【详解】以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则点到直线的距离:.点到直线的距离为.故答案为:.四、解答题:本大题共6小题,第17题10分,18、19、20、21、22题各12分,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内,超出指定区域的答案无效.17.已知关于x,y的二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+3=0.(1)若方程表示的曲线是圆,求证:点在圆x2+y2=12外;(2)若方程表示的圆C的圆心在直线x+y-1=0上且在第二象限,半径为,求圆C的方程.答案:(1)证明见解析(2)【解析】分析:(1)由二元二次方程能表示圆的一般方程的条件易证得所求;(2)利用圆的一般式得到圆心与半径关于的表达式,进而由题设条件得到关于的方程组,解之即可得到圆C的方程.【小问1详解】因为方程x2+y2+Dx+Ey+3=0表示的曲线是圆,所以D2+E2-12>0,即D2+E2>12,因而点在圆x2+y2=12外.【小问2详解】由题意知,圆心,因为圆心在直线x+y-1=0上,所以,即①,又因为半径,即②,联立①②,解得或,又因为圆心在第二象限,所以,,即D>0,E<0.所以,故圆的一般方程为,即.18.在△ABC中,顶点B的坐标为(1,2),顶点A在x轴上,边BC上的高AH所在直线的方程为x-2y+1=0,边AB,AC所在直线的倾斜角之和为180º.(1)求顶点A的坐标和直线BC的方程;(2)求△ABC的面积.答案:(1)(-1,0),2x+y-4=0(2)12【解析】分析:(1)A点的坐标可以由AH与两条直线联立得到.由AH与BC垂直,可得BC斜率,点斜式就可得到BC的方程.(2)由AB,AC所在直线的倾斜角之和为180º与A点坐标可求得AC的方程,联立方程组得C点的坐标,求BC长度,用面积公示即可求出.【小问1详解】由方程组求得点A的坐标为(-1,0).因为BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,斜率为所以边BC所在直线的斜率为-2,因而边BC所在直线的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.【小问2详解】因为边AB所在直线的斜率为kAB=1,边AB,AC所在直线的倾斜角之和为180º所以边AC所在直线的斜率为-1,其方程为y=-(x+1),即x+y+1=0.联立方程解得,即顶点C的坐标为(5,-6),所以|BC|=4点A到直线BC的距离,因而△ABC的面积为.19.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,CC1=3,CD=2,且∠C1CB=∠C1CD=60°.(1)求证:BD⊥CA1;(2)求CA1的长.答案:(1)证明见解析(2)【解析】分析:(1)利用空间向量的线性运算得到,,再利用已知的模与夹角求得与的数量积为0,从而证得BD⊥CA1;(2)利用数量积的性质,由已知的模与夹角求得,从而求得CA1的长.【小问1详解】设,,,由已知条件,得,,,,而,,所以,所以,即BD⊥CA1..【小问2详解】由(1)得,则,所以,即A1C的长为.20.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2.(1)求异面直线AB1与BC1所成角的大小;(2)求直线AB1与平面BC1D的距离.答案:(1)(2)【解析】分析:(1)利用与的数量积求异面直线所成的角即可;(2)先证明AB1平面BC1D,再根据在平面BC1D法向量上的投影求解即可.【小问1详解】解:以为基底建立空间直角坐标系,连接于点O,则B(0,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,2),B1(0,0,2).所以=(0,-2,2),=(2,0,2),===,设异面直线AB1与BC1所成的角为θ,则=,因为θ∈,所以θ=.【小问2详解】解:由(1)知D(1,1,0),直线AB1的方向向量为=(0,-2,2),设平面BC1D的法向量为=(x,y,z),因为=(2,0,2),=(1,1,0),由0,0得,化简得,取,得,,∴平面BC1D的法向量为=(-1,1,1),(0,-2,2)·(-1,1,1)=0-2+2=0,∴⊥,即AB1平面BC1D,∴直线AB1与平面BC1D的距离为点A到平面BC1D的距离,,∴直线AB1与平面BC1D的距离为.21.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M分别是BC,AE的中点,AD=AA1=1,AB=2.(1)试问在线段CD1上是否存在一点N,使MN∥平面ADD1A1?若存在,确定N的位置;若不存在,请说明理由;(2)在(1)中,当MN∥平面ADD1A1时,试确定直线BB1与平面DMN的交点F的位置,并求BF的长.答案:(1)存在,N为CD1的中点(2)点F是线段BB1上靠近点B的一个三等分点,BF=【解析】分析:(1)建立如图空间直角坐标系,假设CD1上存在点N使MN∥平面ADD1A1并设=λ利用空间向量法求出平面ADD1A1的法向量,根据⊥求出即可;(2)根据题意可知点F在平面DMN内,设F(1,2,t),结合空间向量的基本定理求出即可.【小问1详解】如图,以{}为基底建立空间直角坐标系D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),E,M,所以=(0,2,0),==(0,-2,1).法一:假设CD1上存在点N使MN//平面ADD1A1,并设=λ=λ(0,-2,1)=(0,-2λ,λ)(0<λ<1),则=+=(0,2,0)+(0,-2λ,λ)=,=-=,由题意知=(0,2,0)是平面ADD1A1的一个法向量,所以⊥,即2(1-2λ)=0,解得λ=.因为MN⊄平面ADD1A1,所以当N为CD1的中点时,MN//平面ADD1A1.法二:由CD1面Dyz,假设CD1上存在点N(0,y,z),使MN//平面ADD1A1,在△CDD1中,由三角形相似的性质知,,即①,=(0,2,0)是平面ADD1A1的一个法向量,而由得②,由①②得:y=1,,因为MN⊄平面ADD1A1,所以当N为CD1的中点时,MN//平面ADD1A1.,【小问2详解】法一:由已知,点F在直线BB1上,因直线BB1与z轴平行,可设F(1,2,t),,又点F平面DMN内,因而存在实数,使得=+,即(1,2,t)=,,整理得:(1,2,t)=,因而,解得,所以F(1,2,),故是线段BB1上靠近点B的一个三等分点,BF=.法二:由已知,点F在直线BB1上,因直线BB1
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