2024年中考数学【高分·突破】压轴题培优专题精练压轴热点考点04含参不等式组及其应用(原卷版+解析)

压轴热点考点04含参不等式组及其应用一、单选题1．抛物线与在的范围内始终存在，则a的取值范围是（

）A．且 B．且C． D．2．已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（）A．若点在点左侧，则解集为B．若点在点右侧，则解集为C．若解集为，则点必在点左侧D．若解集为，则点必在点右侧3．求的最小值（）A．12 B．6 C． D．34．用①；②；③三个不等式中的两个作为题设，另一个作为结论的命题中，真命题是：A．若①②，则③ B．若①③，则②C．若②③，则① D．以上都不是真命题5．课堂上，老师给出了这样一道题目：“求关于x的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集”，甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来是无解，不能在数轴上表示．”乙看了看甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”通过甲、乙两人的对话，你认为甲将数字3可能抄成了数字（）A．1 B．2 C．4 D．56．若对于任意实数x，表示不超过x的最大整数，例如那么以下说法正确的有（

）①；

②；

③若满足，则；④若＝，则；

⑤对于任意的实数x，均有：A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．若关于x的分式方程有正数解，求m的取值范围．甲解得的答案是：，乙解得的答案是：，则正确的是（

）A．只有甲答案对 B．只有乙答案对C．甲、乙答案合在一起才正确 D．甲、乙答案合在一起也不正确8．某通信技术公司在测试5G网速时，发现其下载一个1KB的文件用时0.0000038s，若下载一个的文件所用的时间可以用科学记数法表示为，则m的值可以是（

）A．2 B．20 C．200 D．2000二、填空题9．某公司需要采购甲种原料41箱，乙种原料31箱．现安排A，B，C三种不同型号的卡车来运输这批原料，已知7箱甲原料和5箱乙原料可装满一辆A型卡车；5箱甲原料和7箱乙原料可装满一辆B型卡车；3箱甲原料和2箱乙原料可装满一辆C型卡车．A型卡车运输费用为一次2000元，B型卡车运输费用为一次1800元，C型卡车运输费用为一次1000元．（1）如果安排5辆A型卡车、1辆B型卡车、1辆C型卡车运输这批原料，需要运费元；（2）如果要求每种类型的卡车至少使用一辆，则运输这批原料的总费用最低为元．10．如图，用40m长的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，若，则的取值范围为．11．A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A，B，C这三种原料的袋数依次为（均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W（单位：kg）=（用含的代数式表示）：为了提升产品的品质，要求，当的值依次是时，这种产品的成本最低．12．对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m，若千位与百位数字之和等于十位与个数位数字之和，则称m为“一致数”．设一个“一致数”满足且，将m的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，并记；一个两位数，将N的各个数位数字之和记为；当（k为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m中，满足为偶数时，k的值为，m的值为．13．定义向下取整记号，其表示不超过实数的最大整数．已知，且，求得的值为．14．请你写出一个点的坐标，它在第一象限，且在直线上，这个点可以为．（写出一个即可）．15．一种笔记本售价为6.3元/本，若一次性购买超过20本，则让利优惠，所买笔记本每本均按元销售，要使让利后的销售额大于20本的销售额，则的取值范围为．16．某公司为解决接送员工上下班问题，特设置区间车项目组，该项目组的月收支差额y（月票总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象如图所示，目前该项目亏损，为了扭亏，有关部门举行提高月票单价的听证会．乘客代表认为：项目组应节约能源，改善管理，降低运营成本，从而实现扭亏．项目组认为：运营成本难以下降，项目组已尽力，提高月票单价才能扭亏．有关部门建议：公司对该项目进行适当的补助，并适当提高月票单价，让该项目实现扭亏为赢．

（1）图中点B的实际意义为；（2）公司每月该补助项目组2000元，且每月有120人要乘坐区间车，若该项目组想要获得不少于1400元的利润，则月票单价至少提高．三、解答题17．某咖啡店提供“到店自取”和“线上配送”两种模式，收费标准如下：到店自取20元/杯；线上配送24元/杯，配送费为6元/次．选择“线上配送”模式如果总费用达到58元及以上，可用平台“满58元立减18元”优惠券一次．小明一次性购买若干杯咖啡，发现“到店自取”和“线上配送”的实际支付金额一样，求小明一次性购买了多少杯咖啡？18．2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州奥体中心体育场盛大开幕，潮起东方惊艳世界，奥体中心体育场的设计也同样令人赞叹，以莲花为原型，由28片大“莲花瓣”和27片小“莲花瓣”组成，宛如一朵绽放的莲花，栩栩如生.建设初期，计划由甲、乙两工程队承包完成其中一个小项目，若乙队单独施工，则恰好在计划工期完成；若甲队单独施工，可提前8天完成；若甲、乙两队先同时施工6天，剩下的由乙队单独施工，也可以提前8天完成.(1)求甲、乙两队单独完成该项目所需的时间；(2)实际施工时，甲队先单独施工若干天，剩下的工程由乙队单独施工完成，甲队每天施工费用为2万元，乙队每天施工费用为1.25万元，为了控制预算，该项目支付给工程队的施工总费用不超过45万元，则甲队至多施工多少天？19．数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的2.5倍．(1)求每套《古今数学思想》的价格；(2)学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？20．今年某市疫情形势严峻，物资紧缺．为保障物资供应，相关部门加强蔬菜抢种和抢收力度，建议取消蔬菜采收后养地的传统做法，采用采收后立即播种的新种植方式．当季某种蔬菜的适宜生育温度为，在平均温度时，传统种植方式平均产量为千克亩，采用新种植方式后，平均产量为千克亩．已知公司在郊区承包该种蔬菜种植面积亩，其中亩采用新种植方式，这亩共采收蔬菜千克．(1)平均温度20℃时，求该种蔬菜采用新种植方式每亩的平均产量；(2)采用新种植方式的蔬菜原计划在月日上市，为提前上市应对需求的激增，公司启动大棚内智能化控温设备，缩短蔬菜生长周期．经调查，当平均温度超过时，温度升高会导致蔬菜幼苗成活率下降，每升高，平均每亩产量减少千克；提前上市的天数y（天）与温度t（℃）满足为了确保蔬菜所需的供应量，要求平均产量不低于千克亩，判断这批蔬菜能否在月日上市？并说明理由．压轴热点考点04含参不等式组及其应用一、单选题1．抛物线与在的范围内始终存在，则a的取值范围是（

）A．且 B．且C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用分类讨论思想是解题关键．运用分类讨论的方法即可得出a的取值范围．【详解】解：当时，，，，符合条件．当时，，，当时，此时可化为，即，解得；当时，此时可化为，即，解得，又∵，∴．2．已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（）A．若点在点左侧，则解集为B．若点在点右侧，则解集为C．若解集为，则点必在点左侧D．若解集为，则点必在点右侧【答案】C【分析】根据不等式的性质化简求值即可.【详解】关于的不等式化为，当时，解集为，此时点在原点左侧，故A，B，D选项错误，C选项正确，故选C．【点睛】此题考查了不等式性质，解题的关键是熟悉不等式的基本性质.3．求的最小值（）A．12 B．6 C． D．3【答案】C【分析】根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，即可进行解答．【详解】解：①当时，原式，，；②当时，原式，，；③当时，原式，，；④当时，原式，，．综上，当时，原式有最小值为．故选：C．【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值化简的方法，正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数．4．用①；②；③三个不等式中的两个作为题设，另一个作为结论的命题中，真命题是：A．若①②，则③ B．若①③，则②C．若②③，则① D．以上都不是真命题【答案】D【分析】根据题意得出三个命题，由不等式的性质再判断真假即可．【详解】解：根据题意，一共有三种命题组合方式：①如果，，那么，当、时，，那么，故①不是真命题；②如果，，那么，当、都是负数时，如果，，那么，故②不是真命题；③如果，，那么，当、都是负数时，如果，，那么，故③不是真命题，综上所述，三种组合方式都不是真命题．故选：．【点睛】此题考查了命题与定理，解题的关键是掌握不等式及不等式组及其性质．5．课堂上，老师给出了这样一道题目：“求关于x的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集”，甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来是无解，不能在数轴上表示．”乙看了看甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”通过甲、乙两人的对话，你认为甲将数字3可能抄成了数字（）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【分析】设甲将数字3抄成了数字a，根据不等式组无解，求出的取值范围，即可得出结果．【详解】解：设甲将数字3抄成了数字a，，解不等式①得：，解不等式②得：，∵此不等式组无解，∴，解得：，∴甲将数字3可能抄成了数字5，故选：D．【点睛】本题考查根据不等式组的解集情况求参数的值，正确的计算出不等式组的解集，是解题的关键．6．若对于任意实数x，表示不超过x的最大整数，例如那么以下说法正确的有（

）①；

②；

③若满足，则；④若＝，则；

⑤对于任意的实数x，均有：A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根新定义依次进行分析即可．【详解】解∵，∴①错误；∵，，∴②错误；∵，∴，∴,∴③错误；∵设＝，∴，，∴，∴④正确；当x为整数时，，，∴，当x为小数，设，当且小数部分大于等于0.5时，，，∴，当且小数部分小于0.5时，，，∴，∴⑤正确；故选：B．【点睛】本题考查新定义，解题的关键是正确理解新定义．7．若关于x的分式方程有正数解，求m的取值范围．甲解得的答案是：，乙解得的答案是：，则正确的是（

）A．只有甲答案对 B．只有乙答案对C．甲、乙答案合在一起才正确 D．甲、乙答案合在一起也不正确【答案】D【分析】先解分式方程，得出，根据关于x的分式方程有正数解，得出，解不等式组即可得出答案．【详解】解：，去分母得：，移项，合并同类项得：，解得：，∵关于x的分式方程有正数解，∴，解得：或，且，∴甲、乙答案合在一起也不正确，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解不等式组，解题的关键是根据关于x的分式方程有正数解，列出关于m的不等式组．8．某通信技术公司在测试5G网速时，发现其下载一个1KB的文件用时0.0000038s，若下载一个的文件所用的时间可以用科学记数法表示为，则m的值可以是（

）A．2 B．20 C．200 D．2000【答案】B【分析】将0.0000038写成，则下载一个的文件所用的时间为，进而得出，再根据即可求出m的取值范围．【详解】解：，，，，，，观察4个选项可知，只有B选项符合要求，故选B．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，不等式的性质等，解题的关键是掌握科学记数法中的取值范围．二、填空题9．某公司需要采购甲种原料41箱，乙种原料31箱．现安排A，B，C三种不同型号的卡车来运输这批原料，已知7箱甲原料和5箱乙原料可装满一辆A型卡车；5箱甲原料和7箱乙原料可装满一辆B型卡车；3箱甲原料和2箱乙原料可装满一辆C型卡车．A型卡车运输费用为一次2000元，B型卡车运输费用为一次1800元，C型卡车运输费用为一次1000元．（1）如果安排5辆A型卡车、1辆B型卡车、1辆C型卡车运输这批原料，需要运费元；（2）如果要求每种类型的卡车至少使用一辆，则运输这批原料的总费用最低为元．【答案】1280012600【分析】（1）根据题意，列式子，计算即可；（2）根据每个卡车至少使用1辆，根据余下乙原料的量，分析即可；【详解】（1）安排5辆A型卡车、1辆B型卡车、1辆C型卡车运输的费用为：元故答案为：12800．（2）当每个卡车至少使用1辆时，余下甲原料有箱，乙原料有箱，设余下的原料中，需要A型车a辆，B型车b辆，C型车c辆则满足对比可知，1辆A型车和2辆C型车的费用相等，但是1辆A型车运输的却比2辆C型车运输的多，故故为了使总费用最少，余下原料的分配中，减少对C车的选择；且甲原料最多，而三个车型中，A型车对甲原料的运输的最多，在余下原料的分配中，优先考虑A型车；故根据余下的原料可能的方案有：①A型车4辆，B型车0辆，C型车0辆，费用为②A型车3辆，B型车1辆，C型车0辆，费用为③A型车3辆，B型车2辆，C型车0辆，费用比②高，不考虑④A型车3辆，B型车3辆，C型车0辆，费用比②高，不考虑即随着B型车选择的增多，余下的甲原料额外需要增加A型车取运输，故③，④不考虑、故答案为：12600【点睛】本题考查了不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的信息，找到优先考虑的情况．10．如图，用40m长的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，若，则的取值范围为．【答案】【分析】根据题意可得，从而表示出，再由即可得到，解不等式组即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：，，，，解得：，的取值范围为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．11．A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A，B，C这三种原料的袋数依次为（均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W（单位：kg）=（用含的代数式表示）：为了提升产品的品质，要求，当的值依次是时，这种产品的成本最低．【答案】1，5，1【分析】根据重量等于单袋重量乘以袋数，列式计算即可；运用不等式的基本性质计算即可．【详解】∵A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，需要A，B，C这三种原料的袋数依次为（均为正整数），∴，故答案为：；设总成本价为M元，根据题意，得，∵均为正整数，，∴，当且仅当，时，成本最低，此时，故，故答案为：1,5,1．【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．12．对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m，若千位与百位数字之和等于十位与个数位数字之和，则称m为“一致数”．设一个“一致数”满足且，将m的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，并记；一个两位数，将N的各个数位数字之和记为；当（k为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m中，满足为偶数时，k的值为，m的值为．【答案】【分析】设一个“一致数”满足且，得出，然后分类讨论即可求解．【详解】解：设一个“一致数”满足且，则，∴，一个两位数，将N的各个数位数字之和记为，则，∵即∴∴，∵满足为偶数时，为偶数，∵，∴且为偶数，当时，则，当，时，（，舍去）当，时，（，舍去）当，时，，则，∴，故答案为：；．【点睛】本题考查了整除，整式的加减，求不等式组的整数解，理解题意解题的关键．13．定义向下取整记号，其表示不超过实数的最大整数．已知，且，求得的值为．【答案】4【分析】根据题意可知或，再根据已知条件得到不等式组，求出，即可得到，由此即可得到答案．【详解】解：∵，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了新定义的实数运算，解一元一次不等式组，正确理解题意得到是解题的关键．14．请你写出一个点的坐标，它在第一象限，且在直线上，这个点可以为．（写出一个即可）．【答案】，（答案不唯一，满足，且即可）【分析】由图象上的点所在第一象限的坐标特点，，确定坐标的取值范围即可得，然后确定一个值即可求解．【详解】解：设点在第一象限，，点且在直线上，当时故答案为：【点睛】本题考查了第一象限点的特点，图像上点的性质及解一元一次不等式；解题的关键是确定的取值．15．一种笔记本售价为6.3元/本，若一次性购买超过20本，则让利优惠，所买笔记本每本均按元销售，要使让利后的销售额大于20本的销售额，则的取值范围为．【答案】．【分析】若一次性购买超过m本，，根据题意列不等式，，确定解集即可【详解】解：若一次性购买超过m本，列不等式得：，∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查不等式应用题，掌握列不等式解应用题的方法与步骤是解题关键16．某公司为解决接送员工上下班问题，特设置区间车项目组，该项目组的月收支差额y（月票总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象如图所示，目前该项目亏损，为了扭亏，有关部门举行提高月票单价的听证会．乘客代表认为：项目组应节约能源，改善管理，降低运营成本，从而实现扭亏．项目组认为：运营成本难以下降，项目组已尽力，提高月票单价才能扭亏．有关部门建议：公司对该项目进行适当的补助，并适当提高月票单价，让该项目实现扭亏为赢．

（1）图中点B的实际意义为；（2）公司每月该补助项目组2000元，且每月有120人要乘坐区间车，若该项目组想要获得不少于1400元的利润，则月票单价至少提高．【答案】当月乘客量为150人时，月票总收入等于运营成本25元【分析】（1）根据横纵坐标的实际意义结合题意可得答案；（2）首先求出目前月票的价格，再根据“该项目组想要获得不少于1400元的利润”列不等式求解即可．【详解】解：（1）图中点B的实际意义为当月乘客量为150人时，月票总收入等于运营成本；故答案为：当月乘客量为150人时，月票总收入等于运营成本；（2）由函数图象得：该项目运营成本为元，当月乘客量为150人时，月票总收入等于运营成本，∴目前月票价格为（元），设月票单价提高a元，由题意得：，解得：，∴月票单价至少提高25元，故答案为：25元．【点睛】本题考查了从函数图象获取信息的能力，一元一次不等式的应用，正确理解横纵坐标的实际意义是解题的关键．三、解答题17．某咖啡店提供“到店自取”和“线上配送”两种模式，收费标准如下：到店自取20元/杯；线上配送24元/杯，配送费为6元/次．选择“线上配送”模式如果总费用达到58元及以上，可用平台“满58元立减18元”优惠券一次．小明一次性购买若干杯咖啡，发现“到店自取”和“线上配送”的实际支付金额一样，求小明一次性购买了多少杯咖啡？【答案】3杯【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，根据数量关系列出一元一次方程和不等式是解题的关键．设小明购买了杯咖啡，先根据题意得出小明一定用了“满58元立减18元”优惠券，可列不等式求出x的取值范围，然后根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设小明购买了杯咖啡，若“到店自取”和“线上配送”的实际支付金额一样，则小明一定用了“满58元立减18元”优惠券，故，解得．当时，可列方程为，解得．，符合题意，小明一次性购买了3杯咖啡．18．2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州奥体中心体育场盛大开幕，潮起东方惊艳世界，奥体中心体育场的设计也同样令人赞叹，以莲花为原型，由28片大“莲花瓣”和27片小“莲花瓣”组成，宛如一朵绽放的莲花，栩栩如生.建设初期，计划由甲、乙两工程队承包完成其中一个小项目，若乙队单独施工，则恰好在计划工期完成；若甲队单独施工，可提前8天完成；若甲、乙两队先同时施工6天，剩下的由乙队单独施工，也可以提前8天完成.(1)求甲、乙两队单独完成该项目所需的时间；(2)实际施工时，甲队先单独施工若干天，剩下的工程由乙队单独施工完成，甲队每天施工费用为2万元，乙队每天施工费用为1.25万元，为了控制预算，该项目支付给工程队的施工总费用不超过45万元，则甲队至多施工多少天？【答案】(1)甲队单独完成该项目所需的时间为24天，乙队单独完成该项目所需的时间为32天(2)甲队至多施工15天【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用等知识，正确设出未知数，列出方程和不等式是解题关键．（1）设甲队单独完成该项目所需的时间为天，则乙队单独完成该项目所需的时间为天，根据若甲、乙两队先同时施工6天，剩下的由乙队单独施工，也可以提前8天完成．列出分式方程，解方程即可；（2）设甲队施工天，则乙队施工天，根据该项目支付给工程队的施工总费用不超过45万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：设甲队单独完成该项目所需的时间为天，则乙队单独完成该项目所需的时间为天，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：甲队单独完成该项目所需的时间为24天，乙队单独完成该项目所需的时间为32天；（2）解：设甲队施工天，则乙队施工天，由题意得：，解得：，答：甲队至多施工15天．19．数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的2.5倍．(1)求每套《古今数学思想》的价格；(2)学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？【答案】(1)125元(2)20套【分析】本题主要考查了不等