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文档简介
第11讲二倍角的三角函数【学习目标】1、以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌握其应用.2、通过二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导,体会转化化归、由一般到特殊的数学思想方法.【考点目录】考点一:二倍角的正弦公式考点二:二倍角的余弦公式考点三:二倍角的正切公式【基础知识】知识点一:二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦、余弦、正切公式知识点诠释:(1)公式成立的条件是:在公式中,角可以为任意角,但公式中,只有当及时才成立;(2)倍角公式不仅限于是的二倍形式,其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,才能熟练地应用好二倍角公式,这是灵活运用公式的关键.如:;2、和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式,,中,当时,就可得到二倍角的三角函数公式,它们的内在联系如下:知识点二:二倍角公式的逆用及变形1、公式的逆用;...2、公式的变形;降幂公式:升幂公式:知识点三:升(降)幂缩(扩)角公式升幂公式:,降幂公式:,知识点诠释:利用二倍角公式的等价变形:,进行“升、降幂”变换,即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换,逆用上述公式即为“降幂”变换.【考点剖析】考点一:二倍角的正弦公式例1.(2023·全国·高一课时练习)若,且,则(
)A. B. C. D.例2.(2023·北京·高一期末)已知是第二象限角,且,则(
)A. B. C. D.例3.(2023·安徽池州·高一期末)若,则(
)A.-1 B.1 C.2 D.0或2考点二:二倍角的余弦公式例4.(2023·江西省丰城中学高一期中)若,则(
).A. B. C. D.例5.(2023·陕西渭南·高一期末)已知角满足,且,则(
)A.1 B. C. D.例6.(2023·河北保定·高一阶段练习)若,则(
)A. B. C. D.考点三:二倍角的正切公式例7.(2023·江苏苏州·高一期末)已知向量,若,则(
)A. B. C. D.例8.(2023·云南昆明·高一期末)已知,为第二象限角,则(
)A. B. C. D.例9.(2023·全国·高一课时练习)已知,则的值为(
)A. B. C. D.例10.(2023·广东佛山·高一期末)若则(
)A. B. C. D.【真题演练】1.(2023·北京·高考真题)已知函数,则(
)A.在上单调递减 B.在上单调递增C.在上单调递减 D.在上单调递增2.(2023·北京·高考真题)函数是A.奇函数,且最大值为2 B.偶函数,且最大值为2C.奇函数,且最大值为 D.偶函数,且最大值为3.(2023·全国·高考真题(文))(
)A. B. C. D.4.(2023·全国·高考真题(文))若,则(
)A. B. C. D.5.(2023·全国·高考真题)若,则(
)A. B. C. D.6.(2023·全国·高考真题(理))已知,且,则(
)A. B.C. D.7.(2023·全国·高考真题(文))已知∈(0,),2sin2α=cos2α+1,则sinα=A. B.C. D.8.(2023·湖北·高考真题(文))已知,,则(
)A. B. C. D.9.(2023·江苏·高考真题)已知=,则的值是____.10.(2023·天津·高考真题(理))已知.(1)求的值;(2)求的值.11.(2023·全国·高考真题(理))求的值.【过关检测】一、单选题1.(2023·贵州六盘水·高一期末)若,,则(
)A. B. C. D.2.(2023·湖北·襄阳四中高一阶段练习)下列各式中,值为的是(
)A. B.C. D.3.(2023·湖北武汉·高一期末)已知,则(
)A. B. C. D.24.(2023·全国·高一课时练习)化简的结果为(
)A. B. C. D.5.(2023·湖北武汉·高一期末)已知角,,则(
)A. B. C. D.6.(2023·全国·高一课时练习)已知,则的值为(
)A. B. C. D.7.(2023·江苏南通·高一期末)已知,则(
)A. B. C. D.8.(2023·江苏常州·高一期末)已知,且,则(
)A. B. C. D.二、多选题9.(2023·甘肃兰州·高一期末)下列各式的值是的是(
)A. B.C. D.10.(2023·全国·高一课时练习)若,且,则下列各式中正确的是(
)A. B.C. D.11.(2023·江西景德镇·高一期末)若函数,则该函数(
)A.最小值为 B.最大值为 C.在上是减函数 D.奇函数12.(2023·江苏宿迁·高一期末)下列各式中值为的是(
)A. B.C. D.三、填空题13.(2023·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习(理))函数的最大值为___________.14.(2023·全国·高一课时练习)已知,则的值为__________.15.(2023·全国·高一课时练习)若,则_______________.16.(2023·全国·高一课时练习)求值:_______________.四、解答题17.(2023·上海·复旦附中高一期末)已知向量,其中,且.(1)求和的值;(2)若,且,求角的值.18.(2023·江苏·兴化市楚水实验学校高一阶段练习)已知是方程的两根,求下列各式的值:(1)(2);(3).19.(2023·全国·高一专题练习)设,若,求.20.(2023·江苏苏州·高一期末)已知角的终边与单位圆交点的横坐标为,且,求下列式子的值:(1);(2).21.(2023·江苏·南京市中华中学高一期末)由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式,对于cos3x,我们有cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx=4cos3x-3cosx可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式.一般地,存在一个n次多项式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式.(1)求证:sin3x=3sinx-4sin3x;(2)请求出P4(t),即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x;(3)利用结论cos3x=4cos3x-3cosx,求出sin18°的值.第11讲二倍角的三角函数【学习目标】1、以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌握其应用.2、通过二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导,体会转化化归、由一般到特殊的数学思想方法.【考点目录】考点一:二倍角的正弦公式考点二:二倍角的余弦公式考点三:二倍角的正切公式【基础知识】知识点一:二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦、余弦、正切公式知识点诠释:(1)公式成立的条件是:在公式中,角可以为任意角,但公式中,只有当及时才成立;(2)倍角公式不仅限于是的二倍形式,其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,才能熟练地应用好二倍角公式,这是灵活运用公式的关键.如:;2、和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式,,中,当时,就可得到二倍角的三角函数公式,它们的内在联系如下:知识点二:二倍角公式的逆用及变形1、公式的逆用;...2、公式的变形;降幂公式:升幂公式:知识点三:升(降)幂缩(扩)角公式升幂公式:,降幂公式:,知识点诠释:利用二倍角公式的等价变形:,进行“升、降幂”变换,即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换,逆用上述公式即为“降幂”变换.【考点剖析】考点一:二倍角的正弦公式例1.(2023·全国·高一课时练习)若,且,则(
)A. B. C. D.答案:A【解析】因为,故,所以,,且,即.所以,所以.故选:A.例2.(2023·北京·高一期末)已知是第二象限角,且,则(
)A. B. C. D.答案:B【解析】因为是第二象限角,且,则,因此,.故选:B.例3.(2023·安徽池州·高一期末)若,则(
)A.-1 B.1 C.2 D.0或2答案:D【解析】因为,所以,即,故或,当时,;当时,显然,此时.所以或故选:D考点二:二倍角的余弦公式例4.(2023·江西省丰城中学高一期中)若,则(
).A. B. C. D.答案:C【解析】由已知,所以,故选:C.例5.(2023·陕西渭南·高一期末)已知角满足,且,则(
)A.1 B. C. D.答案:A【解析】由,得,,因为,所以,故选:A例6.(2023·河北保定·高一阶段练习)若,则(
)A. B. C. D.答案:A【解析】由得,因此,故选:A考点三:二倍角的正切公式例7.(2023·江苏苏州·高一期末)已知向量,若,则(
)A. B. C. D.答案:C【解析】由题意可得:,整理得,即∴故选:C.例8.(2023·云南昆明·高一期末)已知,为第二象限角,则(
)A. B. C. D.答案:D【解析】因为,为第二象限角,则,所以,,因此,.故选:D.例9.(2023·全国·高一课时练习)已知,则的值为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】因为,所以,所以.故选:C.例10.(2023·广东佛山·高一期末)若则(
)A. B. C. D.答案:D【解析】.故选:D【真题演练】1.(2023·北京·高考真题)已知函数,则(
)A.在上单调递减 B.在上单调递增C.在上单调递减 D.在上单调递增答案:C【解析】因为.对于A选项,当时,,则在上单调递增,A错;对于B选项,当时,,则在上不单调,B错;对于C选项,当时,,则在上单调递减,C对;对于D选项,当时,,则在上不单调,D错.故选:C.2.(2023·北京·高考真题)函数是A.奇函数,且最大值为2 B.偶函数,且最大值为2C.奇函数,且最大值为 D.偶函数,且最大值为答案:D【解析】由题意,,所以该函数为偶函数,又,所以当时,取最大值.故选:D.3.(2023·全国·高考真题(文))(
)A. B. C. D.答案:D【解析】由题意,.故选:D.4.(2023·全国·高考真题(文))若,则(
)A. B. C. D.答案:A【解析】,,,,解得,,.故选:A.5.(2023·全国·高考真题)若,则(
)A. B. C. D.答案:C【解析】将式子进行齐次化处理得:.故选:C.6.(2023·全国·高考真题(理))已知,且,则(
)A. B.C. D.答案:A【解析】,得,即,解得或(舍去),又.故选:A.7.(2023·全国·高考真题(文))已知∈(0,),2sin2α=cos2α+1,则sinα=A. B.C. D.答案:B【解析】,.,又,,又,,故选B.8.(2023·湖北·高考真题(文))已知,,则(
)A. B. C. D.答案:A【解析】由,又,所以,所以,又,所以或(舍去),所以.故选:A.9.(2023·江苏·高考真题)已知=,则的值是____.答案:【解析】故答案为:10.(2023·天津·高考真题(理))已知.(1)求的值;(2)求的值.【解析】(1)由题意得,解得.(2)由题意得,分子分母同除得.故原式.11.(2023·全国·高考真题(理))求的值.【解析】.【过关检测】一、单选题1.(2023·贵州六盘水·高一期末)若,,则(
)A. B. C. D.答案:D【解析】,由于,所以,所以.故选:D2.(2023·湖北·襄阳四中高一阶段练习)下列各式中,值为的是(
)A. B.C. D.答案:D【解析】,不成立;B.,不成立C.,不成立;D.,成立故选:D.3.(2023·湖北武汉·高一期末)已知,则(
)A. B. C. D.2答案:C【解析】依题意,,,,,,.故选:C4.(2023·全国·高一课时练习)化简的结果为(
)A. B. C. D.答案:B【解析】原式.故选:B.5.(2023·湖北武汉·高一期末)已知角,,则(
)A. B. C. D.答案:B【解析】,因为角,即和,.因此可得,,,解得或2(舍去),因此.故选:B6.(2023·全国·高一课时练习)已知,则的值为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】因为,所以,所以.故选:C.7.(2023·江苏南通·高一期末)已知,则(
)A. B. C. D.答案:A【解析】由,得,即,两边平方,得,即.故选:A.8.(2023·江苏常州·高一期末)已知,且,则(
)A. B. C. D.答案:D【解析】因为,所以,整理得:,,,因为,所以,所以,解得:故选:D.二、多选题9.(2023·甘肃兰州·高一期末)下列各式的值是的是(
)A. B.C. D.答案:ABC【解析】对于A,,A正确;对于B,,B正确;对于C,,C正确;对于D,,D错误.故选:ABC.10.(2023·全国·高一课时练习)若,且,则下列各式中正确的是(
)A. B.C. D.答案:AD【解析】因为,所以,解得.又,所以,从而,于是.故选:AD.11.(2023·江西景德镇·高一期末)若函数,则该函数(
)A.最小值为 B.最大值为 C.在上是减函数 D.奇函数答案:AC【解析】选项A:当时,函数取得最小值.判断正确;选项B:当时,函数取得最大值.判断错误;选项C:在上单调递减,在上单调递减,则函数在上是减函数.判断正确;选项D:由可得函数为偶函数.判断错误.故选:AC12.(2023·江苏宿迁·高一期末)下列各式中值为的是(
)A. B.C. D.答案:AC【解析】因为,故选项A正确;因为,故选项B错误;因为,故选项C正确;因为,整理得,,故选项D错误;故选:AC.三、填空题13.(2023·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习(理))函数的最大值为___________.答案:【解析】,当时,.故答案为:.14.(2023·全国·高一课时练习)已知,则的值为__________.答案:【解析】因为,所以.故答案为:.15.(2023·全国·高一课时练习)若,则_______________.答案:【解析】
,由于,所以,当时,,原式,当时,,原式,综上,原式.故答案为:.16.(2023·全国·高一课时练习)求值:_______________.答案:【解析】.故答案为:四、解
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