中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题三十一平面向量的内积(原卷版+解析)

专题三十一平面向量的内积思维导图知识要点知识要点1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)夹角：cosθ＝.夹角范围：θ∈[0，π]．(3)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．典例解析典例解析【例1】(1)已知a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，则a·b等于()A．2B．3C．4D．5(2)若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于()A．6B．5C．4D．3【例1】(3)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则a·b＝_______；(4)已知向量与的夹角为120°，且＝3，＝2.若＝λ，且，则实数λ的值为________．【变式训练1】已知向量m＝(1，2)，n＝(2，3)，则m在n方向上的投影为(D)B．8C.D.【例2】(1)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________；(2)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________；(3)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________；(4)若平面向量a，b满足|a|＝1，|b|≤1，且以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为，则a和b的夹角θ的取值范围是．【变式训练2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于()A．－16B．－8C．8D．16【例3】已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝______【变式训练3】已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时：(1)ka＋b与a－3b垂直；(2)ka＋b与a－3b平行，平行时它们是同向还是反向？【例4】已知平面向量a＝(，－1)，b＝(1)求证：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．【变式训练4】在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝2，BC＝3，D，E是线段AC的三等分点，则的值为()A.B.C.D．－高考链接高考链接1．(四川省2018年对口升学考试试题)已知平面向量a＝(2，0)，b＝(1，－1)，则a·b＝()A．2B．1C．0D．－12．(四川省2018年对口升学考试试题)已知平面向量a＝(－1，2)，b＝(4，2)，则|a＋b|＝________.3．(四川省2019年对口升学考试试题)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(－3，－2)，则a·b＝________.4．(四川省2016年对口升学考试试题)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，－1)．求：(1)3a－b；(2)(3a－b)·b.同步精练同步精练选择题1．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，2)，则a·b等于()A．2B．(0，4)C．4D．(1，4)2．已知向量a＝(1，3)，b＝(2，－5)．若向量c满足c⊥(a＋b)，且b∥(a－c)，则c＝()A.B.C.D.3．在△ABC中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则等于()A．(－2，7)B．(－6，21)C．(2，－7)D．(6，－21)4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(2a＋b)·b＝0，则向量a，b的夹角为()A.B.C.D.5．给出下列命题：①；②；③若a与b共线，则a·b＝|a||b|；④(a·b)·c＝a·(b·c)．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．46．在△ABC中，a＝5，b＝8，∠C＝60°，则的值为()A．10B．20C．－10D．－207．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b＝()A．1B．－4C．－D.8．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a⊥b，那么x的值为()A．－2B．－4C．－8D．－16【提示】因为a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a⊥b，所以a·b＝x＋2×4＝0，则x＝－8.填空题9．若a＝(2，1)，b＝(3，4)，则向量a在向量b方向上的投影为________．10．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(3，－1)，＝(0，2)．若＝0，＝λ，则实数λ的值为________．11．在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈〉＝60°，则12．已知平面向量a，b满足(a－b)·(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a与b的夹角为________．13．已知四点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)．(1)求实数x，使两向量共线；(2)当两向量∥时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？专题三十一平面向量的内积思维导图知识要点知识要点1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)夹角：cosθ＝.夹角范围：θ∈[0，π]．(3)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．典例解析典例解析【例1】(1)已知a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，则a·b等于(D)A．2B．3C．4D．5(2)若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于(C)A．6B．5C．4D．3【思路点拨】(1)∵a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，∴b＝2a－(3，1)＝2(1，2)－(3，1)＝(－1，3)．∴a·b＝(1，2)·(－1，3)＝－1＋2×3＝5.(2)8a－b＝8(1，1)－(2，5)＝(6，3)，∴(8a－b)·c＝(6，3)·(3，x)＝30，即18＋3x＝30，解得x＝4.【例1】(3)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则a·b＝____5____；(4)已知向量与的夹角为120°，且＝3，＝2.若＝λ，且，则实数λ的值为________．【思路点拨】(3)∵a＝e1＋3e2，b＝2e1，∴|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2＋6e1·e2＝2＋6×＝5.(4)∵，∴＝0，∴，即∵向量的夹角为120°，＝3，＝2，∴(λ－1)·3·2·cos120°－9λ＋4＝0，得λ＝【点评】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．【变式训练1】已知向量m＝(1，2)，n＝(2，3)，则m在n方向上的投影为(D)B．8C.D.【提示】因为m＝(1，2)，n＝(2，3)，所以m在n方向上的投影为【例2】(1)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________；(2)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________；(3)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________；(4)若平面向量a，b满足|a|＝1，|b|≤1，且以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为，则a和b的夹角θ的取值范围是．【思路点拨】(1)等式平方得|a|2＝9|b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，则|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4|a||b|cosθ，即0＝4|b|2＋4·3|b|2cosθ.(2)|2a－b|2＝(2a－b)·(2a－b)＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝4×12＋22－4×0＝4＋4＝8.【点评】(1)求向量的夹角主要是利用向量的数量积公式|a|＝常用来求向量的模．【思路点拨】(3)等式|2a－b|＝两边平方得4|a|2－4a·b＋|b|2＝10，即|b|2－4|b|cos45°＋4＝10，(|b|－3)(|b|＋)＝0，|b|＝3或|b|＝－(舍去)．(4)由题意得|a||b|sinθ＝，即sinθ＝，由|b|≤1得≤sinθ≤1.【变式训练2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于(D)A．－16B．－8C．8D．16【提示】＝cosA＝＝4×4＝16.【例3】已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.【思路点拨】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度．解法一：|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，所以|a＋2b|＝＝2解法二：利用图形(如图)，可以判断出a＋2b的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为2.【变式训练3】已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时：(1)ka＋b与a－3b垂直；(2)ka＋b与a－3b平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)k·a＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直，∴由10(k－3)＋(2k＋2)×(－4)＝0得k＝19.(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，得解得此时a＋b与a－3b反向．【例4】已知平面向量a＝(，－1)，b＝(1)求证：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．【思路点拨】(1)当向量a与b是用坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.(3)a·b＝0⇔a⊥b是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.答案：(1)证明：∵a·b＝＝0，∴a⊥b.(2)解：∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0.又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝(t≠0)．【变式训练4】在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝2，BC＝3，D，E是线段AC的三等分点，则的值为(B)A.B.C.D．－高考链接高考链接1．(四川省2018年对口升学考试试题)已知平面向量a＝(2，0)，b＝(1，－1)，则a·b＝(A)A．2B．1C．0D．－1【提示】由题意知，a＝(2，0)，b＝(1，－1)，则a·b＝2×1＋0×－1＝2.2．(四川省2018年对口升学考试试题)已知平面向量a＝(－1，2)，b＝(4，2)，则|a＋b|＝____5____.【提示】由题意知，a＝(－1，2)，b＝(4，2)，则a＋b＝(3，4)，所以|a＋b|＝＝5.3．(四川省2019年对口升学考试试题)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(－3，－2)，则a·b＝____-4____.4．(四川省2016年对口升学考试试题)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，－1)．求：(1)3a－b；(2)(3a－b)·b.解：(1)由题意知a＝(1，0)，b＝(1，－1)，则3a－b＝3(1，0)－(1，－1)＝(2，1)．(2)由(1)可知，(3a－b)·b＝2×1＋1×(－1)＝1.同步精练同步精练选择题1．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，2)，则a·b等于(C)A．2B．(0，4)C．4D．(1，4)【提示】a·b＝(1，2)×(0，2)＝1×0＋2×2＝4.2．已知向量a＝(1，3)，b＝(2，－5)．若向量c满足c⊥(a＋b)，且b∥(a－c)，则c＝(A)A.B.C.D.【提示】设c＝(x，y)，由c⊥(a＋b)，得c·(a＋b)＝(x，y)·(3，－2)＝3x－2y＝0，①又b＝(2，－5)，a－c＝(1－x，3－y)，且b∥(a－c)，所以2(3－y)－(－5)×(1－x)＝0.②联立①②，解得x＝，y＝，所以c＝3．在△ABC中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则等于(B)A．(－2，7)B．(－6，21)C．(2，－7)D．(6，－21)4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(2a＋b)·b＝0，则向量a，b的夹角为(A)A.B.C.D.【提示】由(2a＋b)·b＝0得2a·b＋|b|2＝0.∴2|b|2·cos〈a，b〉＋|b|2＝0，∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.5．给出下列命题：①；②；③若a与b共线，则a·b＝|a||b|；④(a·b)·c＝a·(b·c)．其中正确命题的个数是(A)A．1B．2C．3D．4【提示】①∵，∴，∴该命题正确；②∵数量积是一个实数，不是向量，∴该命题错误；③∵a与b共线，当方向相反时，a·b＝－|a||b|，∴该命题错误；④当c与a不共线，且a·b≠0，b·c≠0时，(a·b)·c≠a·(b·c)，∴该命题错误．故正确命题的个数为1.6．在△ABC中，a＝5，b＝8，∠C＝60°，则的值为(D)A．10B．20C．－10D．－20【提示】cos(π－∠BCA)＝－|BC|·|CA|cos∠BCA＝－5×8×＝－20.7．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b＝(C)A．1B．－4C．－D.【提示】∵a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，e1，e2是夹角为的单位向量，∴a·b＝(2