中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题11填空题重点出题方向规律探究与猜想归纳思想(原卷版+解析)

专题11填空题重点出题方向规律探究与猜想归纳思想（原卷版）模块一2022中考真题集训类型一实数计算中的规律性问题1．(2023•鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为12，45，710，102．(2023•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是．类型二数式规律中的猜想归纳思想3．(2023•达州）人们把5−12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a=5−12，b=5+12，记S1=11+a+11+b，S2=21+类型三图案规律中的猜想归纳思想4．(2023•大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是．5．(2023•十堰）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，50节链条总长度为cm．类型四点的坐标中的规律探究与猜想归纳思想6．(2023•淄博）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是．7．(2023•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为．模块二2023中考押题预测8．(2023•涟源市校级模拟）定义：a是不为1的有理数，我们把11−a称为a的差倒数．如：2的差倒数是11−2=−1，−1的差倒数是11−(−1)=12．已知a1=13．a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，9．(2023•渭源县模拟）观察下列一组数：13，−12，59，10．(2023•运城二模）一组按规律排列的式子a2，a5，a8，a11，…，则第n个式子是．11．(2023•丹江口市模拟）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页，上图是其中的一部分．“杨辉三角”蕴含了许多优美的规律，小明对此非常着迷．一次，他把写的杨辉三角数表用书本遮盖住，只漏出其中某一行的一部分的5个数字：1，10，45，120，210，让同桌小聪说出第6个数字，小聪稍加思索，便说出正确答案，正确答案是．12．(2023•烟台模拟）如图，数字都是按一定规律排列的，其中x的值是．13．(2023•兴庆区校级二模）用符号f（x）表示关于自然数x的代数式，我们规定：当x为偶数时，f（x）=x2；当x为奇数时，f（x）＝3x+1．例如：f（1）＝3×1+1，f（8）=82=4．设x1＝8，x2＝f（x1），x3＝f（x2），⋯，xn＝f（xn﹣1）．以此规律，得到一列数x1、x2、x3，⋯，x2022，则这2022个数之和x1+x2+x3+⋯+x2021+14．(2023•龙口市一模）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算，输出的是﹣4，…，则第2022次输出的结果是．15．(2023•湖口县二模）有一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，…，称为斐波那契数列，由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，则这列数中第九项是．16．(2023•楚雄州一模）下面是按一定规律排列的代数式：﹣a2，3a4，﹣5a6，7a8，﹣9a10，…则第13个代数式是．

17．(2023•兴庆区校级一模）如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6……按此规律进行下去，则点A2021的坐标为．18．(2023•桑植县模拟）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7……都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2020的坐标为．19．(2023•成县校级模拟）按一定规律排列的式子：−3ba，8ba3，−15ba520．(2023•凉州区校级一模）一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a4+2b5，a4﹣2b7，…，则第n个式子是．21．(2023•云冈区二模）将一组数按如下规律排列：则第10行的第3个数是：．22．(2023•武威模拟）观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，……通过观察，用你所发现的规律确定22022的个位数字是．23．(2023•乐业县二模）观察一列数：0，3，6，3，23，15，32，…，按此规律，这列数的第22个数是24．(2023•武功县模拟）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算术》中提出如图所示的表，此表揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，它有五项，系数分别为1，4，6，4，1；根据以上规律，计算（a+b）5展开式各项系数的和等于．25．(2023•来凤县模拟）将正奇数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示奇数15，则表示奇数2021的有序实数对是为．26．(2023•肃州区模拟）按一定规律排列的多项式：﹣x+2y，x2+4y，﹣x3+6y，x4+8y，﹣x5+10y，…，根据上述规律，则第n个多项式是．27．(2023•宁远县模拟）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2022是表中第行第列．28．(2023•乌海一模）一组按规律排列的式子a22，a45，29．(2023•十堰模拟）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如4的位置位于第2行第1列、记作（2，1），类似地，12的位置记作（3，4），则2022的位置记作．30．(2023•禄劝一模）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…，按此规律，则第8个等式为．31．(2023•灞桥区校级四模）观察下列一系列数，按照这种规律排下去，那么第5行从左边数第6个数是．32．(2023•诏安县校级模拟）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据95，1612，2521，3633．(2023•迎泽区校级模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第2022个图案中有个涂有阴影的小正方形．34．(2023•黄冈模拟）对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则f（a）＝3a+1：若a为偶数，则f（a）=a2，例如f（15）＝3×15+1＝46，f（10）=102=5，若a1＝8，a2＝f（a1），a3＝f（a2），a4＝f（a3），…，依此规律进行下去，得到一列数a1，a2，a3，a4，…，an，…，（n为正整数），a1+a2+a3+…+35．(2023•庆云县模拟）德国数学家莱布尼茨发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数），又称为莱布尼茨三角形，根据前5行的规律，写出第6行的第三个数：．36．（2023•茂南区校级一模）我国的刺绣有着悠久的历史，如图，（1）（2）（3）（4）为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），则第（5）个图形中包含个小正方形．37．(2023•定安县一模）下列图案均是由边长相同的小正方形按一定的规律构成：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，……，依此规律，则第5个图中有个小正方形，第n个图中有个小正方形（用含n的代数式表示）．38．(2023•涟源市校级模拟）如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第个图案需棋子542枚．39．(2023•陇西县校级模拟）如图是按规律排列的一组图形，它们是山边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有7个三角形，第3个图形中有10个三角形，第4个图形中有13个三角形，…，则第2022个图形中有个三角形．40．(2023•普兰店区二模）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”和第（n+1）个金鱼需用火柴棒的根数为130根，则n的值为．41．(2023•武威模拟）为切实做好当前疫情防控工作，根据国务院联防联控机制有关规定，结合疫情流调溯源情况，某市统筹疫情防控和经济运行工作领导小组（指挥部）办公室决定，增加部分封控区、管控区、防范区．某地区根据疫情的发展状况，决定安排足量的工作人员．如图所示，把封控区、管控区、防范区根据需要设计成正多边形，各边上的点代表需要的工作人员，按此规律，则第n个图形需要的数是人．42．(2023•海口模拟）观察如图“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出第六个“品”字形中a的值为，c的值为．43．(2023•山西模拟）如图，用若干相同的小棒拼成含正五边形的图形，拼第1个图形需要5根小棒；拼第2个图形需要9根小棒；拼第3个图形需要13根小棒……按此规律，拼第n个图形需要根小棒（用含n的代数式表示）．44．(2023•济宁三模）如图所示，用棋子摆成“T”字形，按照图①，图②，图③的规律摆下去，若摆成第n个“T”字形需要m颗棋子，则m关于n的关系式是．45．(2023•绥化二模）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2022个图形中有颗黑色棋子．46．(2023•牡丹江一模）如图，下列每个三角形中的4个数之间都有相同的规律，根据这种规律，第n个三角形中间的数字用含n的代数式表示为．47．(2023•吕梁模拟）下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，第一个图案需6根火柴，第二个图案需11根火柴，…，依此规律，第n个图案中有根火柴棒（用含有n的代数式表示）．48．(2023•泰安模拟）如图，△ABC中，∠B＝45°，BC＝4，BC边上的高AD＝1，点P1、Q1、H1分别在边AD、AC、CD上，且四边形P1Q1H1D为正方形，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为正方形，…按此规律操作下去，则线段CQ2022的长度为．49．(2023•香洲一模）如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始以AB＝1为直径画半圆，记为第一个半圆，以BC＝2为直径画半圆，记为第二个半圆，以CD＝4为直径画半圆，记为第三个半圆，以DE＝8为直径画半圆，记为第四个半圆，…，按此规律继续画半圆，则第2022个半圆面积为（结果保留π）．50．(2023•黄冈模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A1（1，0），A2（3，0），A3（6，0），A4（10，0），…，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，…，顶点B1，B2，B3，…都在第一象限，按照这样的规律依次进行下去，点B5的坐标为；点Bn的坐标为．51．(2023•绥化三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，点P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…，根据这个规律，点P2022的坐标为．52．(2023•锦州一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−12x+1与直线l2：y=−32x+3分别交y轴于点A，B．以AB为直角边在其左侧作Rt△ABC，且另一直角边满足BC=12AB，过点C作A1B1∥AB分别交直线l1与l2于点A1，B1；以A1B1为直角边在其左侧作Rt△A1B1C1，且另一直角边满足B1C1=12A1B1，过点C1作A2B2∥A1B1分别交直线l1与l2于点A2，B2；以A2B2为直角边在其左侧作Rt△A2B2C2，且另一直角边满足B2C专题11填空题重点出题方向规律探究与猜想归纳思想（解析版）模块一2022中考真题集训类型一实数计算中的规律性问题1．(2023•鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为12，45，710，1017⋯⋯思路引领：由所给的数，发现规律为第n个数是3n−2n2+1解：∵12，45，710∴第n个数是3n−2n当n＝30时，3n−2n故答案为：88901总结提升：本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．2．(2023•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是744．思路引领：由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有n(n+1)2解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有n(n+1)2∴前27行共有378个数，∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2＝744．故答案为：744．总结提升：本题考查了数列的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．类型二数式规律中的猜想归纳思想3．(2023•达州）人们把5−12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a=5−12，b=5+12，记S1=11+a+11+b，S2=21+思路引领：利用分式的加减法则分别可求S1＝1，S2＝2，S100＝100，…，利用规律求解即可．解：∵a=5−12，∴ab=5∵S1=1S2=2…，S100=100∴S1+S2+…+S100＝1+2+…+100＝5050，故答案为：5050．总结提升：本题考查了分式的加减法，找出的规律是本题的关键．类型三图案规律中的猜想归纳思想4．(2023•大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是49．思路引领：从数字找规律，进行计算即可解答．解：由题意得：第一个图案中的“”的个数是：4＝4+3×0，第二个图案中的“”的个数是：7＝4+3×1，第三个图案中的“”的个数是：10＝4+3×2，..．∴第16个图案中的“”的个数是：4+3×15＝49，故答案为：49．总结提升：本题考查了规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．5．(2023•十堰）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，50节链条总长度为91cm．思路引领：先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算即可解答．解：由题意得：1节链条的长度＝2.8cm，2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，..．∴50节链条总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm），故答案为：91．总结提升：本题考查了规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．类型四点的坐标中的规律探究与猜想归纳思想6．(2023•淄博）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是（﹣2023，2022）．思路引领：如图，过点D1作D1E⊥y轴于E，过点D2作D2F⊥x轴于F，过点D3作D3G⊥y轴于G，过点D4作D4H⊥x轴于H，过点D5K作D5K⊥y轴于K，可得D1（1，2），D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，观察发现：每四个点一个循环，D4n（4n+1，﹣4n），D4n+1（4n+1，4n+2），D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），D4n+3（﹣4n﹣3，﹣4n﹣4），由2022＝505×4+2，推出D2022（﹣2023，2022）．解：如图，过点D1作D1E⊥y轴于E，过点D2作D2F⊥x轴于F，过点D3作D3G⊥y轴于G，过点D4作D4H⊥x轴于H，过点D5K作D5K⊥y轴于K，∵正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，D（1，0），∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝BC＝CD＝AD=2，∠BAO＝∠CBO＝∠DCO＝∠ADO∴A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，∴∠D1AE＝45°，∠AED1＝90°，AD1＝AD=2∴AE＝AD1•cos∠D1AE=2cos45°＝1，D1E＝AD1•sin∠D1AE=∴OE＝OA+AE＝1+1＝2，BD1＝AB+BD1=2+2∴D1（1，2），∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，∴∠D2BF＝45°，∠D2FB＝90°，BD2＝BD1＝22，∴D2F＝BD2sin∠D2BF＝22sin45°＝2，BF＝BD2cos∠D2BF＝22cos45°＝2，∴OF＝OB+BF＝1+2＝3，∴D2（﹣3，2），再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……同理可得：D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，观察发现：每四个点一个循环，D4n（4n+1，﹣4n），D4n+1（4n+1，4n+2），D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），D4n+3（﹣4n﹣3，﹣4n﹣4），∵2022＝4×505+2，∴D2022（﹣2023，2022）；故答案为：（﹣2023，2022）．总结提升：本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．7．(2023•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为（﹣1011，20232）思路引领：根据题意得点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，可求得点C2022在第二象限，从而可求得该题结果．解：由题意可得，点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，∵2022÷4＝505……2，∴点C2022在第二象限，∵位于第二象限内的点C2的坐标为（﹣1，32点C6的坐标为（﹣3，72点C10的坐标为（﹣5，112……∴点∁n的坐标为（−n2，∴当n＝2022时，−n2=−∴点C2022的坐标为（﹣1011，20232故答案为：（﹣1011，20232总结提升：此题考查了点的坐标方面规律性问题的解决能力，关键是能根据题意确定出该点的出现规律．模块二2023中考押题预测8．(2023•涟源市校级模拟）定义：a是不为1的有理数，我们把11−a称为a的差倒数．如：2的差倒数是11−2=−1，−1的差倒数是11−(−1)=12．已知a1=13．a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，思路引领：通过计算发现每3次运算结果循环出现一次，则a2022＝a3＝﹣2．解：∵a1∴a2=11−13=32，a∴每3次运算结果循环出现一次，∵2022÷3＝674，∴a2022＝a3＝﹣2，故答案为：﹣2．总结提升：本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．9．(2023•渭源县模拟）观察下列一组数：13，−12，59，−7思路引领：通过观察所给的数可得第n个数是（﹣1）n+1•2n−13n，将n解：∵13，−12，5∴13，−36，5∴11×3，−32×3，5∴第n个数是（﹣1）n+1•2n−13n∴第9个数是1727故答案为：1727总结提升：本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出数的分子与分母的规律是解题的关键．10．(2023•运城二模）一组按规律排列的式子a2，a5，a8，a11，…，则第n个式子是a3n﹣1．思路引领：通过观察发现，所给式子中每个单项式的指数的规律为3n﹣1，由此求解即可．解：∵a2，a5，a8，a11，…，∴第n个式子为a3n﹣1，故答案为：a3n﹣1．总结提升：本题考查数字是变化规律，通过观察，找到式子的指数的规律是解题的关键．11．(2023•丹江口市模拟）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页，上图是其中的一部分．“杨辉三角”蕴含了许多优美的规律，小明对此非常着迷．一次，他把写的杨辉三角数表用书本遮盖住，只漏出其中某一行的一部分的5个数字：1，10，45，120，210，让同桌小聪说出第6个数字，小聪稍加思索，便说出正确答案，正确答案是252．思路引领：通过观察，找到所给数所在行的数之间的关系，可得第6个数是10×9×8×7×65×4×3×2解：∵45=10×92，120=10×9×8∴10×9×8×7×65×4×3×2故答案为；252．总结提升：本题考查数字的变化规律，能够通过所给的杨辉三角形，找到各行数字之间的关系是解题的关键．12．(2023•烟台模拟）如图，数字都是按一定规律排列的，其中x的值是313．思路引领：通过观察可知，25＝a+b，b＝a+1，x＝25a+b，求解即可．解：由题可知，25＝a+b，b＝a+1，∴a＝12，b＝13，∵x＝25a+b，∴x＝25×12+13＝313，故答案为：313．总结提升：本题考查数字的变化规律，通过观察所给的图中的数，找个各数之间的联系是解题的关键．13．(2023•兴庆区校级二模）用符号f（x）表示关于自然数x的代数式，我们规定：当x为偶数时，f（x）=x2；当x为奇数时，f（x）＝3x+1．例如：f（1）＝3×1+1，f（8）=82=4．设x1＝8，x2＝f（x1），x3＝f（x2），⋯，xn＝f（xn﹣1）．以此规律，得到一列数x1、x2、x3，⋯，x2022，则这2022个数之和x1+x2+x3+⋯+x2021+思路引领：通过计算发现从x2开始每3次的运算结果循环一次，由此可知x2、x3，⋯，x2019循环673次，并且x2021＝4，x2022＝2，再计算即可．解：∵x1＝8，∴x2＝f（x1）＝f（8）＝4，x3＝f（x2）＝f（4）＝2，x4＝f（x3）＝f（2）＝1，x5＝f（x4）＝f（1）＝4，⋯∴从x2开始每3次的运算结果循环一次，∵(2023﹣1）÷3＝673…2，∴x2、x3，⋯，x2019循环673次，x2021＝4，x2022＝2，∵x2+x3+x4＝7，∴x1+x2+x3+⋯+x2021+x2022＝8+673×7+4+2＝4725，故答案为：4725．总结提升：本题考查数字的变化规律，根据所给的运算规律，找到结果的循环规律是解题的关键．14．(2023•龙口市一模）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算，输出的是﹣4，…，则第2022次输出的结果是﹣3．思路引领：分别求出第1次到第9次的运算结果，从而发现规律：从第二次的结果开始，每6次运算结果循环一次，即可求解．解：当x＝2时，第一次的输出结果为12第二次的输出结果为1﹣5＝﹣4，第三次的输出结果为12第四次的输出结果为12第五次的输出结果为﹣1﹣5＝﹣6，第六次的输出结果为12第七次的输出结果为﹣3﹣5＝﹣8，第八次的输出结果为12……∴从第二次的结果开始，每6次运算结果循环一次，∵(2023﹣1）÷6＝336…5，∴第2022次的结果与第7次的结果一样，∴第2022次输出的结果是﹣3，故答案为：﹣3．总结提升：本题考查数字的变化规律，由所给的运算流程图，通过计算，探索输出结果的循环规律是解题的关键．15．(2023•湖口县二模）有一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，…，称为斐波那契数列，由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，则这列数中第九项是34．思路引领：直接根据每项等于其前相邻两项的和计算即可．解：∵该数列从第三项开始，每项等于前两项的和，∴第九项等于第七项与第八项的和，即第九项的数值＝13+21＝34．故答案为：34．总结提升：本题考查了新定义，正确理解新定义是解答本题的关键．16．(2023•楚雄州一模）下面是按一定规律排列的代数式：﹣a2，3a4，﹣5a6，7a8，﹣9a10，…则第13个代数式是﹣25a26．思路引领：通过观察排列的单项式可以看出，其系数都是连续的奇数，且第奇数个代数式是负数；字母指数都是连续的偶数，根据此规律可以得出第13个代数式．解：通过排列的单项式可以看出，其系数与它的序号之间的关系是（﹣1）n（2n﹣1）；而字母指数与序号之间的关系为2n，所以第n个代数式可表示为（﹣1）n（2n﹣1）a2n，所以第13个代数式是﹣25a26．故答案为：﹣25a26．总结提升：本题考查了根据单项式排列的规律，求未知单项式，解题的关键是找出变化规律，然后把这种变化规律用代数式的序号表示出来．17．(2023•兴庆区校级一模）如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6……按此规律进行下去，则点A2021的坐标为（31010，0）．思路引领：由题意得点An到原点的距离是（3）n﹣1，且其位置按x轴的正半轴、y轴的正半轴、x轴的负半轴、y轴的正半轴的规律循环出现，即可求得此题的规律．解：由题意得，点A2到原点的距离是3，∴其坐标为（0，3）；点A3到原点的距离是（3）2＝3，∴其坐标为（﹣3，0）；点A4到原点的距离是（3）3＝33，∴其坐标为（0，﹣33）；点A5到原点的距离是（3）4＝9，∴其坐标为（9，0）；点A6到原点的距离是（3）5＝93，∴其坐标为（0，93）；……∴点An到原点的距离是（3）n﹣1，且其位置按x轴的正半轴、y轴的正半轴、x轴的负半轴、y轴的正半轴上4次一循环的规律出现，∴当n＝2021时，（3）2021﹣1＝31010，2021÷4＝505…1，∴点A2021的坐标为（31010，0），故答案为：（31010，0）．总结提升：此题考查了点的坐标规律问题的解决能力，关键是能准确观察、猜想、归纳并运用相应规律．18．(2023•桑植县模拟）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7……都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2020的坐标为（2，1010）．思路引领：根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，然后确定出第2020个点的坐标即可．解：∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，A2（1，﹣1），A4（2，2），A6（1，﹣3），A8（2，4），A10（1，﹣5），A12（2，6），…，∵2020÷4＝505，∴点A2020在第一象限，横坐标是2，纵坐标是2020÷2＝1010，∴A2020的坐标为（2，1010）．故答案为：（2，1010）．总结提升：本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2020是偶数，求出点的脚码是偶数时的变化规律是解题的关键．19．(2023•成县校级模拟）按一定规律排列的式子：−3ba，8ba3，−15ba5，24ba7思路引领：观察分子、分母的变化规律，总结出一般规律即可．解：3b，8b，15b，24b…，分子可表示为：n（n+2）b．1，3，5，7，…分母可表示为a2n﹣1，则第n个式子为：（﹣1）n•n(n+2)ba故答案是：（﹣1）n•n(n+2)ba总结提升：本题考查了单项式的知识，属于基础题，关键是观察分子、分母的变化规律．20．(2023•凉州区校级一模）一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a4+2b5，a4﹣2b7，…，则第n个式子是an+（﹣1）n+1•2b2n﹣1．思路引领：根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项的符号：第奇数项是正号，第偶数项是负号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，据此即可写出．解：观察代数式，得到第n个式子是：an+（﹣1）n+1•2b2n﹣1．故答案为：an+（﹣1）n+1•2b2n﹣1．总结提升：本题考查了探索规律，根据所排列的代数式，总结出规律是解题的关键．21．(2023•云冈区二模）将一组数按如下规律排列：则第10行的第3个数是：48．思路引领：先观察发现题中各数据之间的关系，即每个数字为连续正整数的特征，且每行数字的个数等于行数，即可确定答案．解：由图可得，第一行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…，前9行的数字有：1+2+3+4+…+9＝45个数，∴第9行最后一个数是45，∴第10行第3个数是：45+3＝48，故答案为：48．总结提升：本题考查了数字的排列规律，观察发现数字间的排列规律是解答本题的关键．22．(2023•武威模拟）观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，……通过观察，用你所发现的规律确定22022的个位数字是4．思路引领：根据已知幂的结果找出个位数的周期性规律，进而分析判断即可．解：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，可知，2n的个位数字以“2，4，8，6…”重复出现，∵2022÷4＝505……2，所以22022的个位数字是4；故答案为：4．总结提升：本题主要考查数字的变化规律，根据已知确定数字的周期规律是解题的关键．23．(2023•乐业县二模）观察一列数：0，3，6，3，23，15，32，…，按此规律，这列数的第22个数是37思路引领：观察所给数字的规律，找到一般表达式进而求解即可．解：观察这列数，得到，第n个数=3n−3∴这列数的第22个数是3×22−3=63=故答案为：37．总结提升：本题考查了数式规律中的猜想归纳，解题关键在于写出一般形式．24．(2023•武功县模拟）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算术》中提出如图所示的表，此表揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，它有五项，系数分别为1，4，6，4，1；根据以上规律，计算（a+b）5展开式各项系数的和等于32．思路引领：根据数字的变化得出系数和与次数的关系即可．解：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1，系数和为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，它有五项，系数分别为1，4，6，4，1，系数和为16；∴（a+b）5展开式各项系数的和为32，故答案为：32．总结提升：本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化规律得出系数和与次数的关系是解题的关键．25．(2023•来凤县模拟）将正奇数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示奇数15，则表示奇数2021的有序实数对是为（45，25）．思路引领：观察所给数，求出前n排共有n(n+1)2解：根据数的排列可知，第一排1个数，第二排2个数，第三排3个数，……，前n排共有n(n+1)2∵2021是这列数的第1011个数，前44排有990个数，前45排有1035个数，∴2021在第45排，∴前44排共有990个数，再通过观察，奇数排的数，从右向左增大，偶数排的数，从左向右增大，∴第45排的数从右向左增大，∵1011﹣990＝21，∴2021在45排，从左到右第25个数，故奇数2021的有序实数对是为（45，25）．故答案为：（45，25）．总结提升：本题考查数字的变化规律；能够通过所给数的排列特点，逐步确定2021的位置是解题的关键．26．(2023•肃州区模拟）按一定规律排列的多项式：﹣x+2y，x2+4y，﹣x3+6y，x4+8y，﹣x5+10y，…，根据上述规律，则第n个多项式是（﹣x）n+2ny．．思路引领：从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，再根据规律进行解答便可．解：按一定规律排列的多项式：﹣x+2y＝（﹣x）1+1×2y，x2+4y＝（﹣x）2+2×2y，﹣x3+6y＝（﹣x）3+3×2y，x4+8y＝（﹣x）4+4×2y，﹣x5+10y＝（﹣x）5+5×2y，…，则第n个多项式是（﹣x）n+2ny，故答案为：（﹣x）n+2ny．总结提升：此题考查了数字的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．27．(2023•宁远县模拟）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2022是表中第64行第6列．思路引领：根据表格中的数据，可以写出前几行的数字个数，然后即可写出前n行的数字个数，从而可以得到2022在图中的位置．解：由图可知，第一行1个数字，第二行2个数字，第三行3个数字，…，则第n行n个数字，前n行一共有n(n+1)2∵63×642＜2022＜64×65∴2022是表中第64行第6列，故答案为：64，6．总结提升：本题考查数字的变化类，解答本题的关键是发现数字的变化特点，写出前n行的数字个数．28．(2023•乌海一模）一组按规律排列的式子a22，a45，a6思路引领：根据式子中分子分母的变化得出第n个式子为a2n解：由题知，第1个式子为a2第2个式子为a2×2第3个式子为a2×3•••，第n个式子为a2n故答案为：a2n总结提升：本题主要考查数字的变化规律，根据数字变化归纳出第n个式子是解题的关键．29．(2023•十堰模拟）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如4的位置位于第2行第1列、记作（2，1），类似地，12的位置记作（3，4），则2022的位置记作（45，4）．思路引领：观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，第44行第一个数是1936，则可求得2022位置．解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，第44行第一个数是1936，∵2025﹣2022＝3，∴2022在第45行第4个数，记作（45，4）．故答案为：（45，4）．总结提升：本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．30．(2023•禄劝县一模）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…，按此规律，则第8个等式为15＝82﹣72．思路引领：根据所给的等式的形式，不难得出第n个等式为：2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，从而可求解．解：∵1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…，∴第n个等式为：2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，∴第8个等式为：2×8﹣1＝82﹣72，即15＝82﹣72，故答案为：15＝82﹣72．总结提升：本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．31．(2023•灞桥区校级四模）观察下列一系列数，按照这种规律排下去，那么第5行从左边数第6个数是22．思路引领：根据图中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以求得第5行从左边数第6个数，本题得以解决．解：由图可得，第一行有1个数，第二行有3个数，第三行有5个数，…，则第5行有9个数，前4行一共有：1+3+5+7＝16个数字，则第5行从左边数第6个数的绝对值是16+6＝22，∵图中的奇数都是负数，偶数都是正数，∴第5行从左边数第6个数是22，故答案为：22．总结提升：本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应的数字．32．(2023•诏安县校级模拟）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第6个数据是思路引领：由题意得第n个光谱数据可表示为(n+2)解：95=3232−4∴第n个光谱数据可表示为(n+2)∴第6个数据是(6+2)故答案为：6460总结提升：此题考查了数字规律问题的解决能力，关键是能通过观察、猜想、验证归纳出此题规律．33．(2023•迎泽区校级模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第2022个图案中有8089个涂有阴影的小正方形．思路引领：根据图形的变化发现规律：第n个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4n+1，进而求得第2022个图案中涂有阴影的小正方形个数．解：观察图形的变化可知：第1个图案中涂有阴影的小正方形个数为：5＝4×1+1；第2个图案中涂有阴影的小正方形个数为：9＝4×2+1；第3个图案中涂有阴影的小正方形个数为：13＝4×3+1；…发现规律：第n个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4n+1；∴第2022个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4n+1＝4×2022+1＝8089．故答案为：8089．总结提升：本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律．34．(2023•黄冈模拟）对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则f（a）＝3a+1：若a为偶数，则f（a）=a2，例如f（15）＝3×15+1＝46，f（10）=102=5，若a1＝8，a2＝f（a1），a3＝f（a2），a4＝f（a3），…，依此规律进行下去，得到一列数a1，a2，a3，a4，…，an，…，（n为正整数），a1+a2+a3+…+思路引领：按照规定：若a为奇数，则f（a）＝3a+1；若a为偶数，则f（a）=a2，直接运算得出a2、a3、a4、a5、a解：a1＝8，a2=82=4，a3=42=2，a4=22这一列数按照除a1外，按照4、2、1三个数一循环，∵(2023﹣1）÷3＝673……2，∴a1+a2+a3+…+a2022＝8+（4+2+1）×673+4+2＝8+4711+4+2＝4725．故答案为：4725．总结提升：此题考查数列的规律，通过运算得出规律：这一列数按照除a1外，按照4、2、1三个数一循环是解题的关键．35．(2023•庆云县模拟）德国数学家莱布尼茨发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数），又称为莱布尼茨三角形，根据前5行的规律，写出第6行的第三个数：160思路引领：通过题图可发现规律：下面2个相邻数的和就是上面这个数，即可得到答案．解：由数表可知，第n行的第1个数和最后1个数为1n∴第6行的第1个数和最后1个数为16中间的某个数等于下一行“两个脚”的和，例如：13=1∴第6行的第2个数为15第6行的第3个数为120故答案为：160总结提升：本题主要考查归纳推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．36．（2023•茂南区校级一模）我国的刺绣有着悠久的历史，如图，（1）（2）（3）（4）为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），则第（5）个图形中包含41个小正方形．思路引领：由图形可得：第（1）个图形中正方形的个数为：1，第（2）个图形中正方形的个数为：5＝1+3+1，第（3）个图形中正方形的个数为：13＝1+3+5+3+1，…，据此规律可求解．解：∵第（1）个图形中正方形的个数为：1，第（2）个图形中正方形的个数为：5＝1+3+1，第（3）个图形中正方形的个数为：13＝1+3+5+3+1，第（4）个图形中正方形的个数为：25＝1+3+5+7+5+3+1，…，∴第（5）个图形中正方形的个数为：1+3+5+7+9+7+5+3+1＝41．故答案为：41．总结提升：本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．37．(2023•定安县一模）下列图案均是由边长相同的小正方形按一定的规律构成：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，……，依此规律，则第5个图中有15个小正方形，第n个图中有n(n+1)2个小正方形（用含n思路引领：仔细观察图形知道第一个图形有1个正方形，第二个有3＝1+2个，第三个图形有6＝1+2+3个，由此得到规律，列式计算即可．解：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，3＝1+2，第3个图中有6个小正方形，3＝1+2+3，第4个图中有10个小正方形，3＝1+2+3+4，…，依此规律，则第5个图中有15个小正方形，第n个图中有n(n+1)2故答案为：15，n(n+1)2总结提升：此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．38．(2023•涟源市校级模拟）如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第180个图案需棋子542枚．思路引领：观察各图可知，后一个图案比前一个图案多3枚棋子，然后写出第n个图案棋子数的通项公式，即可求解．解：根据图形，第1个图案有2+3＝5枚棋子，第2个图案有2+2×3＝8枚棋子，第3个图案有2+3×3＝11枚棋子，…第n个图案有（3n+2）枚棋子，∴3n+2＝542，解得：n＝180．故答案为：180．总结提升：本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．39．(2023•陇西县校级模拟）如图是按规律排列的一组图形，它们是山边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有7个三角形，第3个图形中有10个三角形，第4个图形中有13个三角形，…，则第2022个图形中有6067个三角形．思路引领：由题意可知：第1个图案有3+1＝4个三角形，第2个图案有3×2+1＝7个三角形，第3个图案有3×3+1＝10个三角形，…依此规律，第n个图案有（3n+1）个三角形，据此可求解．解：∵第1个图案有3+1＝4个三角形，第2个图案有3×2+1＝7个三角形，第3个图案有3×3+1＝10个三角形，…∴第n个图案有（3n+1）个三角形．当n＝2022时，3n+1＝6067（个），故答案为：6067．总结提升：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．40．(2023•普兰店区二模）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”和第（n+1）个金鱼需用火柴棒的根数为130根，则n的值为10．思路引领：观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，据此找出规律即可解答．解：由图形可知：第1个金鱼需用火柴棒的根数为：2+6＝8；第2个金鱼需用火柴棒的根数为：2+2×6＝14；第3个金鱼需用火柴棒的根数为：2+3×6＝20；…；第n个金鱼需用火柴棒的根数为：2+n×6＝2+6n．∵摆n个“金鱼”和第（n+1）个金鱼需用火柴棒的根数为130根，∴2+6n+2+6（n+1）＝130，解得：n＝10．故答案为：10．总结提升：本题考查图形的变化类规律，本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法（归纳法），先观察特例，找到火柴棒根数的变化规律，然后猜想第n条小鱼所需要的火柴棒的根数．41．(2023•武威模拟）为切实做好当前疫情防控工作，根据国务院联防联控机制有关规定，结合疫情流调溯源情况，某市统筹疫情防控和经济运行工作领导小组（指挥部）办公室决定，增加部分封控区、管控区、防范区．某地区根据疫情的发展状况，决定安排足量的工作人员．如图所示，把封控区、管控区、防范区根据需要设计成正多边形，各边上的点代表需要的工作人员，按此规律，则第n个图形需要的数是（n2+2n）人．思路引领：根据图形可得：第1个图形需要工作人员的人数为：2×3﹣3，第2个图形需要工作人员的人数为：3×4﹣4，第3个图形需要工作人员的人数为：4×5﹣5，…据此可求解．解：∵第1个图形需要工作人员的人数为：2×3﹣3，第2个图形需要工作人员的人数为：3×4﹣4，第3个图形需要工作人员的人数为：4×5﹣5，…∴第n个图形需要工作人员的人数为：（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n2+2n．故答案为：（n2+2n）．总结提升：本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形分析清楚工作人员的人数与第n个图形之间的关系．42．(2023•海口模拟）观察如图“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出第六个“品”字形中a的值为11，c的值为75．思路引领：观察图中的数字发现规律：最上方的数字是连续奇数1，3，5…，左下方的数字为21，22，23…，右下方的数字＝左下方的数字+最上方的数字，据此解答即可．解：观察已知图形中的数字间的规律为：最上方的数字为：2n﹣1，左下方的数字为：2n，右下方的数字＝最上方的数字+左下方的数字，即为2n+（2n﹣1），∴第6个“品”字形中a的值为：2×6﹣1＝11，b的值为：26＝64c的值为：11+64＝75．故答案为：11，75．总结提升：本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律，运用规律．43．(2023•山西模拟）如图，用若干相同的小棒拼成含正五边形的图形，拼第1个图形需要5根小棒；拼第2个图形需要9根小棒；拼第3个图形需要13根小棒……按此规律，拼第n个图形需要（4n+1）根小棒（用含n的代数式表示）．思路引领：由题意得每个图形比前一个图形多4根小棒，可归纳出此题结果．解：由题意得，第1个图形需要小棒根数为：5＝4×1+1；第2个图形需要小棒根数为：9＝4×2+1；第3个图形需要小棒根数为：13＝4×3+1；……，∴第n个图形需要小棒根数为：4n+1，故答案为：4n+1．总结提升：此题考查了图形变化类规律问题的解决能力，关键是能根据图案变化观察、猜想、验证而得到此题蕴含的规律．44．(2023•济宁三模）如图所示，用棋子摆成“T”字形，按照图①，图②，图③的规律摆下去，若摆成第n个“T”字形需要m颗棋子，则m关于n的关系式是m＝3n+2．思路引领：先分别求得第n个“T”字形上面横行和下面竖列需要棋子个数的规律，再整体归纳出此题结果即可．解：由题意得，第1个“T”字形上面横行和下面竖列各需要需要棋子个数为3个和2个；第2个“T”字形上面横行和下面竖列各需要需要棋子个数为5个和3个；第3个“T”字形上面横行和下面竖列各需要需要棋子个数为7个和4个；……；∴第n个“T”字形上面横行和下面竖列各需要需要棋子个数为2n+1个和n+1个；∴第n个“T”字形共需要棋子个数为：（2n+1）+（n+1）＝3n+2（个），故答案为：m＝3n+2．总结提升：此题考查了图形变化类规律问题的解决能力，关键是能根据图案变化观察、猜想、验证而得到此题蕴含的规律．45．(2023•绥化二模）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2022个图形中有6069颗黑色棋子．思路引领：由图形可知：第1个图形的黑色棋子的个数为6，第2个图形的黑色棋子的个数为6+3＝9，第3个图形的黑色棋子的个数为6+3×2＝12，…由此得出第n个图形的黑色棋子的个数为6+3（n﹣1）＝3n+3，从而可求解．解：∵第1个图形的黑色棋子的个数为6，第2个图形的黑色棋子的个数为6+3＝9，第3个图形的黑色棋子的个数6+3×2＝12，…，∴第n个图形的黑色棋子的个数为6+3（n﹣1）＝3n+3，∴第2022个图形中黑色棋子的个数为：3×2022+3＝6069．故答案为：6069．总结提升：本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形的变化，找出变化规律是解题的关键．46．(2023•牡丹江一模）如图，下列每个三角形中的4个数之间都有相同的规律，根据这种规律，第n个三角形中间的数字用含n的代数式表示为5n+1．思路引领：由中间的数字是上面三角形内数字的5倍与1的和的算术平方根，据此可得．解：第1个图形中6=第2个图形中11=第3个图形中4=16∴则第n个三角形的中间数字为5n+1，故答案为：5n+1．总结提升：本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出中间的数字是上面三角形内数字的5倍与1的和的算术平方根．47．(2023•吕梁模拟）下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，第一个图案需6根火柴，第二个图案需11根火柴，…，依此规律，第n个图案中有（5n+1）根火柴棒（用含有n的代数式表示）．思路引领：根据图形的变化规律，即可得到第n个图案中的火柴数量为5n+1，化简即可得到答案．解：∵第一个图案有6根火柴，5×1+1＝6，第二个图案有11根火柴，5×2+1＝11，第三个图案有16根火柴，5×3+1＝16，……∴第n个图案有：5n+1，故答案为：（5n+1）．总结提升：本题主要考查图形的变化规律，找准图形中的变化规律是解题的关键．48．(2023•泰安模拟）如图，△ABC中，∠B＝45°，BC＝4，BC边上的高AD＝1，点P1、Q1、H1分别在边AD、AC、CD上，且四边形P1Q1H1D为正方形，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为正方形，…按此规律操作下去，则线段CQ2022的长度为(34思路引领：先求得BD，DC，AC的长，设P1D＝x，P1Q1＝H1Q1＝H1D＝P1D＝x，根据正方形的性质可得AD∥Q1H1，所以△ADC∽△CH1Q1，然后求得其相似比，同理求得△CH1Q1和△CH2Q2的相似比是43，△ADC和△CH2Q2的相似比是（43）2，依此类推：△ADC和△CH2020Q2020的相似比是（43解：∵BC边上的高AD＝1，∠B＝45°，∴BD＝1，∴DC＝BC﹣BD＝4﹣1＝3，∵AD⊥DC，∴AC=A设P1D＝x，则AP1＝AD﹣P1D＝1﹣x，P1Q1＝H1Q1＝H1D＝P1D＝x，∵四边形P1Q1H1D为正方形，∴AD∥Q1H1，∴△ADC∽△CH1Q1，∴ADQ∴1x解得x=3∴P1Q1＝H1Q1＝H1D＝P1D=3∴1x∴△ADC和△CH1Q1的相似比是43同理：△CH1Q1和△CH2Q2的相似比是43∴△ADC和△CH2Q2的相似比是（43）2依此类推：△ADC和△CH2022Q2022的相似比是（43）2022∴ACQ∴10Q∴Q2022故答案为：(3总结提升：本题考查了相似三角形的判定与性质，规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．49．(2023•香洲区校级一模）如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始以AB＝1为直径画