2023学年眉山市仁寿县高一数学（下）期末联考试卷附答案详析

2023学年眉山市仁寿县高一数学（下）期末联考试卷（全卷满分150分，考试时间120分钟）一、单选题1．复数的虚部为（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，则实数（

）A． B． C． D．3．甲；乙两位同学去参加某高校科研项目面试．已知他们通过面试的概率都是；且两人的面试结果相互之间没有影响；则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为（

）A． B． C． D．4．已知，，，四点在平面内，且任意三点都不共线，点在外，且满足，则（

）A．0 B．1 C．2 D．35．在中，点为的重心，则（

）A．B．C． D．6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断错误的是（

）A．若，，，，，则；B．若，，则；C．若，，则；D．若，，，，则.7．如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（

）A． B．C． D．8．一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则红球的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．下列命题为真命题的是（

）A．若为共扼复数，则为实数B．若i为虚数单位，为正整数，则C．复数在复平面内对应的点在第三象限D．若复数满足，则10．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（

）A．与互斥 B．C． D．与相互独立11．已知函数的部分图象如图所示，则（

）

A．B．C．在上单调递增D．的图象关于直线对称12．已知在等边△中，，为的中点，为的中点，延长交占，则（

）A． B．C． D．三、填空题13．用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是人.14．已知平面向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则.15．四种电子元件组成的电路如图所示，电子元件正常工作的概率分别为，则该电路正常工作的概率为.

16．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且.若，则的值为.

四、解答题17．目前用外卖网点餐的人越来越多，现在对大众等餐所需时间情况进行随机调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图.其中等餐所需时间的范围是，样本数据分组为，，.

(1)求频率分布直方图中的值.(2)利用频率分布直方图估计样本的平均数.(每组数据以该组数据所在区间的中点值作代表)18．一枚质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4，将该正四面体连续抛掷2次，记录每一次底面的数字．(1)求两次数字之和为7的事件的概率；(2)两次数字之和为多少的事件概率最大？并求此事件的概率．19．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．(1)试用向量表示向量；(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．20．甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；(2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．21．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面PAB是边长为1的等边三角形，底面ABCD是正方形，是侧棱PB上的点，是底面对角线AC上的点，且，．

(1)求证：；(2)求证：平面PAD；(3)求点到平面PAD的距离．22．已知向量，，函数．(1)求的最小正周期；(2)当时，求的零点和单调递增区间．数学参考答案：1．D【解析】由题得,即得复数的虚部.【详解】由题得.所以复数的虚部为.故选：D【点睛】本题主要考查复数的乘法运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．C【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案.【详解】因为，，所以，解得.故选：C.3．D【分析】根据独立事件概率乘法公式运算求解.【详解】由题意可得：甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率.故选：D.4．B【分析】根据空间向量的共面定理可求的值.【详解】因为点在外，由空间向量的共面定理可知且；由题意，所以；所以，解得.故选：B.5．B【分析】的重心为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点，根据向量线性运算的几何表示结合条件即得.【详解】设分别是的中点，

由于的重心为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点，所以.故选：B.6．C【分析】根据线面平行判定定理判断A；利用线面平行的性质及线面垂直的性质可判断B；根据空间中线线，线面的位置关系判断C；根据面面垂直的性质定理判断D.【详解】若，，，，，根据线面平行判定定理可知，故A正确；过作一平面，，若，则，又，，则，所以，故B正确；

若，，则可能平行，也可能异面，故C错误；若，，，，根据面面垂直的性质定理可知，故D正确.故选：C.7．B【分析】根据题意，由，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果.【详解】由，可得，因为底面为矩形，，，，所以，，又，所以，则.故选：B8．A【分析】根据题意可得袋中黑球的个数为，红球个数为，根据对立事件结合古典概型列式求解即可.【详解】由题意可知：袋中黑球的个数为，设红球个数为，从袋中任意摸出2个球，没有白球的概率为，因为至少得到1个白球的概率是，则，解得，所以红球的个数为1.故选：A.9．AC【分析】根据复数的相关定义，即可结合选项求解.【详解】对于A,若为共扼复数，则，故，故A正确，对于B,，故B错误，对于C,在复平面内对应的点为，在第三象限，故C正确，对于D,不能得到，比如，但是，故D错误，故选：AC10．BCD【分析】列出两次出现的点数组，由互斥事件与对立事件的定义可判断A选项；由对立事件和独立事件的概率公式可判断BCD选项.【详解】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组如下表所示：第二次第一次123456123456共有种，表示事件“两次掷出的点数相同”,表示事件“两次掷出的点数不同”，其中包括，即与不互斥，故A错误；“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷的点数都是偶数”，故B正确；表示事件“第一次为奇数，第二次为偶数”共9种：，故C正确；事件“第二次掷出的点数是偶数”共18种；，事件“两次掷出的点数相同”共6种：，表示事件“两次为相同的偶数”共3种：，即，与相互独立，故D正确.故选：BCD11．ABD【分析】由图可知，求得，可判断A；由结合求得，可判断B；利用三角函数的单调性求解可判断C；求出的解析式，进而求出对称轴，可判断D.【详解】由图可知，则，故A正确.因为，所以，即.因为，所以，则B正确.令，解得，此时单调递增；令，解得，此时单调递减.由，得在上单调递减，在上单调递增，则C错误.因为，所以.令，，得，.当时，，则的图象关于直线对称，故D正确.故选：ABD.12．AB【分析】在△ABD中，根据AE是中线可得，再根据D是AC中点即可表示出，从而判断A；设，得到，根据，，三点在一条直线上及三点共线定理的推论可得k的值，从而可判断B；用表示出，根据向量数量积运算方法即可计算，从而判断C；根据E是BD中点及D是AC中点可得，，从而可判断D．【详解】如图，

，故A正确；设，则，又，，三点在一条直线上，故，故，即，，故，故B正确；，故，故C错误；，，故，故D错误.故选：AB.13．1800【分析】利用比例求出学生总数.【详解】，故该校高中学生总数是1800人.故答案为：180014．1【分析】先根据向量的减法法则表示出，然后根据向量的共线定理进行计算.【详解】依题意得，，由三点共线可知，存在，使得，即，由于，是两个不共线的向量，则，解得.故答案为：1.15．0.8784【分析】该电路正常工作即正常工作，至少一个正常工作，再由独立事件的乘法公式，即可得出答案.【详解】该电路正常工作即正常工作，至少一个正常工作，所以该电路正常工作的概率为.故答案为：0.878416．/【分析】设，，，以构成空间的一个基底，根据，可得，将分别用表示，再根据数量积得运算律即可得解.【详解】设，，，则构成空间的一个基底，设，因为，所以，因为，，所以，即，即，解得.故答案为：.17．(1)(2)【分析】（1）由各频率和为1列方程可求出的值；（2）直接利用平均数的定义和频率分布直方图中的数据求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得（2）样本的平均数约为18．(1)；(2)两次数字之和为的事件概率最大，概率为.【分析】（1）列举法求两次数字之和为7的事件的概率；（2）列举出数字之和为的对应事件并确定概率，即可得答案.【详解】（1）由题意，2次所得数字，且分别表示第一次、第二次的对应数字，基本事件有，，，共16种；其中两次数字之和为7的事件有，共2种；所以两次数字之和为7的事件的概率为.（2）由（1），数字之和为，有，概率为；有，概率为；有，概率为；有，概率为；有，概率为；有，概率为；有，概率为；所以两次数字之和为的事件概率最大，概率为.19．(1)，(2)证明见解析【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果；（2）证得，即可得出结论.【详解】（1）因为，而，又D为的中点，所以，所以．（2）因为，，所以，，所以．所以四点共面．20．(1)(2)【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.【详解】（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，.（2）设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”，所以，则，由事件的独立性与互斥性，得，故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为．21．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)．【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得面PAB，即可得出结论；（2）法一：过作交PA于点，过作交AD于点，证明MNTS是平行四边形，推出，由线面平行的判定定理，即可得出结论；法二：过作交AB于点，可得平面PAD，平面PAD，从而平面平面PAD，由面面平行的性质可得结论；法三：连接BN并延长交直线AD于点，可得，由线面平行的判定定理，即可得出结论；（3）法一：平面PAD，点到平面PAD的距离是点到平面PAD的距离，在平面PAB内过作于，可证得平面PAD，则MH是点到平面PAD的距离，求解即可；法二：设点到平面PAD的距离为，取AB的中点，则底面ABCD，利用等体积法，由求出结果．【详解】（1）侧面底面ABCD，且平面PAB与平面ABCD的交线为AB，，平面ABCD，平面PAB，平面PAB，．（2）法一：过作交PA于点，过作交AD于点，连接ST，

，，同理可得，，，是平行四边形，，又平面PAD，平面PAD，平面PAD．法二：过作交AB于点，连接EN，

，又，，  ，又平面PAD，平面PAD，平面PAD，，平面PAD，平面PAD，平面PAD，又，平面MEN，平面平面PAD，又平面MEN，平面PAD．法三：连接BN并延长交直线AD于点，，，，，又平面PAD，平面PAD，平面PAD．

（3）法一：平面PAD，点到平面PAD的距离是点到平面PAD的距离，在平面PAB内过作于，平面PAB，平面PAB，，，平面PAD，平面PAD，是点到平面PAD的距离，在中， ，