华东师大版初中八年级数学上册14-1-1直角三角形的三边关系课件

第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.1直角三角形的三边关系知识点1勾股定理基础过关全练1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,AC=16,则AB的长为

(

)A.26

B.18

C.20

D.21C解析∵Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,AC=16,∴AB=

=

=20.故选C.2.在Rt△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边长,若∠A=9

0°,则

(

)A.a2+b2=c2

B.b2+c2=a2C.a2+c2=b2

D.b+a=cB解析∵在Rt△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边长,

∠A=90°,∴a为斜边长,∴b2+c2=a2.故选B.3.(新考法)(2024辽宁沈阳大东期末)已知Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边长,若a+b=14,c=10,则△ABC的面积为

(

)A.48

B.24

C.96

D.20B解析∵∠C=90°,c=10,∴a2+b2=c2=100,∵a+b=14,∴(a+b)2=

196,∴2ab=196-(a2+b2)=96,∴ab=48,∴△ABC的面积=

ab=

×48=24.故选B.4.(数形结合思想)如图,直线AO⊥OB,垂足为O,线段AO=6,BO

=8,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交直线AO于点C,则OC

的长为

(

)A.10

B.8

C.6

D.4D解析∵AO⊥OB,∴∠AOB=90°,∵AO=6,BO=8,∴AB=

=

=10,∴AC=AB=10,∴OC=AC-AO=10-6=4.故选D.5.(勾股树模型)(2021四川成都中考)如图,数字代表所在正方

形的面积,则A所代表的正方形的面积为

.

100解析由题意可知,直角三角形中,一条直角边长的平方=36,

另一条直角边长的平方=64,则斜边长的平方=36+64=100,即

A所代表的正方形的面积为100.6.(新独家原创)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,

A、B、C均在格点上,求AB2-CA2的值.

解析如图,在BC上选一点D,连结AD,易得△ABD与△ACD

是直角三角形,BD=3,CD=2,∴AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+CD2,

∴AB2-AC2=AD2+BD2-AD2-CD2=BD2-CD2=32-22=9-4=5.

7.(设参数法)(2024江西吉安泰和期末)若直角三角形两直角

边长的比是3∶4,斜边长为20cm,求斜边上的高.解析设两直角边长分别为3xcm和4xcm,斜边上的高为y

cm,依题意得(3x)2+(4x)2=202,解得x=4(舍负),∴3x=12,4x=16,∴

y·20=

×12×16,∴y=9.6.∴斜边上的高为9.6cm.知识点2勾股定理的证明8.(2023江苏苏州月考)如图,四边形ABCD中,BD⊥CD于点D,

AE⊥BD于点E,且△ABE≌△BCD.求证:AB2=BE2+AE2.

证明如图,连结AC.∵AE⊥BD,CD⊥BD,∴AE∥CD.∵△ABE≌△BCD,∴AB=BC,AE=BD,BE=CD,∠BAE=∠CBD.∵∠ABE+∠BAE=90°,∴∠ABE+∠CBE=90°,∴∠ABC=90°,∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=

BD·AE+

BD·CD=

AE·AE+

BD·BE=

AE2+

BD·BE.又∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=

AB·BC+

CD·DE=

AB·AB+

BE·DE=

AB2+

BE·DE,∴

AE2+

BD·BE=

AB2+

BE·DE,∴AB2=AE2+BD·BE-BE·DE,∴AB2=AE2+(BD-DE)·BE,即AB2=BE2+AE2.能力提升全练9.(数形结合思想)(2024吉林长春新区期末,9,★★☆)如图,数

轴上点A表示的数为-1,Rt△ABC的直角边AB落在数轴上,且

AB长为3个单位长度,BC长为1个单位长度,若以点A为圆心,

以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D,则点D表示的数为

(

)A.

B.

-1

C.

D.

-1D解析由勾股定理知AC=

=

=

,所以AD=AC=

.所以点D表示的数为

-1.故选D.10.(2023天津中考,10,★★☆)如图,在△ABC中,分别以点A

和点C为圆心,大于

AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于

点D,E,连结AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为

(

)

A.9

B.8

C.7

D.6D解析由题意得,直线MN是AC的垂直平分线,∴AC=2AE=8,

DA=DC,∴∠DAC=∠C,∵BD=CD,∴BD=AD,∴∠B=∠BAD,∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°,∴2∠BAD+2∠DAC=180°,∴∠BAD+∠DAC=90°,∴∠BAC=90°,

在Rt△ABC中,BC=BD+CD=2AD=10,∴AB=

==6.故选D.11.(2024河南南阳方城期末,12,★☆☆)在△ABC中,AB=AC,

AD是BC边上的中线,若AB=10,BC=12,则AD的长为

.8解析∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,BD=

BC=6,在Rt△ABD中,AB=10,BD=6,由勾股定理,得AD=

=

=8.素养探究全练12.(应用意识)(一线三垂直模型)(2024四川成都西川中学期末)数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象.

数与形也是有联系的,这种联系称为“数形结合”.利用“数

形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算.(1)勾股定理阐明了直角三角形的三边关系.请你利用下图对

勾股定理(即下列命题)进行验证,从中体会“数形结合”的

思想.已知:如图,在Rt△ABC和Rt△CDE中,∠B=∠D=∠ACE=90°,点B,C,D在一条直线上,AB=b,BC=a,AC=EC=c.证明:a2+b2=c2.(2)请利用“数形结合”思想,画图推算出(a+b+c)2的结果解析

(1)证明:梯形ABDE的面积=2×

ab+

c2,梯形ABDE的面积=

,∴2×

ab+

c2=

,∴ab+

c2=

(a2+2ab+b2),∴ab+

c2=

a2