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文档简介
2022-2023学年河南省郑州第二高级中学高二(上)月考数学试
卷(10月份)
一、单选题(本大题共12小题,共60.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.点(0,-1)到直线y=k(x+l)距离的最大值为()
A.1B.V2C.V3D.2
2.下列说法中正确的是()
A.急=忆表示过点心(修,%),且斜率为k的直线方程
B.直线y=fcx4-b与y轴交于一点8(0,b),其中截距b=\OB\
C.在X轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是X=1
D.方程(%2-Xl)(y-Vl)=(当一%)0-%1)表示过点匕。1,%),的直线
3.已知空间向量日石,不是一组单位正交向量,m=—a+6ib—5c,n=3a+8K>则钻•
n=()
A.15B.21C.45D.36
4.如果A-B>0且B・C<0,那么直线Ax+By+C=0不经过()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5.已知空间四边形。ABC,M,N分别是对边04,BC的中点,点G在线段MN上,且麻=|嬴,
设而'=+y而+z方,则x,y,z的值分别是()
1111
X=-y=-=-X=1y=1z=-
A.3336
31,31,
111--1
cX--y=6z=-X=6y=3Z=-
3*33
6.直线%s讥a+y+2=0的倾斜角的取值氾围是()
A.[0㈤B.哨U笆㈤C.[O.JD.呻呜兀)
7.如图,在四棱锥P-4BCD中,ZM1底面ABCD,底面ABCD
为正方形,PA=BC,E为的中点,F为PC的中点,则异面
直线BF与PE所成角的正弦值为()
B
Bl
r5V3
,-
D.延
9
8.在一平面直角坐标系中,已知4(一1,6),B(2,—6),现沿x轴将坐标平面折成60。的二面角,
则折叠后A,B两点间的距离为()
A.2V7B.V41C.gD.35/5
9.在三棱锥P-ABC中,PC1底面ABC,Z.BAC=90°,AB=AC=4,/.PBC=60°,则点C
到平面P4B的距离是()
A3属B4闻Q5/D6很
•7・7•7•7
10.三棱锥P-ABC中,M是棱的中点,若丽=%彳?+y荏+z1?(%,y,z€R),则x+y+
z的值为()
A.—1B.0C.D.1
11.已知实数x,y满足/-4x+3+y2=0,则要干的取值范围是()
A.£+8)B.停,+8)C.[0,i]D.生刍
12.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常
数k(k>0且k力1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点4B间的距
离为2,动点P与4、B距离之比为鱼,当P、A、B不共线时,aPAB面积的最大值是()
A.苧B.竽C.V2D.2V2
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.若直线1的一个方向向量五=(s呜,cos》则直线I的倾斜角。=.
14.已知两点4(一3,-4),8(6,3)到直线2:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于
15.若曲线y=m三口与直线y=x+6恒有公共点,贝帕的取值范围为.
16.达・芬奇认为:和音乐一样,数学和几何“包含了宇宙的一切”.从年轻时起,他就本能地
把这些主题运用在作品中.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖,在正六边形
上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1),把三片这样的达・芬奇方砖形成图2的组合,这个
组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1,则点F到直线QC的距离
e
(图1)(图2)(图3)
三、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题10.0分)
已知直线。:ax+2y+6=0和x+(a—l)y+a2—1=0(a1),试求a为何值时,
(1乂〃5
(2)/11/2.
18.(本小题12.0分)
已知4人口。的顶点4(2,1),4B边上的中线所在直线的方程为2x+3y-l=0,NB的平分线所
在直线的方程为%-2y+5=0.
(1)求B点坐标;
(2)求BC边所在的直线方程.
19.(本小题12.0分)
如图,在正方体力BCO-4当6。1中,E为8当的中点.
(1)求证:Bq〃平面4。道;
(2)求直线44]与平面所成角的余弦值.
'B
D
20.(本小题12.0分)
已知点4(1,-2),B(—1,4).
(1)求过点4B且周长最小的圆的方程;
(2)对于(1)中的圆,设过点P(2,-l)的直线1与圆心的距离是2,求直线,的方程.
21.(本小题12.0分)
在平面直角坐标系中,直线,过点P(l,2).
(1)若直线I在两坐标轴上的截距相等,求直线/的方程;
(2)若直线I分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于小B点,当44。8面积最小时,求直线2的方程.
22.(本小题12.0分)
如图,在梯形4BC0中,AB//CD,Z.DAB=90°,AD=DC=^AB=1,四边形4CFE为正方
形,平面2CFEJ_平面4BCD.
(1)求证:平面BCF_L平面ACFE;
(2)点M在线段E用上运动,是否存在点M使平面M4B与平面4CFE所成二面角的平面角的余弦
值为|,若存在,求线段FM的长:若不存在,说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是点到直线的距离公式.
直接代入点到直线的距离公式,可求解结论.
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了直线方程的几种形式,关键是对直线方程形式的理解,属于基础题.
分别由直线的点斜式方程、直线在y轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核
对四个选项进行分析判断,即可得答案.
【解答】
解:对于4点七(乙,%)不在直线上,故A不正确;
对于B,截距不是距离,是B点的纵坐标,其值可正可负.故B不正确;
对于C,经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0,不能表示为2+土=1,故C不正确;
对于。,此方程即直线的两点式方程变形,即号=息,故。正确.
故选:D.
3.【答案】C
【解析】解:•••空间向量京31是一组单位正交向量,m=-a+6b-5c,n=3a+8b,
••a-b=a-c=cb=0>
Tn,n=—3方之一8a・b+181+48b-15u,c—40c,6=—3—0+0+48—0—0=45'
故选:C.
直接代入求解即可.
本题主要考查空间向量的数量积,考查计算能力,属于基础题.
4.【答案】C
【解析】解:直线转换为
+By+C=0y=D—D
由于4・8>0且B・CV0,
所以一:<0,一5>0,
DD
故该直线经过第一,二,四象限;
故该直线不经过第三象限.
故选:C.
首先把直线的一般式转换为斜截式,进一步求出该直线经过的象限,最后确定结果.
本题考查的知识要点:直线的形式的转换,直线的位置与象限的关系,主要考查学生的运算能力
和数学思维能力,属于中档题.
5.【答案】D
【解析】解:如图所示,
■.■OG=OM+MG=^OA+lMN=^OA+^ON-1OM=yOA+
Z32336
^OB+^OC,
又有南=xO^A+y08+zOC,
111
•1-x=6'y=z=§,
故选:D.
利用向量的三角形法则和共线定理、平行四边形法则即可得出.
本题考查了向量的三角形法则和共线定理、平行四边形法则,属于基础题.
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,属于基础题.
由直线的方程可确定直线的斜率,可得其范围,进而可求倾斜角的取值范围.
【解答】
解:直线%s讥a+y+2=0的斜率为k=—sina,
v—1<sina<1,A—1<fc<1»
••・倾斜角的取值范围是[0币U声,兀),
故选:B.
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角的求法,考查空间向量的应用,是基础题.
以力为坐标原点,分别以4B,AD,4P所在直线为%,y,z轴建立空间直角坐标系,设PA=BC=2,
求出而与丽所成角的余弦值,再由同角三角函数基本关系式求解异面直线BF与PE所成角的正弦
值即可.
【解答】
解:如图,
•••P4J•底面4BCD,底面4BCD为正方形,
:.AB、AD,力P所在直线两两垂直,
.••以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
设fM=BC=2,则B(2,0,0),P(0,0,2),E[1,2,0),
.-.BF=(-1,1,1),PE=(1,2,-2))
••・co,s<”BF,P行E、>=B^FP^F=^-1+2--2=一V丁3
.•・异面直线BF与PE所成角的正弦值为/_(_各2=等
故选A.
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积运算,向量的模,考查运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.
作4c垂直于x轴,垂足为C,B。垂直于x轴,垂足为。,利用向量的线性运算得而=AC+CD+DB,
利用向量的数量积的运算求出结果.
【解答】
解:如图所示:
作ZC垂直于x轴,垂足为C,8。垂直于x轴,垂足为D,
则4c=6,BD=6,CD=3,
前和前的夹角为60。,
故而=AC+CD+DB,
2
所以证产=\AC+CD+OB|
=\AC\2+\CD\2+\DB\2+2AC-CD+2ACDB+2CDOB,
=36+9+36+2X6X6X(一3=45.
故|南|=3V5.
故选:D.
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查
运算求解能力,属于中档题.
以4为原点,4B为x轴,AC为y轴,过4作平面4BC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量
法能求出点C到平面P4B的距离.
【解答】
解:•••在三棱锥P-4BC中,PC1底面4BC,Z.BAC=
90°,AB=AC=4,4PBC=60°,
.,•以4为原点,48为x轴,AC为y轴,
过4作平面ABC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,
则C(0,4,0),P(0,4,4后),4(0,0,。),B(4,0,0),
AC=(0,4,0),AB=(4,0,0).
AP=(0,4,476),
设平面P4B的法向量元=(x,y,z),
则(元-AP=4y+4V6z=0
In-AB=4x=0
取z=1,得五=(0,—V6,1),
•・•点C到平面/MB的距离d=警=警=警.
|n|V77
故选:B.
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查向量加法法则的应用,考查数形结合思想,考查空间想象能力,属于基础题.
利用向量加法法则直接求解.
【解答】
解:•••三棱锥P-ABC中,M是棱BC的中点,
__,_(__(_(_(__,]__(
•••PM=R4+AB+BM=-AP+AB+《前
,_1_(_(
=-AP+AB+^(AC-AB)
=-AP+^AB+^AC,
,■PM=xAP+yAB+z~AC(x,y,zG/?)>
1i
•,■%+y+z=—1+-+-=0.
故选:B.
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系,分类讨论的数学思想等知识,属于中档题.
首先确定点的位置,然后整理所给的代数式,将其转化为斜率相关的问题,最后数形结合确定其
取值范围即可.
【解答】
解:实数%,y满足/-4x+3+*=o,gp(%-2)2+y2=1,表示以C(2,0)为圆心,半径等于1
的圆,
而x+y+2_x-l+y+31+雪,表示圆上的点M(x,y)与定点4(1,一3)连线的斜率k加上1,如图,
x-1x-1
当切线位于4B位置时,k最小,k+1最小,
当切线位于4E位置时,k不存在,k+1不存在,
设4B的方程为y+3=fc(x—1))即kx—y—fc—3=0,
由CB=1,可得'―M+]一1,求得k=p
而4E的方程为x=l,故k+1的范围为《,+8).
故选:A.
12.【答案】D
【解析】解:如图,以经过A、B的直线为x轴,线段4B的垂直平分线为y轴建系,如图:
则4(-1,0)、8(1,0),设P(x,y),
,,他
两边平方并整理得:/+y2_6%+1=0=(%—3)2+y2=8,所以圆的半径为2加,
P4B面积的最大值是:X2x2V2=2V2.
故选:D.
以经过4、B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建系,利用崔{=近求出圆的方程,可得
圆的半径,进而可求出三角形面积的最大值.
本题考查了轨迹方程的计算,属于中档题.
13.【答案】言
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线的方向向量,考查了直线的倾斜角和斜率的关系,属于基础题.
由题意可知k=驾,再利用诱导公式化简可得k=tan",结合倾斜角和斜率的关系即可求出直
siny14
线/的倾斜角.
【解答】
解:・直线]的一个方向向量W=(sincosy),
.cosysin(2—y)sin招5H
k.rr~nzr、Sntan打,
sin7COSr(2-y)COS瑞14
•••直线,的倾斜角”能
故答案为:答
14
14.【答案】一£或
【解析】
【分析】
本题考查了点到直线的距离公式的应用,属于基础题.
利用点到直线的距离公式即可得出.
【解答】
解:••・两点4(-3,-4),B(6,3)到直线八ax+y+1=0的距离相等,
.|-3a-4+l|_|6a+3+l|
化为|3Q+3|=|6a+4|.
J.2+1Va2+1
:•6Q+4=±(3a+3),
解得Q=_黑
故答案为:Q=—1或—
15.【答案】[—1,V2]
【解析】解:画出y=一吸与直线y=x+b的图象,
如图所示:
故―1<b<>/2,
故答案为:[―1,e].
画出图象,结合图象求出b的值即可.
本题考查了数形结合思想,考查转化思想,是一道基础题.
16.【答案】V2
【解析】
【分析】
本题考查空间中点、线、面间的距离计算,考查空间向量的应用,属于中档题.
由题意建立空间直角坐标系,利用空间向量求解点尸到直线QC的距离.
【解答】
解:建立空间直角坐标系如图,则C(0,2,0),(2(1,0,2),F(2,l,l).
衣=(1,-2,2),而=(2「U),8s〈衣,方"黯=需=彳
sin<CQ,CF>=学二点尸到直线QC的距离是|函•<页次>=乃xF=夜.
故答案为:V2.
17.【答案】解:(1)v+2y+6=0和%:》+(Q—l)y4-a2—1
0(a。1),
x
G//^2,
2
:.—1—-a-1-。--a----l,
a26
解得Q=-1.
(2),・•,i:QX+2y+6=0和%:x+(a—l)y+a2—1=0(aH1),
k_L%,
・•・a+2(a—1)=0,
解得a=1.
【解析】(1)由k〃0,得工=噂力Q匚,由此能求出a=—l.
(2)由"J.%,得a+2(a-l)=0,由此能求出a
本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线的位置关系的合理运用.
18.【答案】解:⑴设B(m,n),
由题意可知,在的平分线吐—2y+5=0上,
・•・m-2n+5=0①,
从而AB的中点(14-m,~Y~)»
因为AB边上的中线所在直线的方程为2%+3y-1=0,
所以2+m+-1=0②,
①②联立可得,n=|,m=-y
(2)设A关于%-2y+5=0对称的点0(%,y),
3=-2
则《x—2
竽-2x号+5=0
\ZZ
解可得,%=0,y=5,
由题意可得0(0,5)在BC上,
・・・8C边所在的直线斜率k=号=|,
~7
故BC所在的直线方程为y=(x+5即6x-5y+25=0.
【解析】本题考查了直线方程的求解,直线对称性的应用,属于中档试题.
(1)设由题意可知,8(孙72)在48的平分线%-2)/+5=0上,AB的中点(1+^科亨)在
AB边上的中线上,从而可求.
(2)设4关于x-2y+5=0对称的点D(x,y),由题意可得。在BC上,根据对称性可求D,进而可求.
19.【答案】(1)证明:如下图所示:
由正方体的特征可得AB〃力[Bi且=4为,必当〃。1%且必%=CR,
则AB〃Ci£)i且AB=CiA,据此可得四边形ABGDi为平行四边形,则BCV/A。1,
vBCi<t平面皿E,mu平面gE,
由线面平行的判断定理可得BG〃平面力DiE;
(2)解:延长CCi到F,使得C】F=BE,连接EF,交位前于G,
•;CiF〃BE,.•.四边形BEFC]为平行四边形,BCJ/EF,
•:BCJIAD1,:.AD、〃EF,所以平面力QE即平面AD/E,
连接D】G,作GH1D1G于点H,连接FH,
「FC]_L平面AiBiGD],£\Gu平面AiBiGDi,二FC[1D1G,
•••FGnC1H=Ci,由线面垂直的判断定理可得直线Z)1G1平面GF",
•.•直线D1GU平面D1GF,由面面垂直的判断定理可得平面D1GFJL平面C/H,
二G在平面DiGF中的射影在直线FH上,
••・直线FH为直线FG在平面/GF中的射影,
4C1FH为直线FC】与平面。母尸所成的角,
根据直线FG〃直线441,可知NGFH为直线44]与平面4D1G所成的角,
设正方体的棱长为2,则CiG=C1F=l,。母=隗,;""=等=奈
•••吁小+布=a
•••sinzCxFH=需=:'
由同角三角函数基本关系可得cos"/"=小飞双=亭
即直线与平面力所成角的余弦值为争
【解析】(1)由题意可得四边形4BGD1为平行四边形,则BCJ/4D1,然后利用线面平行的判定定
理可证得结论;
(2)将平面扩展,将线面角转化,利用几何方法作出线面角,然后计算直线与平面4D1E所成角
的余弦值即可.
本题主要考查线面平行的证明,线面角的计算,空间想象能力的培养等知识,属于中等题.
20.【答案】解:由已知可得:过点儿B且周长最小的圆即为以4B为直径的圆,
又线段4B的中点坐标为(0,1),\AB\=,(1+1)2+(-2-4尸=2710,
即所求圆的圆心坐标为(0,1),半径为旧,
则所求圆的方程为炉+(y-I)2=10;
(2)设所求直线/的斜率存在且为%时,
则直线方程为y+1=k(x—2),
则点(0,1)到直线y+1=fc(x-2)的距离为2,
|2k+2|
则L7,
Jl+/
则k=0,
即直线方程为y=-1;
当所求直线/的斜率不存在时,
直线x=2显然满足题意,
故直线I的方程为x=2或y=-1.
【解析】(1)由过点4,B且周长最小的圆即为以4B为直径的圆,然后结合4、B的坐标求解即可;
(2)讨论所求直线斜率存在与不存在两种情况,结合点到直线的距离求解即可.
本题考查了圆的方程的求法,重点考查了点到直线的距离,属基础题.
21.【答案】解:(1)直线I经过原点时,可得方程为:y=2x;
直线I不经过原点时,可设方程为:x+y=a,
把点P(l,2)代入可得:a=1+2=3,
此时直线I的方程为:x+y-3=0.
综上可得直线I的方程为:y=2
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