2024秋新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用二4.5.3函数模型的应用课后提能训练新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1第四章4.5.3A级——基础过关练1．某种产品今年的产量是a，假如保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满意()A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x【答案】D【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)；经过2年，y＝a(1＋5%)2；…；经过x年，y＝a(1＋5%)x.2．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为()A．y＝20－2x(x≤10)B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)【答案】D【解析】由题意，得2x＋y＝20，所以y＝20－2x.因为y＞0，所以20－2x＞0，所以x＜10.又因为三角形两边之和大于第三边，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＞y，,y＝20－2x，))解得x＞5，所以5＜x＜10.故选D．3．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满意关系式y＝alog3(x＋2)，观测发觉2024年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2025年冬越冬白鹤有()A．4000只 B．5000只C．6000只 D．7000只【答案】C【解析】当x＝1时，由3000＝alog3(1＋2)，得a＝3000.所以到2025年冬，即第7年，y＝3000×log3(7＋2)＝6000.故选C．4．(2024年德阳模拟)为贯彻执行党中心“不忘初心，牢记使命”主题教化活动，增加企业的凝合力和竞争力．某重装企业的装配分厂实行装配工人技术大比武，依据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间(单位：分)f(n)大致听从的关系为f(n)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(k,\r(n))，n<M，,\f(k,\r(m))，n≥M))(k，M为常数)．已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是()A．40分钟 B．35分钟C．30分钟 D．25分钟【答案】C【解析】从函数式可看出，该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，说明9<M，所以f(a)＝eq\f(k,\r(9))＝20，解得k＝60.又4<9，所以f(4)＝eq\f(60,\r(4))＝30.故选C．5．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lgeq\f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70dB的声音强度为I1，η2＝60dB的声音强度为I2，则I1是I2的()A．eq\f(7,6)倍 B．10倍C．10eq\f(7,6)倍 D．lneq\f(7,6)倍【答案】B【解析】依题意可知，η1＝10·lgeq\f(I1,I0)，η2＝10·lgeq\f(I2,I0)，所以η1－η2＝10·lgeq\f(I1,I0)－10·lgeq\f(I2,I0)，则1＝lgI1－lgI2，所以eq\f(I1,I2)＝10.故选B．6．某市的房价(均价)经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是________．【答案】eq\r(3,2)－1【解析】设6年间平均年增长率为x，则有1200(1＋x)6＝4800，解得x＝eq\r(3,2)－1.7．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满意关系式y＝a·0.5x＋b，现已知今年1月份，2月份该产品的产量分别为1万件，1.5万件，则3月份该产品的产量为________万件．【答案】1.75【解析】由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝0.5a＋b，,1.5＝0.25a＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))所以y＝－2×0.5x＋2，所以3月份的产量为－2×0.53＋2＝1.75(万件)．8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖t小时后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．【答案】2ln21024【解析】由题意知，当t＝eq\f(1,2)时，y＝2，即2＝eeq\f(1,2)k，所以k＝2ln2，所以y＝e2tln2.当t＝5时，y＝e2×5×ln2＝210＝1024，即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1024.9．一片森林原来面积为a，安排每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年削减p%，10年后森林面积变为eq\f(a,2).已知到今年为止，森林面积为eq\f(\r(2),2)a.(1)求p%的值；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解：(1)由题意得a(1－p%)10＝eq\f(a,2)，即(1－p%)10＝eq\f(1,2)，解得p%＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,10)).(2)设经过m年森林面积变为eq\f(\r(2),2)a，则a(1－p%)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,2))，eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．B级——实力提升练10．(2024年汉中一模)我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰.2024年，为响应党中心提出的“防治土地荒漠化助力脱贫攻坚战”的号召，当地政府主动行动，安排实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年削减10%.已知2024年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠化土地面积(万平方公里)为()A．7×0.94 B．7×0.95C．7×0.96 D．7×0.97【答案】C【解析】设从2024年后的第n年的沙漠化土地面积为y，则y＝7×(1－10%)n，故2025年的沙漠化土地面积为7×0.96.故选C．11．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，其次个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100【答案】C【解析】依据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．12．世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据：lg2≈0.3010，100.0075≈1.017)()A．1.5% B．1.6%C．1.7% D．1.8%【答案】C【解析】由题意得(1＋x)40＝2，所以40lg(1＋x)＝lg2，即lg(1＋x)≈0.0075，所以1＋x＝100.0075，解得x≈0.017＝1.7%.故选C．13．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系改变．常把它的剩余质量变为原来的一半所经验的时间称为它的半衰期，记为Teq\s\do9(\f(1,2)).现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t改变的6次数据如下：t(单位时间)0246810A(t)3202261601158057从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间改变的衰变公式为A(t)＝________________．【答案】4320·2－eq\f(t,4)(t≥0)【解析】从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，故Teq\s\do9(\f(1,2))＝4由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,T\f(1,2))＝320·2－eq\s\up6(\f(t,4))(t≥0)．14．近年来，我国大部分地区遭受雾霾天气，给人们的健康、交通平安等带来了严峻影响．经探讨发觉工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不待时．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5h过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k的值；(2)试计算污染物削减到40%至少须要多长时间．(精确到1h，参考数据：ln0.2≈－1.61，ln0.3≈－1.20，ln0.4≈－0.92，ln0.5≈－0.69，ln0.9≈－0.11)解：(1)由已知得，当t＝0时，P＝P0.当t＝5时，P＝90%P0.于是有90%P0＝P0e－5k，解得k＝－eq\f(1,5)ln0.9.(2)由(1)知P＝P0eeq\s\up6(\f(t,5))ln0.9.当P＝40%P0时，有0.4P0＝P0eeq\s\up6(\f(t,5))ln0.9，解得t＝eq\f(ln0.4,\f(1,5)ln0.9)≈eq\f(－0.92,\f(1,5)×（－0.11）)≈42.故污染物削减到40%至少须要42小时．C级——探究创新练15．(多选)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如图所示，横轴为投资