2020-2021学年高中数学-第一章-计数原理-1.1-第1课时-两个计数原理及其简单应用跟踪训练

PAGE两个计数原理及其简单应用[A组学业达标]1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为()A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24 D．以上都不对解析：分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9(种)不同的走法．答案：B2．现有3名老师、8名男学生和5名女学生共16人．若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为()A．39 B．24C．15 D．16解析：先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1名，有13种选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×13＝39.答案：A3．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A．7 B．12C．64 D．81解析：分两步：第一步选上衣，有4种不同的选法．第二步选长裤，有3种不同的选法．故共有4×3＝12种不同的配法．故选B.答案：B4．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是()A．1 B．3C．6 D．9解析：这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24,4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．答案：D5．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有()A．27种 B．36种C．54种 D．81种解析：小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法，选C.答案：C6．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个．解析：第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36(个)．答案：367．4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配的种数有________．解析：本题中要完成的一件事：“将比赛的各项冠军逐一分配给4名参赛学生”．∵跳高冠军的分配有4种不同的方法，跳远冠军的分配有4种不同的方法，游泳冠军的分配有4种不同的方法，∴根据分步乘法计数原理，冠军的分配方法有4×4×4＝64(种)．答案：648．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的各项的系数，可组成不同的二次函数共有________个，其中不同的偶函数共有________个．(用数字作答)解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有二次函数的个数为3×3×2＝18.其中不同的偶函数的个数为3×2＝6.答案：1869．某商店有甲型号电视机10台，乙型号电视机8台，丙型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，有多少种不同的选法．解析：完成从这三种型号的电视机中各选一台检验可分三步完成，第一步：从甲型号中选一台，有10种不同的选法；第二步：从乙型号中选一台，有8种不同的选法；第三步：从丙型号中选一台，有12种不同的选法．根据分步乘法计数原理，有10×8×12＝960种，因此共有960种不同选法．10．已知集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中所取两数m＞n的数对有多少个？解析：(1)因为集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．(2)在(1)中的25个数对中所取两数m＞n的数对可以分类来解，当m＝2时，n＝1，有1种结果；当m＝4时，n＝1,3，有2种结果；当m＝6时，n＝1,3,5，有3种结果；当m＝8时，n＝1,3,5,7，有4种结果；当m＝10时，n＝1,3,5,7,9，有5种结果．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15种结果．[B组能力提升]11．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有()A．81 B．64C．14 D．12解析：对于第一个小球有4种不同的放法，第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步乘法计数原理知共有4×4×4＝64种放法．答案：B12．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18C．12 D．9解析：由题意可知E→F有6种走法，F→G有3种走法，由分步乘法计数原理知，共6×3＝18种走法．答案：B13．用数字1,2组成一个四位数，则数字1,2都出现的四位偶数有________个．解析：分三类：第一类：3个1,1个2即为1112，有1个．第二类：3个2,1个1，即为2212,2122,1222，有3个．第三类：2个2,2个1，即1122,1212,2112，有3个．故共有3＋3＋1＝7个．答案：714．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，共有4×3×2＝24种方法；第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120种方法．所以安排这8人的方式共有24×120＝2880种．答案：288015．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，在平面直角坐标系中，求第一、第二象限内不同点的个数．解析：此问题可分为两类：①以集合M中的元素作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，在集合M中任取一个元素的方法有3种，要使所取的点在第一、第二象限内，则在集合N中只能取5,6两个元素中的一个，方法有2种，根据分步乘法计数原理，有3×2＝6(个)；②以集合N中的元素作为横坐标，集合M中的元素作为纵坐标，在集合N中任取一个元素的方法有4种，要使所取的点在第一、第二象限内，则在集合M中只能取1,3两个元素中的一个，方法有2种，根据分步乘法计数原理，有4×2＝8(个)．综合①②，由分类加法计数原理知，共有6＋8＝14(个)．16．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)