2023-2024学年福建省漳州市高二下学期期末教学质量检测数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省漳州市高二下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.曲线y=sinx在原点处的切线斜率为(

)A.−1 B.0 C.cos1 D.2.某统计部门对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是(

)

A.r2<r4<0<r3<r3.已知事件A，B相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A|B)=(

)A.0.12 B.0.3 C.0.4 D.0.754.已知向量a=(1,0,2)，b=(−2,1,−2)，c=(0,1,λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ=A.1 B.2 C.3 D.45.在一个关于AI智能助手的准确率测试中，有三种不同的AI模型A，B，C.模型A的准确率为0.8，模型B的准确率为0.75，模型C的准确率为0.7.已知选择模型A，B，C的概率分别为0.4，0.4，0.2.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为(

)A.0.56 B.0.66 C.0.76 D.0.866.设函数f(x)在x0附近有定义，且f(x0)−f(x0−Δx)=a(Δx)3+b(Δx)A.0 B.a C.b D.c7.若关于x的不等式lnx>mx(m∈R)有唯一的整数解，则m的取值范围是(

)A.(ln22,ln33] 8.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，MNA.[−12,0] B.[0,12]二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数f(x)=lnx+1xA.f′(x)=x−1x2 B.f(x)的增区间为(1,+∞)

C.f(x)最大值为1 10.已知在某次试验中获得数据如下：x234m10y251915124y与x线性相关，且回归方程为y=27−2.4x，则下列正确的是(

)A.y与x具有负的线性相关关系 B.m=6.25

C.点(2,25)落在回归直线下方 D.估计x=15时y的值为−911.如图，六面体ABCDEFG的一个面ABCD是边长为2的正方形，AE，CF，DG均垂直于平面ABCD，且AE=1，CF=2，则下列正确的有(

)

A.AC⊥BG

B.直线AB与直线GF所成角的余弦值为12

C.平面ABCD与平面EBFG所成角的余弦值为23

D.当DP=1时，动点P到平面EBFG三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.点(1,2,3)关于yOz平面的对称点坐标为

．13.已知X~B(3,13),且Y=2X+3,则E(Y)=

.14.已知关于x的不等式ex≥ax2+bx恒成立，则a+b四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在一次对外星文明的探索中，科学家发现了一种外星生物，它们具有一种特殊的繁殖方式.科学家记录了这种外星生物在连续8天内的繁殖数量，发现繁殖数量与天数之间存在线性关系．(1)根据记录的数据，得到以下表格：天数x12345678繁殖数量y1315181920202225请利用最小二乘法求出线性回归方程y(2)科学家从这种外星生物中随机抽取了10个样本进行基因分析，以研究其基因多样性，发现这10个样本中有3个样本具有某种特殊基因.现从这10个样本中随机抽取2个样本进行深入研究，记随机抽取的2个样本中具有某种特殊基因的样本数量为X，求X的分布列与数学期望．(参考公式与数据：b=i=1nxiyi−nx16.(本小题12分)已知函数f(x)=x3+ax2(1)求实数a，b的值;(2)求函数f(x)在区间[−2,3]上的最大值和最小值．17.(本小题12分)2024年5月1日,“花样漳州啤酒之夜群星演唱会”在漳州激情开唱,为现场2万名观众带来一场音乐盛宴.现随机抽取200名现场观众,对他们的年龄和是否购买周边产品进行了统计,得到以下数据:年龄(岁)购买周边不购买周边总计小于304030及以上4580总计200(1)请完成上面2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为年龄与是否购买周边产品有关?(2)已知现场观众对某首歌曲的喜爱程度得分Y~N(80,52)(单位:分),请估计现场观众对该首歌曲的喜爱程度得分Y在[75,90]内的人数约为多少(参考公式及表格:χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+P(χ20.100.050.0250.0100.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.828若ξ~N(x,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.9973.)18.(本小题12分)

如图，多面体A1B1D1−ABCD是三棱台A1B1D1−ABD和四棱锥C−BDD1B(1)证明：D1E//(2)若平面A1BD与平面BB(ⅰ)作出交线l(需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明) ;(ⅱ)求直线l与平面B1C19.(本小题12分)定义：对于空间向量a=(r(x),p(x),q(x))，b=(R(x),P(x),Q(x))，其“导数积”为a⊙b=r(x)R′(x)+p(x)P′(x)+q(x)Q′(x).已知空间向量u=(1,x(1)当t=0时，证明：f(x)≥0;(2)若x=0为f(x)的极大值点，求正实数t的取值范围;(3)设x0≠0，0<m<n，t>0，且满足f′(x0)=0，f(m)=f(n)答案解析1.D

【解析】解：因为f′x所以f′0故选D．2.A

【解析】解：由给出的四组数据的散点图可以看出，

图1和图3是正相关，相关系数大于0，

图2和图4是负相关，相关系数小于0，

图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于−1，

由此可得r2<r3.B

【解析】解：因为事件A，B相互独立，所以P(AB)=P(A)⋅P(B)，

所以P(A|B)=P(AB)P(B)=0.3×0.40.44.B

【解析】解：因为a、b、c三向量共面，

所以存在实数x，y使得c=xa+yb成立，

即0,1,λ=x1,0,2+y−2,1,−2，

5.C

【解析】解：由题意，现随机选取一个模型进行测试，则准确率为

0.8×0.4+0.75×0.4+0.7×0.2=0.766.D

【解析】解：由题意可得f′(x7.B

【解析】解：由题意，由不等式lnx−mx>0，得m<lnxx，

令g(x)=lnxx，

则g′(x)=1−lnxx2，

所以x∈(0,e)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，在x∈(e,+∞)上，g′(x)<0，g′(x)单调递减，

所以g(x)max=(e)=1e，

所以g(2)=g(4)=ln8.A

【解析】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，

y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示。

设正方体外接球球心为O，则DB1是长方体外接球的一条直径。

又MN是长方体外接球的一条直径。

令M与D重合，N与B1重合。

则外接球的直径为1+1+1=3，半径为32。

所以PM⋅PN=(PO+OM)⋅(PO+ON)

=(PO+OM)⋅(9.AB

【解析】解：因为f(x)=lnx+1x，x>0

则f′(x)=1x−1x2=x−1x2，故A正确；

当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)递减；

当x>1时，f′(x)>0，f(x)递增，

故f(x)的增区间为(1,+∞)，故B正确；

fxmin=f(1)=110.AD

【解析】解：由题意，x=2+3+4+m+105=19+m5,y=25+19+15+12+45=15，

则15=27−2.4×19+m5，解得m=6，

对于A、因为随着x的增大，y减少，故y与x具有负的线性相关关系，故A正确；

对于B、因为m=6，故B错误；

对于C、当x=2，时y=22.2<2511.ACD

【解析】解：

对于A，DG⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DG⊥AC，

面ABCD是边长为2的正方形，所以AC⊥BD，

又DG⋂BD=D，DG、BD⊂平面BDG，所以AC⊥平面BDG，

又BG⊂平面BDG，所以AC⊥BG，A正确；

对于B，由于该几何体是六面体ABCDEFG，所以E，B，F，G四点共面，

∵AE，DG均垂直于平面ABCD，

∴AE//DG，DG⊂平面CDGF，AE⊄平面CDGF，

∴AE//平面CDGF，

∵AB//CD，CD⊂平面CDGF，AB⊄平面CDGF，

∴AB//平面CDGF，

又AE⋂AB=A，AE、AB⊂平面ABE，

∴平面ABE//平面CDGF，

又平面ABE⋂平面EBFG=BE，平面CDGF⋂平面EBFG=GF，

∴BE//GF，

同理可得EG//BF，四边形EBFG为平行四边形，

直线AB与直线GF所成角即直线AB与直线BE夹角∠ABE，

cos∠ABE=ABBE=ABAB2+AE2=25=255，B错误；

对于C，过F作FH//CD，交DG于点H，

AB//CD，AB=CD，CD//FH，CD=FH，所以AB//FH，AB=FH=2，

直线AB与直线GF所成角也是直线FH与直线GF的夹角∠GFH，所以∠GFH=∠ABE，

又四边形EBFG为平行四边形，BE=GF，

所以ΔABE≌ΔHFG，GH=AE=1，GD=GH+HD=3，

如图，以D为原点建立坐标系，

G(0,0,3)，E(2,0,1)，F(0,2,2)，

GE=(2,0,−2)，GF=(0,2,−1)，

设平面EBFG的法向量为n=(x,y,z)，

GE⊥n=0GF⊥n=0GE·n=0GF·n=0，解得n=(2,1,2)，

平面ABCD的法向量为AE=(0,0,1)，

|cos<AE，n>|=23，

所以平面ABCD12.(−1,2,3)

【解析】解：点(1,2,3)关于yOz平面的对称点坐标是(−1,2,3)．

故答案为：(−1,2,3)．13.5

【解析】解：因为X~B(3,13),

则E(X)=3×13=1，

又Y=2X+3,

则E(Y)=2E(14.e

【解析】解：∵关于x的不等式ex≥ax2+bx恒成立，

∴由y=ex和y=ax2+bx的图象知，a⩾0．

令f(x)=exx，则f′(x)=(x−1)exx2>0⇒x>1，

f(x)在(−∞,0),(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增。

①∵exx⩾ax+b对∀x>0成立，

曲线y=exx(x>0)在x=x0处的切线方程为y=(x0−1)ex0x02x+2ex0x0−ex0，

∴a=(x15.解：(1)x=1+2+3+4+5+6+7+88=4.5，

y=i=18yi8=19，

b=i=18xiyi−8xyi=18xi2−8x2=747−8×4.5×19204−8×4.52=1.5，

a【解析】

(1)根据题意分别求得x=4.5，y=19，b=1.5，a=12.25，即可求得回归直线方程；

(2)由题得到X∼H(10,3,2)，X的可能取值为：0，116.(1)f′(x)=3x2+2ax+b，

依题意有f′(−1)=3−2a+b=0,f(−1)=−1+a−b+1=6,

解得a=−3,b=−9,

此时，f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)，

当x<−1时，f′(x)>0，f(x)在(−∞,−1)上单调递增;

当−1<x<3时，f′(x)<0，f(x)在(−1,3]上单调递减;

f(x)在x=−1处取得极大值f(−1)=6，

因此，a=−3，b=−9．

(2)由(1)知，f(x)=x3−3x2−9x+1，

f(x)在[−2,−1)上单调递增，在(−1,3]上单调递减，

又f(−2)=−8−12+18+1=−1，f(−1)=6【解析】

(1)求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；

(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．17.解：（1）列联表如下：

假设年龄与是否购买周边产品无关,

χ​2=200×(80×35−40×45)2120×80×125×75=209≈2.222

因为2.222<3.841,所以没有95%的把握认为年龄与是否购买周边产品有关.

(2)依题意正态分布的均值μ=80,标准差σ=5,

P(75≤Y≤90)=P(μ-σ≤Y≤μ+2σ)=P(μ-σ≤Y≤μ)+P(μ≤Y≤μ+2σ)=12[P(μ-σ≤Y≤μ+σ)+P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)]=12(0.6827+0.9545)=0.8186

20000×0.8186=16372人【解析】（1）列出列联表，计算χ2，即可；

（2）根据正态分布知识得到P(75≤Y≤90)=12[P(μ-σ≤Y≤μ+σ)+P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)]18.(1)证明：如图，在BD上取点F，使BF=2FD连接A1F，EF，

因为CE=2ED，所以BFFD=CEDE=2

所以EF/​/BC，且EF=13BC

又在正方形ABCD中，AD/​/BC，

所以EF/​/AD，EF=13AD

又在三棱台A1B1D1−ABD中A1D1//AD，A1D1=13AD，

所以EF//A1D1，且EF=A1D1，所以四边形A1D1EF为平行四边形，

所以D1E//A1F，

又D1E⊄平面A1BD，A1F⊂平面A1BD，所以D1E//平面A1BD．

(2) (i)如图，延长CB1和DA1交于一点G，连接BG，

则直线BG即为平面A1BD与平面BB1C的交线l．

(ii)由平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，AA1⊥AD，

所以AA1⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以AB，AD，AA1两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB【解析】(1)在BD上取点F，使BF=2FD连接A1F，EF，推出D1E//A1F，再利用线面平行的判定定理即可求证；

(2)(ⅰ)延长CB1和DA1交于一点G，连接BG，即可；

(ⅱ)19.解：(1)依题意，f(x)=1⋅ex+x2⋅(−t)+(x+1)⋅(−1)，

即f(x)=ex−tx2−x−1，

当t=0时，f(x)=ex−x−1，f′(x)=ex−1，

当x<0时，f′(x)<0;当x>0时，f′(x)>0，

因此，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，

故f(x)≥f(0)=0，得证．

(2)当t>0时，f′(x)=ex−2tx−1，

设g(x)=f′(x)，g′(x)=ex−2t，

令g′(x)=0，解得x=ln(2t)，

因为g′(x)在R上单调递增，

于是，当x<ln(2t)时，g′(x)<0;当x>ln(2t)时，g′(x)>0，

故g(x)在(−∞,ln(2t))单调递减，在(ln(2t),+∞)单调递增，

即f′(x)