2023-2024学年江西省九江市第一中学高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省九江市第一中学高二下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−4x+3<0}，B={x|y=4−A.{x|−2≤x<3} B.{x|1<x≤2} C.{x∣0≤x<3} D.{x∣x>1}2.若命题“∃a∈1,3，ax2+a−2x−2>0A.−1 B.0 C.0.5 D.13.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1A.45 B.910 C.354.已知数列an的前n项和为Sn，且an=n+12n，若A.2 B.3 C.4 D.55.已知f(x)=13x3+12x2A.−12 B.−35 C.6.设双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上的一点，PF⋅A.3 B.3−1 C.7.已知x>0，y>0，且x+y=2.若4x+1−mxy≥0恒成立，则实数m的最大值是(

)A.4 B.8 C.3 D.68.已知a=10099e0.99A.b>a>1.01>c B.b>a>c>1.01 C.a>b>1.01>c D.a>b>c>1.01二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量ξ的分布列如下表所示.其中12,b,c成等差数列，则P(|ξ|=1)的值与ξ的期望分别是ξ−101P0.5bcA.23 B.13 C.−1310.下列说法正确的是(

)A.在线性回归方程y=−0.8x+2.3中，当自变量x每增加1个单位时，相应变量y平均减少1.5个单位

B.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第75百分位数为17

C.若随机变量X∼N3,σ2，PX≤6=0.7，则PX≤0=0.3

D.设随机事件A和B11.记fnx为函数fx的n阶导数，fnx=fn−1x′n≥2,n∈N∗，若fnx存在，则称fxn阶可导.英国数学家泰勒发现：若fx在x0附近n+1阶可导，则可构造A.若fx=sinx，则fnx=sinx+nπ

B.若fx=1x，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知(1+ax2)n(a,n∈N∗)的展开式中第3项与第4项的二项式系数最大，且含x413.若“1<x<2”是“x−2m<1”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为

14.产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，从产品中随机抽n件做检查，请计算当N=16，M=8时，C80C83+C81C82+C四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数fx(1)求函数fx(2)若函数fx的切线l与直线x−2ey+1=0垂直，求切线l的方程．16.(本小题12分)在三棱锥P−ABC中，∠BAC=∠PCB=π3，PC=BC，PA=AC=2AB=2，D为(1)求证：PD⊥AC；(2)点M在棱PA上(不含端点)，且二面角M−BC−A的余弦值为45.求线段AM17.(本小题12分)已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(1)求椭圆C的方程；(2)已知过椭圆x2a2+y2b2=1上一点x0,y0的切线方程为xx0a2+18.(本小题12分)新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项，题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．(1)若某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，并求该考生得0分的概率；(2)若某道多选题的正确答案是ABD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项；在某考生此题已得正分的条件下，求该考生得2分的概率；(3)若某道多选题的正确答案是2个选项的概率是13，一考生只能判断出A方案一：只选择A选项；方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．19.(本小题12分)一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x0<x1<⋯<xi−1<xi<⋯<xn=b将区间[a,b]分成n个小区间.每个小区间长度为ΔxiΔx=xi−xi−1.在每个小区间xi−1,xi上任取一点ξii=1,2,⋯,n作和式如果每个Δ如果函数f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F′(x)=f(x)，那么．(1)求；(2)过函数f(x)=x2(x≥0)上一点作切线.该切线、曲线与x(3)递增的等差数列an，且a1=1，两条曲线y=anx2+1an、y=答案解析1.B

【解析】由x2−4x+3<0，解得1<x<3，所以又由4−x2≥0，解得−2≤x≤2所以A∩B=x故选：B．2.D

【解析】根据题意，知原命题的否定“∀a∈1,3，a令f(a)=(x2+x)a−2x−2，故f(1)=故选：D．3.A

【解析】如图连接BC1,所以AB//C1D1且所以BC1//AD1，则∠设AB=1，则A1B=5，由余弦定理得：cos∠故选：A．4.B

【解析】因为Sn所以12两式相减可得12所以Sn因为n+32n>0，所以3−n+42故选：B．5.A

【解析】因为f(x)=13x则在点1,f(1)处的切线斜率tanα=f′又因为cos2α故选：A．6.C

【解析】取M为PF的中点，F2∵PF∴OM⊥PF，∴OF∵FO在FP上的投影为32∴OM=12c∵PF∴(3−1)c=2a故选：C7.A

【解析】由4x+1−mxy≥0，则m≤=1当且仅当9x2y=y2x，即故选：A．8.D

【解析】依题意，a=e0.990.99令f(x)=exx当0<x<1时，ex>1>x>0，即f′(x)<0，函数f(x)在f(0.99)>f(1)=e−1，即e0.990.99−0.99+令g(x)=x−lnx，g′(x)=1−1x，当0<x<1时，g′(x)<0，当函数g(x)在(0,1)上单调递减，g(0.99)>g(1)=1，而b=e−1+g(0.99)>e>1.01，函数g(x)在(1,+∞)上单调递增，显然g(e)=e−1,g(1则方程g(x)=k,k∈(1,1e+1]有两个不等实根x1,lna=c−lnc⇔0.99−ln0.99=c−令ℎ(x)=g(x)−g(2−x)，0<x<1，ℎ′(x)=g′(x)+g′(2−x)=1−1即函数ℎ(x)在(0,1)上单调递减，当x∈(0,1)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，即g(x)>g(2−x)，因此g(x1)>g(2−x1)，即有g(x于是得x2>2−x1，即x1+x又g(c)=g(0.99)<g(1e)<g(e)，g(x)在(1,+∞)所以a>b>c>1.01，D正确．故选：D9.AC

【解析】因为12，b，c成等差数列，所以2b=12所以b=13，c=1根据分布列的性质，E(ξ)=−1×1故选：AC．10.BCD

【解析】对于A，根据回归直线方程解析式，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少0.8个单位，故A错误；对于B，该组数据共10个，则10×75%=7.5，所以第75百分位数为第8个数是17，故B正确；对于C，由于X∼N3,σ2则PX≤0=PX≥6对于D，由全概率公式，PB=PA故选：BCD．11.BCD

【解析】对于A，若fx=sinx，则f3x=−所以fnx=对于B，若fx=1f3x=观察可知fnx=对于C，fx=cos因为f0所以fx=cosx在x0=0处的对于D，fx=ex的得T3则e0.1≈T故选：BCD12.2

【解析】由已知得n=2+3=5，所以含x4的项的系数为13.12【解析】由x−2m<1，得2m−1<x<2m+1因为“1<x<2”是“x−2m<1所以集合x1<x<2是集合x所以2m−1≤12m+1≥2(不同时取等号)，解得所以实数m的取值范围为12故答案为：1214.C163

；或C1613

【解析】当N=16，M=8，n=3时，PX=k因为C8故C8当N=2n，M=n时，因为Cn0C所以(故答案为

：C16315.解：(1)由fx=e令f′x故当x<0时，f′x<0,fx单调递减，当0<x<3当x>3时，f′x故fx的单调递减区间为−∞,0,0,3

(2)设切点为(x0切线与直线x−2ey+1=0垂直，故k=f′(x0则切点为(1,e)，故切线方程为y−e=−2e(x−1)，即2ex+y−3e=0【解析】(1)先求导函数，再根据导函数正负求出单调区间；(2)先设切点，再根据与已知直线垂直求出切线斜率求出切点进而得出切线方程．16.解：(1)因为∠BAC=π3，所以BC所以BC=3，所以AB又PC=BC，∠PCB=π3，所以所以PB=PC=3，又PA=2，所以AB又PB，BC⊂平面PBC，且PB∩BC=B，所以AB⊥平面PBC，又PD⊂平面PBC，所以AB⊥PD，因为PB=PC，D为BC的中点，所以PD⊥BC，又AB,BC⊂平面ABC，AB∩BC=B，所以PD⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，所以PD⊥AC．

(2)由(1)得，PD⊥平面ABC，AB⊥BC，以D为原点，直线DB为y轴，直线DP为z轴，过D与AB平行的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系，则A1,32,0，B所以AP=−1,−32设AM=tAP=设平面MBC的一个法向量n=(x,y,z)，则n⋅令z=21−t，解得x=−3t，y=0，故n显然平面ABC的一个法向量m=0,0,1，二面角M−BC−A为锐二面角设为所以cosθ=∣解得t=13或t=−1(舍所以AM=∣AM【解析】(1)由勾股定理逆定理得到AB⊥BC,AB⊥PB,从而AB⊥平面PBC,AB⊥PD，又利用等腰三角形三线合一得到PD⊥BC，从而PD⊥平面ABC，进而得到PD⊥AC；(2)以D为原点，直线DB为y轴，直线DP为z轴，以过D与AB平行的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系，设AM=tAP，用坐标求出平面MBC和平面ABC的法向量，根据二面角M−BC−A的余弦值为17.解：(1)设F1由AF1的中点在y轴上，且O为F1，F2的中点，可得又由A1,32，可得c=1，即F所以AF1=解得a=2，则b=所以椭圆C的方程为x2

(2)由(1)和题意，可得过椭圆x24+y2因为点P在椭圆x24+则直线l的方程为x⋅2cosθ4令x=−4，则代入①，解得y=31+2cosθ假设存在点Ft,0，使得以PQ为直径的圆与x轴交于定点F则PF⊥QF，即PF⋅QF=0，于是t−2整理得t+1t+3由该方程对于任意的θ恒成立，可得t=−1，此时点F−1,0所以存在定点F−1,0符合条件，使得以PQ为直径的圆与x轴交于定点−1,0

【解析】(1)设F1−c,0,F2(2)由过椭圆C上一点x0,y0的切线方程为xx0a2+yy0b2=1，设动点P1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量(通常为变量k)；②利用条件找到k过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系，得到关于k与x,y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．3、若与面积有关的定值问题，一般用直接法求解，即先利用三角形的面积公式，(如果是其他的凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)，把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可求解．18.解：(1)设事件A1表示“某题的答案是BD，该考生得0分”，则A所以PA

(2)设A2=“某题的答案是ABD，该考生得正分”，则所以PA设A3=“某题的答案是ABD，该考生得2分”，则所以PA所以该考生此题已得正分的条件下，则该考生得4分的概率为PA

(3)设方案一、二、三的得分分别为X，Y，Z，方案一：X的所有可能取值为2,3，PX=2=2所以X的分布列为：X23P21则EX方案二：Y的所有可能取值为0,4,6，PY=0=13×所以Y的分布列为：Y046P441则EY方案三：Z的所有可能取值为0,6，PZ=0=2所以Z的分布列为：Z06P72则EZ因为E(Y)>所以以得分的数学期望作为判断依据选择方案二更恰当．

【解析】(1)利用古典概型的概率公式求出该考生不得0分的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可；(2)设A2=“某题的答案是ABD，该考生得正分”，A3