2023-2024学年广东省广州市海珠区高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省广州市海珠区高二下学期期末教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在等差数列an中，Sn为其前n项和，若S3=1，S6A.7 B.8 C.9 D.122.已知随机变量ξ服从正态分布N3,σ2，且P(ξ<4)=0.6，则P(ξ<2)=A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.43.已知函数fx=x−lnx，则fA.−∞,0 B.1,+∞

C.−∞,0∪1,+∞ 4.五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有(

)A.42 B.72 C.78 D.965.2025有(    )个不同的正因数A.8 B.10 C.12 D.156.某企业进行节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示：x3456y2.5344.5根据表中数据得出y关于x的经验回归方程为y=0.7x+a，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为(

)A.5.15吨 B.5.25吨 C.5.5吨 D.9.5吨7.下列四个不等式①lnx<x<ex，②ex−1≥x，A.1 B.2 C.3 D.48.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有A，B，C，D，E，F，G，H共八个点，一枚棋子起始位置在点A处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为ii=1,2,⋯,6，则棋子前进i步(每一步是从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点)，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若结束时棋子恰好在点A处，那么游戏过关.问游戏结束时过关的概率为(

)

A.118 B.112 C.16二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足Y=2X−1，则下列结论正确的是(

)X0123Pq0.20.10.2A.EX=1.2 B.EY=1 C.10.如图，正方形ABCD的边长为2cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形的IJKL，依此方法一直继续下去.设第k个正方形面积为ak，则下列结论正确的是(

)

A.a3=1cm2

B.a2=16a6

C.11.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%.则下列结论正确的是(

)A.任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为0.06

B.任取一个零件，它是次品的概率为0.0525

C.如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为27

D.如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若数列an满足an+1=Sn+1，13.在(x+1)2+(x+1)3+(x+1)14.已知函数fx=x2−ae−x四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)函数fx=x(1)若函数fx的图象在点1,f1处的切线l与直线x+y=0垂直，求切线(2)若x>0，fx≥1，求λ16.(本小题12分)某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：性别足球合计喜欢不喜欢男生302050女生102030合计404080(1)依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？(2)现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为X，求随机变量X的分布列和期望．附：χ2=nα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82817.(本小题12分)数列an的首项a1=(1)证明1an−2(2)设bn①当数列bn的项取得最大值时，求n②求bn的前n项和Sn18.(本小题12分)3名同学去听同时举行的A，B，C课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座(每个讲座被选择是等可能的)．(1)记选择B课外知识讲座的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望；(2)对于两个不相互独立的事件M，N，若PM>0，PN>0，称ρM,N①已知ρM,N>0，证明②记事件E=“B课外知识讲座有同学选择”，事件F=“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件E，F是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求ρE,F．19.(本小题12分)已知函数fx(1)讨论fx(2)当a>0时，求证：fx>ln参考答案1.C

2.D

3.B

4.C

5.D

6.B

7.C

8.D

9.BC

10.ABD

11.BCD

12.64

13.165

14.{0}∪(415.解：(1)设切线l的斜率为kl，∵直线x+y=0的斜率为−1，

∴kl⋅(−1)=−1∴kl=1，

又∵f′(x)=2x−λx2，

∴kl=f′(1)=2−λ=1，∴λ=1，即f(x)=x2+1x

，

∴点(1,f(1))为(1,2)

∴切线l的方程为：y−2=kl(x−1)，

即：y−2=x−1化简得：x−y+1=0；

(2)因为x>0.由f(x)=x2+λx≥1可化为λ≥x−x3，

设g(x)=x−x3，则g′(x)=1−316.解：(1)零假设为H0:喜欢足球与性别之间无关联．

根据列联表，由χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)得，

χ2=80×(30×20−20×10)240×40×50×30≈5.33>3.841=x005，

根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢足球与性别之间有关联．

(2)在分层抽样中，喜欢足球的男生有6人，女生有2人，则X的可能取值为1，2，3，

17.(1)证明：

思路一：由题可知，an+1−2=3an−4an−1−2=an−2an−1，

所以1an+1−2=1an−2+1，则1an+1−2−1an−2=1，

又因为1a1−2=152−2=2，

所以1an−2}是以2为首项，1为公差的等差数列，

则1an−2=2+(n−1)⋅1=n+1，

所以an=1n+1+2=2n+3n+1；

思路二：由题可知，1an+1−2=13an−4an−1−2=an−1an−2，

所以118.解：(1)由题意可知，X的可能的取值为0，1，2，3

P(X=0) =2333=827，P(X=1) =CX0123P81261则E(X)=0×827+1×1227+2×627+3×127=1

(2) ①证明：因为ρ(M,N)=P(MN)−P(M)P(N)P(M)P(M)P(N)P(N)，且ρ(M,N)>0所以P(MN)−P(M)P(N)> 0，

即P(MN)P(N)>P(M)，

而P(M|N)=P(MN)P(N)，

所以P(M|N)> P(M)成立．

 ②事件E:B课外知识讲座有同学选择，则事件E:B课外知识讲座没有同学选择由(1)可知P(E)=C30(13)0(23)3=827，19.解：(1)f′(x)=2e2x+2(1−a)ex−2a=2(ex−a)(ex+1)

(Ⅰ)当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增．

(Ⅱ)当a>0时，令f′(x)=0，得x=lna

当x>lna时，f′(x)>0;当x<lna时，f′(x)<0;

所以，当a>0时，f(x)在(lna,+∞)上单调递增;在(−