2023-2024学年河南省许昌市高二下学期7月期末教学质量检测数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省许昌市高二下学期7月期末教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知an为等差数列，Sn为其前n项和.若a1=2a2，公差d≠0,A.4 B.5 C.6 D.72.已知圆(x−1)2+y2=4A.1 B.2 C.4 D.83.在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的概率为23，连续闯过前两关的概率为13.事件A表示小明第一关闯关成功，事件B表示小明第二关闯关成功，则A.29 B.13 C.124.已知三个正态密度函数φ1(x)=12πA.μ1=μ3>μ2，σ1=σ2>σ3 5.已知平面上两点M(−5,0)和N(5,0)，若直线上存在点P使|PM|−|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是①y=x+1；②y=2；③y=43x；④y=2x+1A.①③ B.①② C.②③ D.③④6.一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位．现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为A.6 B.12 C.72 D.1447.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试着在边QB上找一点P，使得∠MPN最大”.如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(−1,2)，N(1,4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取得最大值时，该圆的方程是(

)

A.(x−1)2+(y−2)2=2 B.(x+78.已知函数f(x)=|lnx|x2−A.(−∞,1e) B.(0,+∞) C.{二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有

A.r1<r4 B.r2<10.下列命题中，正确的命题的序号为(

)A.已知随机变量X服从二项分布Bn,p，若EX=30,DX=20，则p=23

B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变

C.设随机变量ξ服从正态分布N0,1，若P(ξ>1)=p，则P(−1<ξ≤0)=111.若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，且A.当m=12时，三棱锥P−BDB1的体积为定值

B.当n=12时，三棱锥P−BDB1的体积为定值

C.当m+n=1时，PA+PB的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知X∼B3,35，且Y=−5X+2，则Y的方差为13.已知(1+2x)2024+(1−x)202414.现有n(n>3,n∈N∗)个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k(k=1,2,3,…,n)个袋中有k个红球，n−k个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球(每个取后不放回)，若第四次取出的球为白球的概率是49，则n=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=(1)求数列{an}(2)设cn=1anan+1+16.(本小题15分)将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向．2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用．近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的2018～2022年销售量与年份的统计表(年份代码1～5分别对应的年份是(2018～2022)：年份代码x12345销量y(万台)23.52.589(1)求氢能源乘用车的销量y关于年份代码x的线性回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量；(2)为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据：了解不了解合计男生25女生20合计(ⅰ)根据已知条件，填写上述2×2列联表；(ⅱ)依据α=0.01的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关？参考公式：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b=i=1α0.0500.0100.001x3.8416.63510.82817.(本小题15分)如图，斜三棱柱ABC−A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1(1)求证：平面ACC1A(2)若斜三棱柱的高为3，求平面ABB1与平面18.(本小题17分)函数f(x)=(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，曲线y=f(x)上两点(x1,f(x19.(本小题17分)已知P是抛物线C1：y2=2px(p>0)上任意一点，且P到C1的焦点F的最短距离为32.直线l与C1交于A(x1,y1)，B(x2,y(1)求抛物线C1(2)证明：1y(3)设△AOB，△COD的面积分别为S1，S2，其中O为坐标原点，若|AC|=3|BD|，求S1答案解析1.B

【解析】解：由已知

a1=2a2=2a又

Sm=ma1+m所以

−2m+mm−12=0

，解得

m=5

或

m=0

(舍去)，故选：B．2.C

【解析】解：∵圆(x−1)2+y2=4与抛物线x2=2py(p>0)的准线相切，

抛物线x2=2py(p>0)的准线为y=−

p2，

圆(x−1)

 2+y

 ​23.C

【解析】解：由题意可知，连续闯过前两关的概率13，所以P(AB)=13，

又闯过第一关的概率为23，所以P(A)=23，

故4.C

【解析】解：因为正态密度函数φ1(x)和φ3(x)的图象关于同一条直线对称，所以μ1=μ3．

又φ2(x)图象的对称轴在φ1(x)图象的对称轴的左边，故有μ1=μ3>μ2．

σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，

由图象可知正态密度函数φ5.B

【解析】解：∵点M(−5,0)，N(5,0)，点P使|PM|−|PN|=6，

∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线的右支，

可得b2=c2−a2=52−32=16，双曲线的方程为x29−y216=1(x>0)，

∵双曲线的渐近线方程为y=±43x，

∴直线y=43x与双曲线没有公共点，

直线y=2x+1经过点(0,1)斜率k>6.C

【解析】解：一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位、不妨看作是大、小、大、小、大、小或者

小、大、小、大、小、大两类型，三个大人的入座方法A33种，三个小孩的入座方法A33种，因而不同的入座方法总数为2A7.C

【解析】解：由题意可知，可作图如下，

点P为过M，N两点且和x轴相切的圆的切点，线段MN中点坐标为(0,3)，

MN斜率为4−21+1=1，

线段MN的垂直平分线方程为y−3=−x，

以MN为弦长的圆的圆心在直线y−3=−x上，

故设该圆圆心为C(a,3−a)，

又因为该圆与x轴相切，所以圆的半径r=|3−a|，|CN|=r，

所以(a−1)2+(3−a−4)2=(3−a)2，解得a=1或a=−7，

当a=−7时，∠MQP是钝角，故舍去．

8.D

【解析】解：因为函数f(x)=|lnx|x2−ax有三个零点，

所以方程|lnx|x2=ax有三个根，

即方程|lnx|x=a有三个根，

令g(x)=|lnx|x，x>0，

当x>1时，g(x)=lnxx，

g′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，

所以在(1,e)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，

在(e,+∞)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，

g(x)极大值=g(e)=1e，

当x=1时，g(x)=0，9.AC

【解析】解：由图可得，r2>r3>0，故B错误，C正确，

r1<r4<010.BCD

【解析】解：对于A，E(X)=np=30D(X)=np(1−p)=20，解得p=13对于B，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B正确；对于C，ξ服从正态分布N0,1，P(−1<ξ≤0)=P(0≤ξ<1)=12对于D，X∼B10,0.8，则P(X=k)=C10由C10k0.8k×0.故选BCD．11.AC

【解析】解：因为AP=mAD+nAA1，其中m∈[0,1]，n∈[0,1]，

所以点P在平面ADD1A1内运动，

对于A:取AD中点E、A1D1中点F，连接EF，

所以EF//AA1//BB1，

因为EF⊄̸平面BDB1，BB1⊂平面BDB1，

所以EF//平面BDB1，

当m=12时，则AP=12AD+nAA1，

所以点P在线段EF上运动，

因为EF//平面BDB1，

所以无论点P在EF任何位置，P到平面BDB1的距离不变，即高不变，

所以三棱锥P−BDB1的体积为定值，故A正确;

对于B:取AA1中点G，DD1中点H，连接GH′

当n=12时，AP=mAD+12AA1，

所以点P在GH上运动，

假设GH//平面BDB1，

又GA//BB1，GA⊄̸平面BDB1，BB1⊂平面BDB1，

所以GA//平面BDB1，

因为GA∩GH=G，GH，GA⊂平面GHDA，

所以平面GHDA/ /平面BDB1，与已知矛盾，故假设不成立，

所以GH不平行平面BDB1，

所以P在GH上运动时，P到平面BDB1的距离在变化，

所以三棱锥P−BDB1的体积不是定值，故B错误;

对于C:连接A1D，A1B，BD，当m+n=1时，可得A1、P、D三点共线，

将△AA1D沿A1D翻折至与平面A1BD共面，如下图所示

连接AB，当P为AB与A1D交点时，PA+PB最小，即为AB，

因为A1B，A1D，BD均为面对角线，

所以A1B=A1D=BD=2，即△A1BD为等边三角形，

又∠A1AD=90∘，A112.18

【解析】解：随机变量X～B(3,35)，

∴D(X)=np(1−p)=3×35×(1−35)=1825，

13.2024

【解析】解：由题意，a1=C2024114.9

【解析】解：设选出的是第k个袋子，连续四次取球的方法数为n(n−1)(n−2)(n−3)，第四次取出的是白球的种数为：(n−1)(n−2)(n−3)(n−k)，

则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率pk=n−kn，

而选到第k个袋子的概率为1nP=k=1npk⋅1n=k=1n15.解：(1)因为2Sn=n2+n，所以a1=S1=1，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2+n2−(n−1)2+n−12=n，

由于a【解析】

(1)由数列{an}的前n项和2Sn=n2+n，根据当n≥2时，an=Sn−16.解：(1)年份x的平均数x=2020，销量y的平均数y=5，

所以i=15(xi−x)2=(−2)2+(−1)2+02+11+22=10，

i=15(xi−x)(yi−y)

=(2018−2020)×(2−5)+(2019−2020)×(3.5−5)+(2020−2020)×(2.5−5)+(2021−2020)×(8−5)

了解不了解合计男生352560女生204060合计5565120(ii)零假设H0:该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，

根据2×2列联表中的数据可得，

χ2=120×(35×40−25×20)260×60×55×65≈7.55>6.635，【解析】

(1)利用已知数据和公式求线性回归方程，由方程进行数据预测;

(2)(i)根据男生和女生各60名补全2×2列联表；

(ii)计算χ217.(1)证明：取BC中点为M，连接B1M，

∵B1在底面内的射影恰好是BC中点，

∴B1M⊥平面ABC，

又∵AC⊂平面ABC，∴B1M⊥AC，

又∵∠ACB=90∘，∴AC⊥BC，

∵B1M⊂平面B1C1CB，BC⊂平面B1C1CB，B1M∩BC=M，

∴AC⊥平面B1C1CB，

又∵AC⊂平面ACC1A1，

∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;

(2)解：以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

∵BC=CA=2，斜棱柱的高为3，

∴A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(0,1,0)，B1(0,1,3)，C1(0,−1,3)，

AB1【解析】

(1)取BC中点为M，连接B1M，推导出B1M⊥平面ABC，B1M⊥AC，BC⊥AC，从而AC⊥平面BCC1B1，由此能证明平面ACC18.解：(1)f(x)定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x−a(x+1)−a(x−1)(x+1)2=x2+(2−2a)x+1x(x+1)2，

对于方程x2+(2−2a)x+1=0，△=(2−2a)2−4=4(a2−2a)，

当Δ≤0，即0≤a≤2时，x2+(2−2a)x+1≥0，f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上单增，

当△>0，即a<0或a>2时，方程x2+(2−2a)x+1=0有两不等根，x1=a−1−a2−2a，x2=a−1+a2−2a，

而x1+x2=