专题02 一元二次方程实际应用（解析版）（人教版）

专题02一元二次方程实际应用的四种考法应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.例．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为()【答案】D【分析】设平均每天票房的增长率为x，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，故选：D.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.【变式训练1】在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为m分钟，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了80%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为()A．m(1-x)2=80%mB．m(1+x)2=80%mC．m(1-x)2=20%mD．20%(1+x)2m=m【答案】C【分析】设每半年平均每周作业时长的下降率为x,根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了80%，列方程即可得到结论.【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x，可列方程为m(1-x)2=(1-80%)m，即m(1-x)2=20%m故选：C.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.【变式训练2】某药店一月份销售口罩500包，一至三月份共销售口罩1820包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则根据题意可列出方程为()A．500(1+x)2=1820B．500+500(1+x)+500(1+x)2=1820【答案】B【分析】根据题意列出方程即可作答.【详解】解：根据题意得：故选：B.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.【变式训练3】某市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间绿化面积增加44%，这两年平均每年绿化面积的增长率为()【答案】A【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有1+44%，解这个方程即可求出答案.【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，1+44%，解得x1=-2.2（舍去x2=0.2.所以，这两年平均每年绿地面积的增长率为20%.故选：A.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答此类题目中的关键是明确题意，列出相应的方程，注意增长的百分率是正值.例1.某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50元.(1)连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？【答案】(1)每次下降的百分率为20%；(2)每千克水果应涨价5元，盈利6000元.【分析】（1）设每次降价的百分率为m，列出方程求解即可；（2）设每千克涨价x元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解.【详解】（1）解：设每次下降百分率为m，根据题意，得50(1-m)2=32，答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克涨价x元，由题意得：(10+x)(500-20x)=6000解得：x=5或x=10，∵商场规定每千克涨价不能超过8元，且要尽快减少库存，答：每千克水果应涨价5元，盈利6000元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.例2.今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售A、B两种优质农产品礼包.(1)已知今年7月份销售A种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值；(2)若B种农产品礼包每包成本价为16元，当售价为每包30元时，每月销量为200包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B种农产品礼包每包每降价1元，月销售量可增加20包，当B种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元?【答案】(1)x的值为25%(2)当B种农产品礼包每包降价3元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元【分析】（1）利用9月份的销售量=7月份的销售量×(1+月平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出x的值；（2）设B种农产品礼包每包降价m元，则每包的销售利润为(30-m-16)元，月销售量为(200+20m)包，利用总利润=每包的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【详解】（1）依题意得：256(1+x)2=400，答：x的值为25%.（2）设B种农产品礼包每包降价m元，则每包的销售利润为(30-m-16)元，月销售量为(200+20m)包，依题意得：(30-m-16)(200+20m)=2860，整理得：m2-4m+3=0，∵为了尽快减少库存，答：当B种农产品礼包每包降价3元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.【变式训练1】第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件.(1)若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；(2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少【答案】(1)1350元(2)50元根据计算求解即可；（2）设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则销售量为100-2(x-40)件，由题意得，=1600，计算求解，然后判断即可.【详解】（1）解：由题意知，(45-30)×100-2×(45-40)=1350（元∴当销售单价定为每件45元，每天的销售利润为1350元；（2）解：设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则销售量为100-2(x-40)件，∵50<70，∴该纪念品的售价单价应定为每件50元.【点睛】本题考查了实数运算的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.【变式训练2】服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T恤衫，甲种款型共用了10400元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？(2)该服装店第一个月甲种款型的T恤衫以200元/件的价格售出20件、乙种款型的T恤衫以250元/件的价格售出10件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T恤衫都进行降价a元销售，其中甲种款型的T恤衫的销售量增加4a件、乙种款型的T恤衫的销售增加a件，结果第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了1000a元，求第二个月的销售利润.【答案】(1)甲种款型的T恤衫购进80件，乙种款型的T恤衫购进40件；(2)3580【分析】(1)设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进2x件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元列出分式方程，解方程即可；(2)根据第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了1000a元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题.【详解】（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进2x件，解得x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，答：甲种款型的T恤衫购进80件，乙种款型的T恤衫购进40件；（2）乙种款型每件的进价为6400÷40=则甲种款型每件的进价为160一30=13解得a1=4，a2=0(不符合题意，舍去)，答：第二个月的销售利润为3580元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程.例．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率.(2)2022年老旧小区改造的平均费用约为每个80万元．2023年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加10%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】(1)该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%；(2)该市在2023年最多可以改造19个老旧小区【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x,利用2022年投入资金金额=2020年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设该市在2023年可以改造y个老旧小区，根据2023年改造老旧小区所需资金不多于2023年投入资金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论.【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x,2答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%.（2）解：设该市在2023年可以改造y个老旧小区，又∵y为整数，答：该市在2023年最多可以改造19个老旧小区.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是1）找准等量关系，正确列出一元二次方程2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.【变式训练1】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题.(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大应该增加几条生产线？【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%(2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解.【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x.2答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%.（2）解：设增加x条生产线.解得x1=4，x2=25（不符合题意，舍去答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可.【变式训练2】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽数比乙组2天加工的粽数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单.(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽；(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽？【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽(2)400【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工x袋、y袋粽，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题.（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a袋粽”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程.【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工x袋、y袋粽答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽.（2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a袋粽由题意得：2×(200+150)+(200+100a)(8-a)+150(6-a)=3200+500整理得：2a2-9a+10=0又∵甲、乙两组加工的天数均为整数∴200+100×2=400（袋）答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽.【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键.【变式训练3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万.(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米.(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多(7a-12)万元．求a的值.【答案】(1)甲最多施工2500米(2)a的值为6【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖a米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论.【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，依题意，得：12（5000-x）≥×10x，解得：x≤2500，答：甲最多施工2500米.（2）依题意=12×5+10×5+整理，得：a2-18a+72=0，当a1=12时，总成本为：12×5+10×5+7×12-12=182（万元∴a1=12不符合题意舍去；当a2=6时，总成本为：12×5+10×5+7×6-12=140（万元答：a的值为6.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式2）找准等量关系，正确列出一元二次方程.例．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A(0,2)、C(6,0)作矩形OABC，<AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒.(1)填空：OP=，OQ=（用含t的代数式表示）(2)设△OPQ的面积为S1，△BQC的面积为S2，当t为何值时，S1+S2的值为30.(3)求当t为何值时，△PQB为直角三角形. 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，即可表达OP，OQ；（2）连接PQ，过点P作PM丄OQ于点M，根据<POQ=45O，得PM=OM，又根据OQ=2t，则MQ=t，根据勾股定理得PQ=t，推出△OPQ是等腰直角三角形，得S1=t2；△BCQ是直角三角形，当Q在C左侧时CQ=CO-OQ=6-2t，根据三角形面积公式得：S2=6-2t；当Q在C右侧时CQ=OQ-CO=2t-6，面积为：S2=2t-6，分类讨论S1+S2，即可求出S1+S2=30时t的值；（3）当△PQB为直角三角形时，<PQB=90O或<PBQ=90O或<QPB=90O，根据△OPQ是等腰直角三角形，则<QPB+<BPD=90O；根据勾股定理，即可求出t的值. 【详解】（1）∵点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动 （2）连接PQ，过点P作PM丄OQ于点M∵四边形OABC是矩形，点A(0,2)，点C(6,0)∵<POQ=45O∴在直角三角形△PMO中，OM2+PM2=OP2∴在直角三角形△PMQ中，PM2+MQ2=PQ2∴△OPQ是等腰直角三角形∵①当Q在C左侧时，即t≤3时，CQ=CO-OQ=6-2t∴S1+S2=t2+6-2t∴当t2+6-2t=30时∴解得t1=6，t2=-4（舍）不满足t≤3；②Q在C右侧时，t>3时，CQ=OQ-CO=2t-6∴S1+S2=t2+2t-6-1（舍）37-1，S1+S2=30.（3）连接PB，PQ，BQ∵△BQC是直角三角形，QC2+BC2=BQ2∴BQ2=4+(6-2t)2∴在△PDB，PH2+BH2=BP2∴BP222∵△PQB为直角三角形时∴上PQB=90O或上PBQ=90O或上QPB=90O∵△OPQ是等腰直角三角形，则上QPB+上BPD=90O∴上PQB=90O或上PBQ=90O2222②上PBQ=90O时，PB2+BQ2=222【点睛】本题考查动点问题，直角三角形和一元二次方程的知识，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，勾股定理和解一元二次方程的解法.【变式训练1】等边△ABC，边长为6cm，点P从点C出发以1cm/s向点B运动，同时点Q以2cm/s向点A运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，(1)求当△PBQ为直角三角形时的时间t；(2)△PBQ的面积能否为43，若存在求时间t，若不存在请说明理由.或者3(2)存在，2角形的性质列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）过Q点作QM丄BC于点M，先求出ÐMQB=30°,即有MB=BQ=t，进而有S△PQB=创BP◆t)◆i3t4v3，可得t2当△PBQ为直角三角形,且上PQB=90O时，如图，解得：；即t的值为或者3；（2）存在，理由如下：过Q点作QMTBC于点M，如图，∴MB=BQ=t，∴S△PQB=创BPQM=◆t)t，令S△PQB=创BPQM=◆t)◆i3t4v3，【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含300角的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用等知识，明确题意，根据含300角的直角三角形的性质正确列式，是解答本题的关键.【变式训练2】如图，在直角梯形ABCD中，ADⅡBC，上C=900，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发，沿射线CB的方向以每秒1个单位的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？【详解】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB=PQ时，当PQ=BQ时，当BP=BQ时，由等腰三角形的性质就可以得出结论.【分析】解：如图1，当PB=PQ时，过点P作PE丄BC于E，解得：如图2，当PQ=BQ时，过点Q作QE丄AD于E，同理可证四边形DEQC是矩形，在Rt△PEQ中，由勾股定理，得PQ2=PE2+QE2，22，解得：；如图3，当BP=BQ时，过点P作PE丄BC于E，同理可证明四边形CDPE是矩形，在Rt△BEP中，由勾股定理得PB2=PE2+BE2，2，故方程无解.综上所述，t=或t=时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.【点睛】本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键.【变式训练3】如图，在△ABC中，ÐB=90°,AB=6cm，BC=8cm点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒.(1)填空：BQ=______cm，PB=______cm；(用含t的代数式表示)；(2)当t为几秒时，PQ的长度等于42；(3)是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由.【答案】(1)2t，(6-t)(2)t为秒或2秒(3)存在时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的，t的值为2【分析】（1）由路程=速度×时间，可直接求解；（2）由勾股定理建立方程，解一元二次方程可求解；（3）由题意可得△PBQ的面积等于△ABC面积的，由三角形的面积公式可求解.【详解】（1）点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，:BQ=2tcm，AP=tcm，:PB=(6-t)cm，故答案为：2t，(6-t)； :5t2—12t+4=0，:当t为秒或2秒时，PQ的长度等于4·i2；（3）存在，理由如下：若四边形APQC的面积等于△ABC面积的，:△PBQ的面积等于△ABC面积的，当t=2时，BQ=4cm当t=4时，BQ=8cm，四边形APQC变为三角形，不合题意，舍去，:存在时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的，t的值为2.【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.1.如图1，在矩形ABCD中，AD<AB，点E和F同时从点A出发，点E以运动，点F以1cm/s的速度沿A—D—C的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为xs，△AEF的面积为ycm2，y关于x的函数图象如图2，图象经过点(3,m),(n,m)，则n的值为. 【答案】3+3【分析】分析图形可知，图2中的图象分为三段：当点F在AD上时；当点E在AB上，且点F在CD上时；当点E在BC上，且点F在CD上时．图2中的最高点是当点E与点B重合时，y的值为4；当点E和点F相遇时，即到达点C时，用时6秒．由此可求出AB=4cm,AD=2cm，由此可求出当点E运动3秒后y的值，即可求出m的值，进而可求出n的取值.【详解】解：由图2可知，当点E运动到点B时，当点E和点F相遇时，即到达点C时，运动了6秒，即AB+AD=6cm，解得：AB=4cm,AD=2cm，当x=3时，如图，AE=xcm，FM=AD=2cm.AF.EM=×3×2=3cm2；当x=n时，点F在CD上，点E在BC上，如图， 故答案为：3+3.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系是解决问题的关键.2．2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表注：利润=销售价-进货价）类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元／件）3025销售价（元／件）4537(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？(2)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？【答案】(1)购进A款钥匙扣20件，购进B款钥匙扣10件(2)30元或34元【分析】（1）设购进A款钥匙扣x件，购进B款钥匙扣(30-x)件，根据等量关系：两款钥匙扣共花费850元，建立一元一次方程即可求解；（2）设将B款钥匙扣销售价定为每件y元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元；由题意列出关于y的一元二次方程，解方程即可.【详解】（1）解：设购进A款钥匙扣x件，购进B款钥匙扣(30-x)件，由题意得：30x+(30-x)×25=850，解得：x=20，答：购进A款钥匙扣20件，购进B款钥匙扣10件.（2）解：设将B款钥匙扣销售价定为每件y元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元，由题意得：(y-25)[4+(37-y)×2]=90，整理得：y2-64y+1020=0，答：将B款钥匙扣销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元.【点睛】本题是方程的综合，考查了一元一次方程与一元二次方程在实际中的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出方程是钥匙的关键.3．某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘全部售完，店主共获利960元.(1)求樱桃的进价是每千克多少元？(2)该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？【答案】(1)樱桃的进价是每千克10元(2)第二天樱桃的售价是每千克15元或19元【分析】（1）设樱桃的进价是每千克x元，根据“第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘全部售完，店主共获利960元”，再列方程求解即可；（2）设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为40+(20-y)×107」千克，再根据总利润为850元列方程解答即可.【详解】（1）解：设樱桃的进价是每千克x元，答：樱桃的进价是每千克10元；（2）设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为40+(20—y)×107」千克，答：第二天樱桃的售价是每千克15元或19元.【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，熟练的确定相等关系是解本题的关键.4．某旅行社推出“跟团游”和“定制游”两种旅行方式供客户选择．已知6月份该旅行社“跟团游”的销售额为60万元，“定制游”的销售额为20万元，“跟团游”平均每单的费用比“定制游”平均每单的费用少0.1万元，“跟团游”的订单数是“定制游”订单数的4倍，订单按一人一单计算.(1)求“定制游”的单数为多少？(2)由于暑期是旅游旺季，消费水平整体升高，该旅行社预计7月份“跟团游”和“定制游”的订单数分别比上月对应订单数多3a%和a%，“跟团游”和“定制游”平均每单的费用分别比上月对应每单多a%和2a%，这样预计7月份该旅行社总销售额比上个月总销售额的7a%还多40万元，且a>50，求a的值.【答案】(1)50(2)100【分析】（1）设“定制游”的单数为x，则“跟团游”的订单数为4x，根据“6月份该旅行社跟团游的销售额为60万元”列出分式方程，解方程并检验即可得到答案；（2）由（1）可知，6月份“跟团游”平均每单的费用为—0.1=0.3万元，6月份“定制游”平均每单的费用为0.3+0.1=0.4万元，根据“7月份该旅行社总销售额比上个月总销售额的7a%还多40万元”列出方程，解方程并取符合题意的答案即可.【详解】（1）解：设“定制游”的单数为x，则“跟团游”的订单数为4x，根据题意得经检验，x=50是原方程的解，也符合问题的实际意义答：“定制游”的单数为50.（2）由（1）可知，6月份“跟团游”平均每单的费用为—0.1=0.3万元，6月份“定制游”平均每单的费用为0.3+0.1=0.4万元，“跟团游”的订单数为4×50=200，由题意得：化简得：11a2-1300a+20000=0，【点睛】此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程和解方程是解题的关键.5．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A、B两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知A点平均每人采样720份，B点平均每人采样700份.(1)求A、B两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采