第16讲 解直角三角形及其应用-2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版 学习新知）

专题16解直角三角形及其应用★知识点1解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之间的关系：1.勾股定理（）2.∠A+∠B=90°3.sinA==4.cosA==5.tanA==典例分析【例1】（2023春·海南海口·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，则的长为（

）

A．15 B．12 C．9 D．6【例2】（2023·河南洛阳·统考一模）如图，AD是的高，若，，则边的长为（

）

A． B． C． D．即学即练1．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，是斜边上的高，若，，则（）

A． B． C． D．2．（2023春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）在中，，那么等于（

）A． B． C． D．★知识点2解非直角三角形（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．典例分析【例1】（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，在中，，，，则的长为（

）

A． B． C．4 D．5【例2】（2023·上海·九年级假期作业）已知在中，，，，则（）A． B． C． D．即学即练1．（2023秋·安徽滁州·九年级校考期末）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（

）A． B．12 C． D．62．（2022春·九年级课时练习）在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（）海里．A． B． C． D．★知识点3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积典例分析【例1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（

）A．13m B．8m C．18m D．12m【例2】（2022春·九年级课时练习）如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（

）米（参考数据：，，）A．43 B．45 C．47 D．49即学即练1.（2021春·重庆沙坪坝·九年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）如图，某高楼OB上有一旗杆CB，我校数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该高楼的高度，由于有其他建筑物遮挡视线不便测量，所以测量员沿坡度i=1：的山坡从坡脚的A处前行50米到达P处，测得旗杆顶部C的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为37°（测量员的身高忽略不计），已知旗杆高BC=15米，则该高楼OB的高度为（）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．45 B．60 C．70 D．852．（2019·河北石家庄·统考一模）如图，某轮船由东向西航行，在处测得灯塔在它的北偏西方向上，继续航行海里到达处，此时测得灯塔在它的北偏西方向上，则

海里 B．海里 C．海里 D．海里★知识点4仰俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．典例分析【例1】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，为了测量小山坡坡顶上宝塔的高，数学兴趣小组在坡底B处测得塔顶A的仰角为，测得塔底C的仰角为，且坡底B到塔底C的距离为80米，求塔高．（结果保留1位小数；参考数据：）

【例2】（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，某居民区有一座甲楼，楼高18米，要在甲楼的西侧建一座乙楼，已知太阳光线与水平线的夹角是．

(1)如果甲、乙两楼相距20米，求甲楼的影子落在乙楼上的部分有多高．(2)如果甲楼的影子刚好不影响乙楼，那么两楼之间的距离应是多少米？参考数据：．即学即练1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据：项目测量某塔的高度方案方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB.方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD，仰角α，仰角β.测量示意图测量项目第一次第二次平均值测量项目第一次第二次平均值测量数据CD1.61m1.59m1.6mβ26.4°26.6°26.5°ED1.18m1.22m1.2mα37.1°36.9°37°DB38.9m39.1m39mCD34.8m35.2m35m(1)根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为m；(2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：）2.（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）位于太原五一南广场的雕塑《力量》成为展示红色太原、英雄城市的又一载体．周末某校“综合与实践”小组的同学们，利用自制的测量工具测量该雕塑的高．雕塑的基座分步台阶，经测量每步台阶高．他们在处利用测角仪测得最高点的仰角，向前移动到点，，在处测得最高点的仰角，测角仪与地面保持垂直，且距地面均为．请根据以上数据求雕塑的高．（结果精确到，，，，）

★知识点5方位角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．典例分析【例1】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，测得A，B均在C的北偏东方向上，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西方向上，米．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．【例2】（2023春·江西鹰潭·九年级校考阶段练习）如图，这是由长征渡口A，纪念广场B，中央红军长征出发纪念馆C三个景点组成的三角形景区平面示意图，其中纪念广场B与纪念馆C在东西方向的步道上，已知纪念广场B在渡口A北偏西方向距离渡口处．（结果保留整数，参考数据：，）

(1)求渡口A与步道的距离．(2)若纪念馆C在渡口A北偏东的方向上，求步道的长．即学即练1．（2023春·甘肃定西·九年级校考阶段练习）九年级一班数学兴趣小组的同学们学完了三角函数知识后，决定在数学活动课上用自己学到的知识测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量项目及结果如下表：课题测量公园人工湖亭子A与正东方向的亭子B之间的距离测量示意图

如图，在P点用测角器测得亭子A，B所处的方位角，测得点P与亭子A之间的距离测量数据根据以上内容，解决问题：求出亭子A与亭子B之间的距离(结果精确到1，参考数据：，，，)．2．（2023·河南驻马店·统考三模）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿西北方向行驶8.4千米至B地，再沿北偏东37°方向行驶一段距离到达古镇C，小明通过导航又发现古镇C恰好在A地的正北方向，当地正在修建一条快速公路，建好后可从A地直达C地，求正在修建公路的长度．参考数据：，，，）

★知识点6坡度比问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．典例分析【例1】（2021春·广东梅州·九年级校考期中）如图，，斜坡的长为米，坡度，在点处测得旗杆顶端的仰角为，点到旗杆底部的距离为米．

(1)求斜坡的坡角的度数；(2)求旗杆顶端离地面的高度的长．（结果精确到0.1米）【例2】．（2023秋·湖南永州·九年级统考期末）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注坡度i是坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别是、．

(1)求山脚A到河岸E的距离；(2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到）（参考数据：，，）即学即练1.（2023·辽宁朝阳·校考三模）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度的长．（结果精确到，参考数据：，，）

2．（2023·湖北·统考中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

1．（2023秋·九年级课前预习）在中，对边分别为、、，，若，则的值为（）A． B． C． D．2．（2022秋·九年级单元测试）如图，梯形中，，，，，则的长为

（

）A． B． C． D．3．（2023·山东临沂·统考一模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，则（

）A． B． C． D．4．（2023·北京·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3,点P从点D出发，沿DC,CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与AD,AP所围成的图形的面积为y,y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（

）A．B．C．D．5．（2023春·全国·九年级专题练习）已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么腰与底边的比是（）A．1： B．：1 C．1： D．：16．（2023·上海·九年级假期作业）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（

）A． B． C． D．以上都有可能7．（2022春·九年级课时练习）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD．若六角星纸板的面积为9cm2，则矩形ABCD的周长为（

）A．18cm B．cm C．（+6）cm D．（+6）cm8．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离，则这栋楼的高度约为m（，，结果保留整数）．9．（2023秋·九年级课前预习）如图，某船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，船航行了海里后到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，船继续航行到点时，测得小岛恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为海里．

10．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，河提横断面迎水坡的坡比（坡比也叫坡度，指点B向水平面做垂线，垂足为C，）是，河提的高米，则坡面的长度是米．

11．（2023·山西大同·校联考三模）如图是体育场篮球架的实物图和示意图，已知支架的长为，支架与地面的夹角，的长为，篮板部支架与水平支架的夹角为，垂直于地面，则篮板顶D到地面的距离约为m．（结果保留一位小数，参考数据：，，，，，．

12．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）浮山是安徽省五大名山之一，也是我国著名文山，山上有大量的摩崖石刻，奇峰异石，有大小七十二个溶洞．如图，为了测量浮山与学校的相对高度，某校数学兴趣小组在操场处观测到山顶最高点的仰角为，向着山的方向前进20米后到达点，观测到山顶最高点的仰角为．求浮山与学校的相对高度．（参考数据：，，，，，）

13．（2023·山东济南·统考二模）海中有一小岛S，该岛周围内有暗礁．今有快艇以的速度向正北航行，在A处看小岛S在船的北偏东方向，航行40分钟后到达B处，在B处看小岛S在船的北偏东方向．

(1)A到B的距离是______；(2)求该快艇继续向北航行有触礁危险吗？说明理由．（参考数据：，，）14．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）如图，一艘轮船位于灯塔B的正西方向A处，且A处与灯塔B相距60海里，轮船沿东北方向匀速航行，到达位于灯塔B的北偏东方向上的C处．求灯塔B到C处的距离．（结果保留根号）

15．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）在学习解直角三角形以后，某班数学兴趣小组的同学测量了旗杆的高度，如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为6米，落在斜坡上的影长为4米，，点、、三点共线，且，同一时刻，光线与旗杆的夹角为，斜坡的坡比为，(1)求坡角的度数；(2)旗杆的高度为多少米？（结果保留根号）16．（2023·河南周口·校联考二模）“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处（），使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”，于点，支杆与树干的横向距离．

(1)天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度．(2)下雨时收拢“晴雨伞”，使由减少到，求点下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）

专题16解直角三角形及其应用★知识点1解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之间的关系：1.勾股定理（）2.∠A+∠B=90°3.sinA==4.cosA==5.tanA==典例分析【例1】（2023春·海南海口·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，则的长为（

）

A．15 B．12 C．9 D．6【答案】B【分析】根据正弦的定义：对边比斜边，求出的长，再利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴；故选B．【点睛】本题考查解直角三角形．熟记锐角三角函数的定义，是解题的关键．【例2】（2023·河南洛阳·统考一模）如图，AD是的高，若，，则边的长为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用题目信息得到的长度，然后根据和的长度判断出的形状，然后根据特殊直角三角形的三边关系得到的长度．【详解】解：∵，∴，∵AD是的高，∴，即，，∵，，，为等腰直角三角形，．故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形与三角形的高，能够充分利用含有角的直角三角形的三边关系是解答本题的关键．即学即练1．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，是斜边上的高，若，，则（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，可设，则，求出，可得，再解直角三角形即可.【详解】解：∵，∴设，则，∵，∴，∴,则在直角三角形中，；故选：D.【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.2．（2023春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）在中，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解．【详解】解：在中，，∴，故选A．

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．★知识点2解非直角三角形（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．典例分析【例1】（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，在中，，，，则的长为（

）

A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．【详解】如下图，作于，

在中，，，，，在中，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．【例2】（2023·上海·九年级假期作业）已知在中，，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作，垂足为，在中，，∴,∴\∴，在中，故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．即学即练1．（2023秋·安徽滁州·九年级校考期末）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（

）A． B．12 C． D．6【答案】B【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解．【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为，在中，，在中，，∵中，，，∴，∵是的角平分线，∴，∴，∴，∴．故选:B．【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．2．（2022春·九年级课时练习）在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（）海里．A． B． C． D．【答案】B【分析】先作于点，根据甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发，求出和，从而得出的值，得出的值，即可求出答案．【详解】解：作于点，甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发，，，，乙货船从港沿西北方向出发，，，，答：港与港相距海里，故选：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海岸线上有，两个港口.2．★知识点3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积典例分析【例1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（

）A．13m B．8m C．18m D．12m【答案】A【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度．【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么，∵坝高，CF⊥AB，∴DE=CF=5cm又斜坡的坡比为∴BF=12cm，在RtBCF中BC===13cm【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义．【例2】（2022春·九年级课时练习）如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（

）米（参考数据：，，）A．43 B．45 C．47 D．49【答案】B【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG，即可得解.【详解】作AH⊥EB于H，延长DC交AH于N，作DG⊥EB于G，如图所示：∵∠ACD=135°∴∠ACN=45°在Rt△ACN中，AC=，∠ACN=45°∴AN=CN=18在Rt△ABH中，AB=，AH：BH=3:2，设∴解得或（不符合题意，舍去）∴AH=45∴HN=AH-AN=45-18=27∵四边形DGHN是矩形∴DG=HN=27在Rt△DEG中，∴故选：B.【点睛】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.即学即练1.（2021春·重庆沙坪坝·九年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）如图，某高楼OB上有一旗杆CB，我校数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该高楼的高度，由于有其他建筑物遮挡视线不便测量，所以测量员沿坡度i=1：的山坡从坡脚的A处前行50米到达P处，测得旗杆顶部C的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为37°（测量员的身高忽略不计），已知旗杆高BC=15米，则该高楼OB的高度为（）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．45 B．60 C．70 D．85【答案】C【分析】过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，根据AP坡的坡度i=1:，可得∠PAE=30°，从而得到PE=AP=25，然后在Rt△PBD和Rt△CPD中，利用锐角三角函数，可得PD=60，即可求解．【详解】解：过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，∴PE=OD，∵AP坡的坡度i=1:，∴tan∠PAE=，∴∠PAE=30°，∴PE=AP=25，在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠BPD=37°，∴BD=PD×tan∠BPD≈PD，在Rt△CPD中，∠CDP=90°，∠CPD=45°，∴CD=PD，∵CD−BD=BC，∴PD−PD=15，解得：PD=60，∴BD=×60=45，∴OB=OD+BD=25+45=70米．故选：C【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．2．（2019·河北石家庄·统考一模）如图，某轮船由东向西航行，在处测得灯塔在它的北偏西方向上，继续航行海里到达处，此时测得灯塔在它的北偏西方向上，则

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】根据方位角的定义求得∠BMA=∠BAM=15°，即可得到BM=AB=8海里.【详解】∵处测得灯塔在它的北偏西方向上∴∠BAM=90°-75°=15°，∵灯塔在B的北偏西方向上，∴∠BMA=75°-60°=15°，∴∠BMA=∠BAM=15°，∴BM=AB=8海里故选A.【点睛】此题主要考查方位角的计算，解题的关键是熟知外角定理与等腰三角形的性质.★知识点4仰俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．典例分析【例1】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，为了测量小山坡坡顶上宝塔的高，数学兴趣小组在坡底B处测得塔顶A的仰角为，测得塔底C的仰角为，且坡底B到塔底C的距离为80米，求塔高．（结果保留1位小数；参考数据：）

【答案】米【分析】过点C作于点D，在和中，分别根据锐角三角函数，即可求解．【详解】解：如图，过点C作于点D，

由题意得，，在中，∵，∴，∴（米），在中，，∴（米），答：塔高约为米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．【例2】（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，某居民区有一座甲楼，楼高18米，要在甲楼的西侧建一座乙楼，已知太阳光线与水平线的夹角是．

(1)如果甲、乙两楼相距20米，求甲楼的影子落在乙楼上的部分有多高．(2)如果甲楼的影子刚好不影响乙楼，那么两楼之间的距离应是多少米？参考数据：．【答案】(1)3米(2)24米【分析】（1）过点作于，解直角，求出的长，从而求得的长；（2）设射线交直线于点．在中，利用正切函数求得的长，即为使前后楼每层居民在冬天都能有阳光，两楼应至少相距的米数．【详解】（1）解：如图，过点作于，由题意可知：，，，∴，在中，，，．答：此时甲楼的影子落在乙楼上约3米高；

（2）如图，设射线交直线于点．在中，，，，答：甲楼的影子刚好不影响乙楼，那么两楼之间的距离约是24米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题关键把实际问题转化为数学问题加以计算．即学即练1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据：项目测量某塔的高度方案方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB.方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD，仰角α，仰角β.测量示意图测量项目第一次第二次平均值测量项目第一次第二次平均值测量数据CD1.61m1.59m1.6mβ26.4°26.6°26.5°ED1.18m1.22m1.2mα37.1°36.9°37°DB38.9m39.1m39mCD34.8m35.2m35m(1)根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为m；(2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：）【答案】(1)52(2)塔AB的高度约为52.5m【分析】（1）证即可求解；（2）分别在和中表示出，建立等量关系即可求解．【详解】（1）解：由题意得：，∴，∴，∴，∴，解得：，故答案为：52；（2）解：由题意得：，设m，∵m，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，解得：，∴，∴塔AB的高度约为m．【点睛】本题考查三角函数的实际应用．构造直角三角形是解题关键．2.（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）位于太原五一南广场的雕塑《力量》成为展示红色太原、英雄城市的又一载体．周末某校“综合与实践”小组的同学们，利用自制的测量工具测量该雕塑的高．雕塑的基座分步台阶，经测量每步台阶高．他们在处利用测角仪测得最高点的仰角，向前移动到点，，在处测得最高点的仰角，测角仪与地面保持垂直，且距地面均为．请根据以上数据求雕塑的高．（结果精确到，，，，）

【答案】【分析】根据题意可知四边形、四边形是矩形，在中，根据特殊角的三角函数可得，在中，可求出的长，根据，即可求解．【详解】解：由题意知：，由题知：四边形、四边形是矩形，，，在中，，，在中，，，，，，∴雕塑的高约为．【点睛】本题主要考查矩形的性质，特殊角的三角函数值的计算，掌握以上知识是解题的关键．★知识点5方位角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．典例分析【例1】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，测得A，B均在C的北偏东方向上，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西方向上，米．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．【答案】A，B两点间的距离约96米【分析】由三角形内角和定理证得和是直角三角形，解直角三角形即可求出．【详解】解：∵，∴，∴，∴，在中，，，∴（米），在中，，，∴（米）．答：A，B两点间的距离约96米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，证得和是直角三角形是解决问题的关键．【例2】（2023春·江西鹰潭·九年级校考阶段练习）如图，这是由长征渡口A，纪念广场B，中央红军长征出发纪念馆C三个景点组成的三角形景区平面示意图，其中纪念广场B与纪念馆C在东西方向的步道上，已知纪念广场B在渡口A北偏西方向距离渡口处．（结果保留整数，参考数据：，）

(1)求渡口A与步道的距离．(2)若纪念馆C在渡口A北偏东的方向上，求步道的长．【答案】(1)渡口A与步道的距离为(2)步道的长为【分析】（1）根据锐角三角函数得出，带入数值计算即可；（2）根据锐角三角函数得出，然后根据即可得出结果．【详解】（1）解：过点作于点，

根据，，∴，即渡口A与步道的距离为；（2）由题意可得，∴，∴，即步道的长为．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，读懂题意，理解各锐角三角函数的意义是解本题的关键．即学即练1．（2023春·甘肃定西·九年级校考阶段练习）九年级一班数学兴趣小组的同学们学完了三角函数知识后，决定在数学活动课上用自己学到的知识测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量项目及结果如下表：课题测量公园人工湖亭子A与正东方向的亭子B之间的距离测量示意图

如图，在P点用测角器测得亭子A，B所处的方位角，测得点P与亭子A之间的距离测量数据根据以上内容，解决问题：求出亭子A与亭子B之间的距离(结果精确到1，参考数据：，，，)．【答案】292米【分析】作于点，在直角中求得和的长，然后在直角中利用三角函数求得的长，根据即可求解．【详解】解：如图，作于点．

由题意得，，．在直角中，，（米），（米），在直角中，，（米），则（米）．答：亭子与亭子之间的距离约为292米．【点睛】本题考查了解直角三角形，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．2．（2023·河南驻马店·统考三模）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿西北方向行驶8.4千米至B地，再沿北偏东37°方向行驶一段距离到达古镇C，小明通过导航又发现古镇C恰好在A地的正北方向，当地正在修建一条快速公路，建好后可从A地直达C地，求正在修建公路的长度．参考数据：，，，）

【答案】公路的长度是14km．【分析】过点B作于点D，分别解和，求出的长，利用，即可得解．【详解】解：如图：过点B作于点D．

依题意可知：，，，在中，，在中，，∴答：公路的长度是14km．【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是构造直角三角形，利用三角函数求线段的长．★知识点6坡度比问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．典例分析【例1】（2021春·广东梅州·九年级校考期中）如图，，斜坡的长为米，坡度，在点处测得旗杆顶端的仰角为，点到旗杆底部的距离为米．

(1)求斜坡的坡角的度数；(2)求旗杆顶端离地面的高度的长．（结果精确到0.1米）【答案】(1)(2)16.0米【分析】（1）过点作于点，由，可得；（2）由、知米，再由可得答案．【详解】（1）∵∴（2）作垂足为

在中，

在矩形中

在Rt△BCE中∴∴（米）答：的长是米【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念和坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【例2】．（2023秋·湖南永州·九年级统考期末）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注坡度i是坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别是、．

(1)求山脚A到河岸E的距离；(2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到）（参考数据：，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，，由的坡度得到，则，在中，，，求得，即可得到，（2）在中，，，由得到，则，即可得到．【详解】（1）解：在中，，∵的坡度，∴，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴，答：山脚A到河岸E的距离为；（2）在中，，，∵，∴，∴，∴，答：河宽的长度约．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，读懂题意，正确计算是解题的关键．即学即练1.（2023·辽宁朝阳·校考三模）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度的长．（结果精确到，参考数据：，，）

【答案】改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为．【分析】根据含角的直角三角形的性质求出，，根据正切的定义求出，再计算即可．【详解】解：在中，，，∴，∴，在中，，，∴，则，答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2023·湖北·统考中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

【答案】斜坡的长约为10米【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形，在中，，．∴．∵，∴在中，（米）．答：斜坡的长约为10米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．1．（2023秋·九年级课前预习）在中，对边分别为、、，，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据，即可得出答案．【详解】解：，设，，．故选：C．

【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正弦和余弦的定义和求法．2．（2022秋·九年级单元测试）如图，梯形中，，，，，则的长为

（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，再利用矩形的判定得到四边形是矩形，最后利用矩形的性质得到即可解答．【详解】解：∵，，∴，∵，，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∵，，∴，∴，故选：．【点睛】本题考查了锐角三角函数，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数是解题的关键．3．（2023·山东临沂·统考一模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接．根据格点先求出，再利用正方形对角线的性质判断与关系、的形状，最后求出的余弦值．【详解】解：如图，连接．则，．都是正方形的对角线，．∴，．，是直角三角形．．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．4．（2023·北京·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3,点P从点D出发，沿DC,CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与AD,AP所围成的图形的面积为y,y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查动点函数图象的问题，先求出函数关系式在判断选项．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=3，AB=CD=5当点P在CD上运动时，y为三角形，面积为：×DP×ADsin60°=×3×sin60°=×3×x＝x，为正比例函数；当点P在CB上运动时，y为梯形，面积为：×(AD+CP)×ABsin60°=×（3+x−5）×5×＝，为一次函数．由于后面的面积的x的系数＞前面的x的系数，所以后面函数的图象应比前面函数图象要陡．故选：A．【点睛】此题主要考查动点的函数问题，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质及三角函数的运用．5．（2023春·全国·九年级专题练习）已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么腰与底边的比是（）A．1： B．：1 C．1： D．：1【答案】A【分析】根据题意画出合适的图形，然后根据题目中的信息可以得到腰AB与底边BC的关系，从而可以求得腰与底边的比．【详解】∵CD⊥BA于点D，∴中，，

∵AB=AC，CD⊥BA，，，设，则，，，得．故选A．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件．6．（2023·上海·九年级假期作业）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（

）A． B． C． D．以上都有可能【答案】B【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．【详解】解：如图，分别作出两三角形的高∵∴∵∴∵∴故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．7．（2022春·九年级课时练习）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD．若六角星纸板的面积为9cm2，则矩形ABCD的周长为（

）A．18cm B．cm C．（+6）cm D．（+6）cm【答案】D【分析】过点E作EF⊥AB于点F，设AE=xcm，则AD=3x,则,然后利用AB•AD=求出x的值，即可得到AD,AB的长度，则周长可求．【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，

∵六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，∴设AE=xcm，则AD=3x，∵∠AEB=120°，∴∠EAB=30°，∴AB=2AF=，∵六角星纸板的面积为cm2

，∴AB•AD=，即，解得x=，∴AD=，AB=3，∴矩形ABCD的周长=cm．故选:D．【点睛】本题主要考查解直角三角形和一元二次方程的应用，掌握特殊角的三角函数值，利用方程的思想是解题的关键．8．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离，则这栋楼的高度约为m（，，结果保留整数）．【答案】273【分析】根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：由题意得：，在中，，，，在中，，，，这栋楼的高度约为，故答案为：273．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．9．（2023秋·九年级课前预习）如图，某船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，船航行了海里后到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，船继续航行到点时，测得小岛恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为海里．

【答案】【分析】设海里，可得海里，海里，然后根据海里列方程求解即可．【详解】解：设海里，依题意得，，，海里，海里，海里，海里，即，，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握含特殊角的三角形的边角关系是解题的关键．10．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，河提横断面迎水坡的坡比（坡比也叫坡度，指点B向水平面做垂线，垂足为C，）是，河提的高米，则坡面的长度是米．

【答案】20【分析】由题意得：，由勾股定理即可求得．【详解】解：∵，∴米，由勾股定理得：（米），故答案为：20．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解坡比的含义是关键．11．（2023·山西大同·校联考三模）如图是体育场篮球架的实物图和示意图，已知支架的长为，支架与地面的夹角，的长为，篮板部支架与水平支架的夹角为，垂直于地面，则篮板顶D到地面的距离约为m．（结果保留一位小数，参考数据：，，，，，．

【答案】【分析】延长交于点F，则四边形为矩形，根据，求，根据，求,再求即可