第10讲 相似三角形的判定-2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版 学习新知）

专题10相似三角形的判定★知识点1：相似三角形的判定-平行法平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．典例分析【例1】1（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在中，、分别是、边上的高．求证：．【例2】（2023秋·辽宁铁岭·九年级统考阶段练习）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．即学即练1．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，，与交于点E.(1)(2)若，，，求的长；2．（2023秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，且，，．(1)求证：；(2)已知，求．★知识点2：相似三角形的判定-三边对应成比例如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在与中，如果，那么∽．AABCA1B1C1【例1】（2023秋·九年级课前预习）如图，已知，，，，且，求证：．【例2】（2021秋·北京昌平·九年级期中）如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有△ABC和△DEF．求证：△ABC∽△DEF．【即学即练】1．（2021秋·山东济南·九年级统考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在7×6的正方形网格中，点A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，从点A、B、C、D四点中任取三点，两两连接，得到一个三角形，请在所得的所有三角形中，写出互为相似的两个三角形及它们的相似比．★知识点3：判定定理-两角对应相等如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在与中，如果、，那么．AABCA1B1C1要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.典例分析【例1】（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB．【例2】（2022秋·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，DCAB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．(1)求证：△ABF∽△ECF；(2)若AB＝8，，求CE的长．即学即练1．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足．(1)证明：；(2)若，，求AB的长．★知识点4判定定理-两边对应成比例且夹角相等如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在与中，，，那么．AABCA1B1C1此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.典例分析【例1】（2023秋·甘肃天水·九年级校考期末）如图，在和中，，且．求证：．【例2】（2022春·九年级课时练习）已知：如图所示，相交于点O，连接，且，求证：．即学即练1．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，与中，，；证明：．

2．（2023秋·吉林白山·九年级校考期末）【教材原题】如图①，在中，，且，，图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________；【改编】将图①中的绕点A按逆时针方向旋转到如图②所示的位置，连接、．求证：；【应用】如图③，在和中，，，点D在边上，连接，则与的面积比为__________．1．（2022秋·湖南株洲·九年级统考期中）如图，下列条件不能判定的是（

）A． B．C． D．2．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，下列四个三角形中，与相似的是（

）

A．

B．

C．

D．

3．（2023秋·九年级课前预习）如图是老师画出的，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的不一定相似的是（

）

A．

B．

C．

D．

4．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，下列条件：①；②；③；④；其中单独能够判定的条件有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022秋·河北·九年级校联考阶段练习）如图，下列条件不能判定的是（

）

A． B． C． D．6．（2022秋·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（

）

A． B． C． D．7．（2023秋·广东梅州·九年级校考期末）如图，在下列四个条件：①；②；③；④中，能使的条件有（

）个

A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（

）

A． B． C． D．9．（2023春·安徽滁州·九年级校考开学考试）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（

）

A． B． C． D．10．（2022秋·山东泰安·九年级校考期末）中，D是上的一点，再在上取一点E，使得与相似，则满足这样条件的E点共有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个11．（2023·江苏南通·统考一模）正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点．(1)当时，求的度数用含的式子表示；(2)点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由；(3)若，求的值．12．（2022秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．13．（2023·全国·九年级专题练习）在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，.(1)观察猜想如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________．(2)类比探究如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．14．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）（1）问题如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．（2）探究若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．15．（2022春·全国·九年级专题练习）王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．(1)求两个路灯之间的距离；(2)当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？

专题10相似三角形的判定★知识点1：相似三角形的判定-平行法平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．典例分析【例1】1（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在中，、分别是、边上的高．求证：．【答案】见详解【分析】先证明，即有，再结合，即可证明．【详解】∵、分别是、边上的高，∴，∵，∴，∴，又∵，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．【例2】（2023秋·辽宁铁岭·九年级统考阶段练习）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．【答案】（1），；（2）t＝3或【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36，∵△AMN的面积是△ABD面积的，∴6t﹣t2＝，∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，则有，即，解得t＝3，若△AMN∽△ADB，则有，即，解得t＝，答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．即学即练1．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，，与交于点E.(1)(2)若，，，求的长；【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）根据平行线得到，，即可证明；（2）求出，根据，得到，从而求解．【详解】（1）解：，，，；（2）∵，，∴，∵，∴，即，∴．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形的判定证明．2．（2023秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，且，，．(1)求证：；(2)已知，求．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据题意得出，对顶角，即可判断；（2）根据（1）的结论得出，进而得出，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：，，，，，，，，；（2）解：，，，，，．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．★知识点2：相似三角形的判定-三边对应成比例如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在与中，如果，那么∽．AABCA1B1C1【例1】（2023秋·九年级课前预习）如图，已知，，，，且，求证：．【答案】见详解【分析】由勾股定理得，然后根据相似三角形的判定可进行求解．【详解】证明：∵，，，，，∴，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查勾股定理及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【例2】（2021秋·北京昌平·九年级期中）如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有△ABC和△DEF．求证：△ABC∽△DEF．【点睛】本题考查【答案】见解析【分析】分别求出两个三角形的三边，根据三边分别成比例的三角形相似即可判定．【详解】解：∵在△ABC中，AB=3，BC=，AC=，在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，∴，，，∴，

∴△ABC∽△DEF．相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．【即学即练】1．（2021秋·山东济南·九年级统考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【答案】相似，理由见解析【分析】根据勾股定理求出AB，BC，AC，DE，DF，EF的长，再根据相似三角形的判定定理，即可求解．【详解】解：△ABC和△DEF相似；理由如下：根据题意得：AB＝2，，；，，EF＝2，∴，，，∴，∴△ABC∽△DEF．【点睛】本题主要考查了网格图与勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在7×6的正方形网格中，点A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，从点A、B、C、D四点中任取三点，两两连接，得到一个三角形，请在所得的所有三角形中，写出互为相似的两个三角形及它们的相似比．【答案】△ABD∽△DCB，相似比．【分析】连接AB、BD、AD、AC，利用勾股定理求出各边的长，根据对应边成比例的两个三角形相似即可求解．【详解】解：连接AB、BD、AD、AC，∵AB==，AC==，BC=4，CD=2，BD==2，AD==5，∴，，，∴，∴△ABD∽△DCB，相似比．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，读懂题目信息，利用勾股定理求出各边的长是解题的关键．★知识点3：判定定理-两角对应相等如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在与中，如果、，那么．AABCA1B1C1要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.典例分析【例1】（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB．【答案】见解析【分析】根据题意求出∠B=∠C，∠BED=∠ADC，进而利用相似三角形的判定证明即可．【详解】证明：在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠EDC=∠ADE+∠ADC=∠B+∠BED，∠ADE=∠B，∴∠DEB=∠ADC，在△ADC和△DEB中，∠ADC=∠DEB，∠C=∠B，∴△ADC∽△DEB．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，根据题意求出∠B=∠C，∠BED=∠ADC是解题的关键．【例2】（2022秋·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，DCAB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．(1)求证：△ABF∽△ECF；(2)若AB＝8，，求CE的长．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）根据，可得∠E=∠FAB，∠ECF=∠FBA，即可证明；（2）根据，CF+FB=CB，可得，再根据△ABF∽△ECF，可得，即可求解．【详解】（1）∵，∴∠E=∠FAB，∠ECF=∠FBA，∴△ABF∽△ECF，结论得证；（2）∵，CF+FB=CB，∴，∵在（1）中已得△ABF∽△ECF，∴，即，∵AB=8，∴，即CE长度为．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．即学即练1．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC【答案】见解析【分析】根据AD⊥AB，BE⊥AB，有∠DAC=90°=∠EBC，∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，再根据∠DCE=90°，有∠DCA+∠ECB=90°，即有∠D=∠ECB，则结论得证．【详解】证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，∴∠DAC=90°=∠EBC，∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，∵∠DCE=90°，∴∠DCA+∠ECB=90°，∴∠D=∠ECB，∵∠DAC=90°=∠EBC，∴△ACD∽△BEC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足．(1)证明：；(2)若，，求AB的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证出∠BAD=∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．【详解】（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠EAD．∵∠ADE=∠B，∴△ADB∽△AED．（2）∵△ADB∽△AED，∴，∵AE=3，AD=5，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．★知识点4判定定理-两边对应成比例且夹角相等如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在与中，，，那么．AABCA1B1C1此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.典例分析【例1】（2023秋·甘肃天水·九年级校考期末）如图，在和中，，且．求证：．【答案】见解析【分析】先根据得出，再根据得出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得出结论即可．【详解】证明：∵，∴，又∵，∴，即，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．【例2】（2022春·九年级课时练习）已知：如图所示，相交于点O，连接，且，求证：．【答案】见解析【分析】根据判断两个三角形相似．【详解】证明：∵，，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．即学即练1．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，与中，，；证明：．

【答案】见解析【分析】根据，得出，进而可得出结论．【详解】证明：∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．2．（2023秋·吉林白山·九年级校考期末）【教材原题】如图①，在中，，且，，图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________；【改编】将图①中的绕点A按逆时针方向旋转到如图②所示的位置，连接、．求证：；【应用】如图③，在和中，，，点D在边上，连接，则与的面积比为__________．【答案】【教材原题】，；【改编】证明见解析；【应用】【分析】教材原题：根据平行线的性质可得，，即可得出，再求出对应边的比，即可得出相似比；改编：根据得出，，进而得出，，即可求证；应用：根据，可得，则，进而得出，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解．【详解】教材原题解：∵，∴，，∴；∵，，∴，∴相似比为．故答案为：，；改编：证明：∵，∴，．∴，∴，．∴．应用：∵，，∴，∴，则，∵，∵，∴，即，∴，∵，，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质．1．（2022秋·湖南株洲·九年级统考期中）如图，下列条件不能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【详解】解：A、∵，，∴，故此选项不合题意；B、∵，，∴，故此选项不合题意；C、∵，∴，，∴，故此选项不合题意；D、不能判定，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．2．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，下列四个三角形中，与相似的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先根据勾股定理算出的边长，再将各选项三角形边长算出，判断与各边是否能形成比例，得出答案．【详解】解：根据勾股定理得，，，选项A中，三角形三边长分别是2，，，与三边不成比例，故A选项不正确．选项B中，三角形三边长分别是2，4，，与成比例，比例为，根据三边成比例的两个三角形相似，故B选项正确．选项C中，三角形三边长分别是2，3，，与三边不成比例，故C选项不正确．选项D中，三角形三边长分别是，，4，与三边不成比例，故D选项不正确．故答案选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定等内容，其中三边成比例的两个三角形相似是解决问题的关键．3．（2023秋·九年级课前预习）如图是老师画出的，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的不一定相似的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据两个三角形相似的判定方法进行判定即可．【详解】解：A、由有两个角对应相等的三角形相似即可判定这两个三角形相似；B、由于，且夹角相等，所以这两个三角形相似；C、不能判定相似；D、由有两个角对应相等的三角形相似即可判定这两个三角形相似；故选：C．【点睛】本题考查了两个三角形相似的判定，掌握相似三角形判定的方法是关键．4．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，下列条件：①；②；③；④；其中单独能够判定的条件有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．【详解】解：，，，故①单独能够判定；，，，故②单独能够判定；由③不能判定，，，，故④单独能够判定；其中单独能够判定的条件有3个，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．5．（2022秋·河北·九年级校联考阶段练习）如图，下列条件不能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【详解】解：A、∵，，∴，故此选项不合题意；B、∵，，∴，故此选项不合题意；C、∵，∴，，，故此选项不合题意；D、不能判定，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键.6．（2022秋·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】解：A、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意；B、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意；C、由，但夹角不相等，不能判断，故此选项符合题意；D、由，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故此选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．7．（2023秋·广东梅州·九年级校考期末）如图，在下列四个条件：①；②；③；④中，能使的条件有（

）个

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理，逐项判断即可．【详解】①∵，又，∴．条件①符合题意．②∵，又，∴．又，∴．条件②符合题意．③根据不能判断．条件③不符合题意．④∵，又，∴．条件④符合题意．综上所述条件①②④能使．故选：C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．8．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据得到，结合选项根据三角形相似的判定逐个判断即可得到答案；【详解】解：∵，∴，若添加或或都可以得到与相似，故A、B、D不符合题意，若添加，不能得到与相似，故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．9．（2023春·安徽滁州·九年级校考开学考试）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．【详解】解：，，、添加，可用两角法判定，故本选项错误；、添加，可用两角法判定，故本选项错误；、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项错误；、添加，不能判定，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．10．（2022秋·山东泰安·九年级校考期末）中，D是上的一点，再在上取一点E，使得与相似，则满足这样条件的E点共有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】C【分析】与中，有公共角，因此只要作或，即可得出两三角形相似．【详解】解：根据题意得：当时，；当时，由，可得．所以有2个．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．11．（2023·江苏南通·统考一模）正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点．(1)当时，求的度数用含的式子表示；(2)点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)，是定值(3)【分析】根据翻变换的性质可以得到，加上对顶角相等得到的，从而得到，进而得到对应边成比例，再根据比例的性质得到，加上对顶角相等得到的证明出：，最终得到对应角相等得出结果．如图中，连接，证明是等腰直角三角形，可得结论；证明是等边三角形，可得结论．【详解】（1）如图中，设交于点．四边形是正方形，，，，由翻折变换的性质可知，，，，，，，，，，．（2），是定值．理由：如图中，连接，．四边形是正方形，，，，，，，，同法可证，，，，，，，，；（3）如图中，当时，，，，，，，．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．12．（2022秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．【答案】(1)为的理想点,理由见解析(2)或【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；（2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上．（1）解：点是的“理想点”，理由如下：是中点，，，，，，，，，，，点是的“理想点”；（2）①在上时，如图：是的“理想点”，或，当时，，，，即是边上的高，当时，同理可证，即是边上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想点”不可能在边上，③在边上时，如图：是的“理想点”，，又，，，即，，综上所述，点是的“理想点”，的长为或．【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．13．（2023·全国·九年级专题练习）在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，.(1)观察猜想如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________．(2)类比探究如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．【答案】(1)1，；(2)，，理由见解析【分析】(1)首先根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质，即可证得，如图①中，设直线与直线交于点I，再利用全等三角形的性质及角的关系，即可求得结果；(2)首先根据