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文档简介
专题03一元二次方程的实际应用知识点1:列方程解应用题的一般步骤1.简称:审、设、列、解、验、答.2.注意事项:第1步“审”一般不写出来,但它是最重要的一步,只有审清题意,明确已知量、未知量及它们之间的关系,才能准确地列出方程,第5步“验”一般只写出验根后的结果即可,过程不必详述,但此步骤必不可少,一定要充分利用题目中的条件把不合题意的根舍去.知识点2:解决几何问题解决此类问题的关键是把实际问题抽象成几何问题,并根据条件列方程计算,注意检验解出的结果是否符合实际.知识点3:解决增长(降低)率问题解决此类问题有两个关键点:(1)增长(降低)率是不变的,每次都一样;(2)要注意增长(降低)次数,每次的增长(降低)基数是不同的,每一次的增长(降低)量也不同.知识点4:解决数字问题解决此类题的关键是厘清数量关系,若题目涉及多个数的和、差、倍、分等关系,可先设其中任意一个数为x,则其他数可用含x的代数式表示出来,再根据题目条件列方程求解.知识点5:解决销售问题解决此类问题的关键是熟练掌握等量关系:“每件利润-售价=进价”“每件利润×销售量=总利润”.知识点6:解决动点问题解决这类问题的关键是先设出未知数,再根据题意和图形表示出有关的量,最后由几何图形面积公式构造方程求解.题型归纳【题型1传播问题】满分技法传播问题要认真审题,找到题目的基准量和比较量,利用“基准量×(1±百分率)2=比较量”进行列方程求解.1.(23-24八年级下·安徽亳州·期中)某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮就会有64台电脑被感染.设每轮感染中平均一台电脑可感染台,下面所列方程正确的是(
)A. B.C. D.2.(23-24八年级下·安徽合肥·期中)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的枝干,每个枝干又长出同样数目的小分支.已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56,则这种植物每个枝干长出小分支的个数是(
)A.9 B.8 C.7 D.63.(23-24八年级下·安徽安庆·期中)甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病,感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现.在“甲流”初期,有1人感染了“甲流病毒”,如若得不到有效控制,经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”,则每轮传染中平均一个人传染了()A.12人 B.12人 C.13人 D.14人【题型2增长率问题】满分技法(1)平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为a,增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为a(1+x)2.依此类推,n次增长后的值为a(1+x)n(2)平均降低率是指降低数与基数的比.若基数为a,降低率为,则一次降低后的值为a(1-x),两次降低后的值为a(1-x)2.依此类推,n次降低后的值为a(1-x)n4.(23-24八年级下·安徽池州·阶段练习)安徽省年人均是7.03万元,年人均是7.68万元.设人均年平均增长率是,根据题意可列方程为(
)A. B.C. D.5.(23-24八年级下·安徽六安·阶段练习)2024年春节档电影《热辣滚烫》的票房高开低走,正月初一票房约为4.23亿,因受到同期其他电影的影响,票房走低,正月初三票房约为亿,若每天票房的下降率相同,设为,则方程可以列为(
)A. B.C. D.6.(23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习)某市2023年的生产总值比2022年增长了,预计2024年比2023年增长.若这两年年平均增长率为x,则满足的关系是(
)A. B.C. D.7.(23-24八年级下·安徽合肥·期中)据初步统计,合肥园博园自2023年9月26日开园至12月26日,累计接待游客约632万人,第1个月接待游客约为105万人,如果每月比上月增长的百分数为相同的x,则可列方程为(
)A. B.C. D.8.(23-24八年级下·安徽蚌埠·期中)某食品加工厂第一季度的销售额为万元,第三季度的销售额为万元,则该食品加工厂第二、三季度销售额的平均增长率为.【题型3与图形有关的问题】满分技法图形问题要定位清晰未知数,并利用等量关系列方程并求出所求数值.9.(23-24八年级下·安徽淮北·期中)阿进同学有一块长,宽的长方形纸板,他想制作一个有盖的长方体盒子.为了合理使用材料,他设计了如图所示的裁剪方案,空白部分为裁剪下来的边角料,其中左侧两个空白部分为正方形.如果裁剪并折出底面积为的有盖盒子(盒盖与盒底的大小形状相同),那么裁去的左侧正方形的边长是(
)
A. B. C. D.10.(23-24八年级下·安徽安庆·期中)某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地,该基地两边靠着一个直角围墙如图(围墙的长足够长),另两边和由总长为80米长的篱笆组成.(1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米,求的长;(2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗?若能,求出的长;若不能,请说明理由.11.(23-24八年级下·安徽蚌埠·期中)《劳动教育》成为一门独立的课程,我校率先行动,在校园内开辟了一块劳动教育基地.八年级数学兴趣小组在课余时间里,利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为米),用长为米的篱笆(篱笆正好要全部用完,且不考虑接头的部分),围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地,在菜地的前端各设计了两个宽米的小门,供同学们进行劳动实践.(1)若设菜地的宽为米,___________米(用含的代数式表示);(2)求当为何值时,围成的菜地面积为平方米;(3)要想围成菜地面积为平方米,可能吗?请计算说明理由.12.(23-24八年级下·安徽亳州·期中)某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域,而且这三块长方形区域的面积相等,设的长度为.
(1)______;(2)的长度为______m(用含有的代数式表示);(3)当长方形区域的面积为时,求的长度.13.(23-24八年级下·安徽池州·阶段练习)有两块长为100cm,宽为40cm的长方形硬纸板.
图1
图2(1)如图1,把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形,然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒.若该收纳盒的底面积为,求剪去的小正方形的边长.(2)如图2,把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形,然后折成一个有盖的长方体收纳盒.若和两边恰好重合且无重叠部分,该收纳盒的底面积为.有一个玩具机械狗,其尺寸大小如图3所示,请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒.【题型4数字问题】满分技法数字问题不算难,巧妙设元是关键正确而巧妙地设出未知数,一般采用如下的间接设元法:(1)三个连续整数的表示:一般设中间一个数是工,则其余两个数分别为x-1,x+1.(2)三个连续偶数或三个连续奇数的两种表示:①设中间偶(奇)数为x,则三个连续偶(奇)数可表示为x-2,x,x十2.②三个连续偶数可以表示为2x-2,2x,2x十2;三个连续奇数可以表示为2x-3,2x-1,2x+1.(3)两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a十b.(4)三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数可表示为100a十10b+c14.(22-23八年级下·安徽阜阳·期中)一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调,得到的两位数比原来的两位数小27,则原来的两位数是15.(22-23八年级下·安徽亳州·期中)两个连续奇数的积为,若设其中较小的奇数为,则可列方程为,这两个数分别为.16.(22-23八年级下·安徽亳州·期中)一个两位数,十位数与个位数字之和是3,把这个数的个位数与十位数字对调后,得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252,求原来的两位数.【题型5营销问题】满分技法销售问题常用公式:(1)利润=售价-进价,利润率=;(2)打折后的价格=原价×打折数×;(3)单位利润×数量=总利润,单位售价×数量=总售价;(4)售价=进价×(1+利润率);(5)总利润=每件利润×销售量=总收入-总支出.17.(23-24八年级下·安徽亳州·期中)“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式,某带货主播准备销售一种防护品,进货价格为每件20元,并且每件的售价不低于进货价.经过初期试销售调查发现:每周的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间满足如图所示的函数关系.(1)求每周的销售量(件)与每件的售价(元)之间的函数关系式;(不必写出自变量的取值范围)(2)物价部门规定,该防护品每件的利润不许高于进货价的,该带货主播销售这种防护品每周的总利润要想达到3360元,那么每件的售价应定为多少元?18.(23-24八年级下·安徽合肥·期中)某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售量之间有如下关系:若当月仅售出1辆汽车,则该部汽车的进价为万元,每多售出辆,所有售出的汽车进价每辆均降低万元,月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司,销售量在辆以内含辆,每辆返利万元;若当月销售量在辆以上,每辆返利万元.(1)若该公司当月售出辆汽车,则每辆汽车的进价为万元;(2)如果该公司把该品牌汽车的售价定为万元辆,并计划当月盈利万元,那么需要销售多少辆汽车?提示:盈利=销售利润+返利)19.(23-24八年级下·安徽阜阳·期中)某商场销售某种冰箱,每台进货价为3000元,市场调研表明:当销售价为3500元/台时,平均每天能销售10台;而当销售价每降低20元时,平均每天就能多售出1台.该商场为了减少库存,让利于顾客,且想使这种冰箱的销售利润平均每天达到6000元,那么每台冰箱应降价多少元?20.(23-24八年级下·安徽马鞍山·期中)“道路千万条,安全第一条”.公安交警部门提醒市民,骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规.某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销售,该品牌头盔月份销售个,月份销售个,且从月份到月份销售量的月增长率相同.(1)求该品牌头盔销售量的月增长率;(2)若此种头盔的进价为元/个,测算在市场中,当售价为元/个时,月销售量为个,若在此基础上售价每上涨元/个,则月销售量将减少个,为使月销售利润达到元,并且尽可能让市民得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?【题型6动态几何问题】满分技法解决动点问题的通用策略:动点问题是动态几何问题最常见的形式之一,解决动点问题要先分析出动点的运动特点,包括起始位置、终止位置、运动方向、运动轨迹、运动速度和运动时间,再结合具体的几何图形,运用相关知识列方程求解,注意对所求结果要进行检验,看是否符合题意。21.(23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习)如图中,,,.点P从A开始沿边向点B以的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动,问:经过几秒,的面积等于22.(23-24八年级下·安徽蚌埠·期中)如图,在长方形中,,点P从点A出发沿以的速度向点B运动,同时,点Q从点B出发沿以的速度向点C运动.设运动时间为(1)cm,cm;(用含x的式子表示)(2)若的面积为,求x的值.23.(23-24八年级下·安徽亳州·期中)如图,在长方形中,,,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以的速度向点B运动,一直到达点B为止,点Q以的速度向点D运动,设运动时间为.(1)当t为何值时,四边形的面积为?(2)当t为何值时,线段的长为?24.(23-24八年级下·安徽安庆·期中)已知中,,点P从点A开始沿边以每秒的速度移动,点Q从点C开始沿以每秒的速度移动,如果分别从A、C两点同时出发,经几秒时间使的面积等于?25.(23-24八年级下·安徽合肥·期中)如图,点B在射线上,过点B作射线,点C在射线上,且,点P由点A开始沿射线运动,点Q由点C开始沿射线运动,两点同时出发,速度都是,与直线相交于点D,设点P的运动时间为,的面积为.(1)当点在射线上时,,求的值.(2)求出关于的函数关系式.(3)当点运动多少秒时,.【题型7图表信息题】满分技法解决图表信息题策略:1.仔细阅读题目,理解题目要求和所给图表的内容。2.提取关键信息并分析数据关系.分析不同数据之间的关联和差异,理解它们之间的因果关系或相关性。对于复杂的图表,可以尝试将数据转化为表格形式,以便更清晰地分析数据关系。3.构建数学模型.根据题目要求和所提取的信息,构建合适的数学模型或公式。使用数学模型进行计算或推理,得出题目的答案。26.(21-22八年级下·安徽池州·期中)如图是2022年5月份的日历,在日历表上可以用一个方框圈出的四个数.(1)若圈出的四个数中,最小的数为,则最大的数为______(用含的代数式表示);(2)若圈出的四个数中,最小数与最大数的乘积为153,求这个最小数.过关检测1.(23-24八年级下·安徽安庆·期中)某城市美术馆今年1月份接待游客10万人,3月份接待游客12.1万人,则这两个月接待游客人数的月平均增长率为(
).A. B. C. D.2.(23-24八年级下·安徽合肥·期中)某县为发展教育事业,加强了对教育经费的投入,2022年投入3亿元,预计2024年投入5亿元,设教育经费的年平均增长率为x,下面所列方程正确的是(
)A. B. C. D.3.(23-24八年级下·安徽阜阳·期中)电动自行车已成为市民日常出行的首选工具,据某品牌电动自行车经销商1至3月份统计,该品牌电动自行车1月份销售200辆,第一季度共销售该品牌电动自行车662辆,设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x,则x满足的关系式是(
)A. B.C. D.4.(23-24八年级下·安徽宣城·期中)电影《热辣滚烫》讲述了宅家多年的女孩杜乐莹(由贾玲饰演)在遇到拳击教练昊坤(由雷佳音饰演)后,如何克服生活挑战,重拾自我,开启全新人生的故事.2024年春节(2月10日)一上映就获得全国人民的追捧,第一天票房约4亿元,以后每月票房按相同的增长率增长,历时2个月,至4月10最后一天公映,累计票房收入达34.6亿元,若把平均每月的增长率记作,则方程正确的为(
)A. B.C. D.5.(23-24八年级下·安徽合肥·期中)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价,最高销售限价以及实数确定实际销售价格,这里被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数恰好使得,据此可得,最佳乐观系数的值等于(
)A. B. C. D.6.(23-24八年级下·安徽·期中)2021年“房住不炒”第三次出现在政府报告中,明确了要稳地价、稳房价、稳预期.为响应中央“房住不炒”的基本政策,某房企业连续降价两次后的平均价格是降价之前的,则平均每次降价的百分率为.7.(22-23八年级下·安徽滁州·期中)如图,把一块长为,宽为的长方形硬纸板的四个角减去四个相同的小正方形,然后把硬纸板的四边沿虚线折起,并用胶带粘好,即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为,设剪去的小正方形的边长为,则可列方程为.
8.(22-23八年级下·安徽六安·期中)《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行.《条例》规定,驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔,同时,针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准.某商店以每件元的价格购进一批安全头盔,经市场调研发现,该头盔每周销售量(件)与销售单价(元/件)满足一次函数,物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的.若商店计划每周销售该头盔获利元,则每件头盔的售价应为元.9.(22-23八年级下·安徽合肥·期末)如图,点O是矩形内一点,则点O到四个顶点的距离满足关系式,若点O在对角线,,.则.
10.(23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习)对于两个不相等的实数a、b,我们规定符号表示a、b中的较大值,如:按照这个规定,解决下列问题:(1).(2)关于x的方程(其中)的解为.11.(23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习)某水果店以20元/千克的价格新进-批水果,经调查发现,在一段时间内,销售量(千克)与销售价格x(元千克)之间的函数图像是一条线段,如图所示.(1)该水果店想在销售成本不超过1500元的情况下,使销售利润达到1400元,销售价格应定为多少元?(2)在(1)条件下,该水果店为了五一期间促销,经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完,求平均每次降价的百分比.12.(23-24八年级下·安徽亳州·期中)某电商在某短视频平台上直播带货,已知该电商销售的生活用品的进货价为70元件,为吸引流量,该电商承诺直播间价格不高于110元件.根据之前的市场调研,商家发现当售价为110元件时,日销售量为20件,售价每降低1元,日销售量增加2件.(1)当日销售量为30件时,该生活用品的售价为______元/件;(2)求出该生活用品日销售量y(件)与售价x(元/件)的函数表达式;(3)若要尽可能多的让利于顾客,同时销售该生活用品每天获利1200元,则该生活用品每件售价应定为多少元?
专题03一元二次方程的实际应用知识点1:列方程解应用题的一般步骤1.简称:审、设、列、解、验、答.2.注意事项:第1步“审”一般不写出来,但它是最重要的一步,只有审清题意,明确已知量、未知量及它们之间的关系,才能准确地列出方程,第5步“验”一般只写出验根后的结果即可,过程不必详述,但此步骤必不可少,一定要充分利用题目中的条件把不合题意的根舍去.知识点2:解决几何问题解决此类问题的关键是把实际问题抽象成几何问题,并根据条件列方程计算,注意检验解出的结果是否符合实际.知识点3:解决增长(降低)率问题解决此类问题有两个关键点:(1)增长(降低)率是不变的,每次都一样;(2)要注意增长(降低)次数,每次的增长(降低)基数是不同的,每一次的增长(降低)量也不同.知识点4:解决数字问题解决此类题的关键是厘清数量关系,若题目涉及多个数的和、差、倍、分等关系,可先设其中任意一个数为x,则其他数可用含x的代数式表示出来,再根据题目条件列方程求解.知识点5:解决销售问题解决此类问题的关键是熟练掌握等量关系:“每件利润-售价=进价”“每件利润×销售量=总利润”.知识点6:解决动点问题解决这类问题的关键是先设出未知数,再根据题意和图形表示出有关的量,最后由几何图形面积公式构造方程求解.题型归纳【题型1传播问题】满分技法传播问题要认真审题,找到题目的基准量和比较量,利用“基准量×(1±百分率)2=比较量”进行列方程求解.1.(23-24八年级下·安徽亳州·期中)某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮就会有64台电脑被感染.设每轮感染中平均一台电脑可感染台,下面所列方程正确的是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,能够正确表示每轮感染中,有多少台电脑被感染是解决此题的关键.设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑.则经过一轮感染,1台电脑感染给了台电脑,这台电脑又感染给了台电脑.根据等量关系:经过两轮感染后就会有64台电脑被感染求解即可.【详解】解:每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑,列方程得:,即.故选:C.2.(23-24八年级下·安徽合肥·期中)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的枝干,每个枝干又长出同样数目的小分支.已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56,则这种植物每个枝干长出小分支的个数是(
)A.9 B.8 C.7 D.6【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的实际应用,理解题意找出等量关系是解题关键.设这种植物每个支干长出的小分支个数是x,根据题意可列出关于x的方程,再求解即可.【详解】解:设这种植物每个支干长出的小分支个数是x,依题意得:,解得:(不合题意,舍去),,∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8.故选:C.3.(23-24八年级下·安徽安庆·期中)甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病,感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现.在“甲流”初期,有1人感染了“甲流病毒”,如若得不到有效控制,经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”,则每轮传染中平均一个人传染了()A.12人 B.12人 C.13人 D.14人【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的应用;传染源为人,每次传播人,第一轮传播后,感染的人数一共为人,人则成为第二轮的传染源,因此第二轮感染的人数为人,根据两轮感染的总人数即可列出方程求解.【详解】解:设每轮传染中平均一个人传染了个人,根据题意,得,解得:或(舍去),答:每轮传染中平均一个人传染了个人.故选:D.【题型2增长率问题】满分技法(1)平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为a,增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为a(1+x)2.依此类推,n次增长后的值为a(1+x)n(2)平均降低率是指降低数与基数的比.若基数为a,降低率为,则一次降低后的值为a(1-x),两次降低后的值为a(1-x)2.依此类推,n次降低后的值为a(1-x)n4.(23-24八年级下·安徽池州·阶段练习)安徽省年人均是7.03万元,年人均是7.68万元.设人均年平均增长率是,根据题意可列方程为(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.利用2023年人均年人均年平均增长率,即可列出关于的一元二次方程,此题得解.【详解】解:根据题意得:.故选:.5.(23-24八年级下·安徽六安·阶段练习)2024年春节档电影《热辣滚烫》的票房高开低走,正月初一票房约为4.23亿,因受到同期其他电影的影响,票房走低,正月初三票房约为亿,若每天票房的下降率相同,设为,则方程可以列为(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.【详解】解:每天票房的下降率相同,设为,根据题意得.故选:C.6.(23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习)某市2023年的生产总值比2022年增长了,预计2024年比2023年增长.若这两年年平均增长率为x,则满足的关系是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】本题考查了列一元二次方程,设2022年为元,再利用两种方式求出2024年建立方程即可得.【详解】设2022年为元,由题意得:,整理得:,故选:D.7.(23-24八年级下·安徽合肥·期中)据初步统计,合肥园博园自2023年9月26日开园至12月26日,累计接待游客约632万人,第1个月接待游客约为105万人,如果每月比上月增长的百分数为相同的x,则可列方程为(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程,设每月比上月增长的百分数为相同的x,则第2个月接待游客约为万人,第3个月接待游客约为万人,再根据3个月累计接待游客约632万人列出对应的方程即可.【详解】解:设每月比上月增长的百分数为相同的x,由题意得,,故选:C.8.(23-24八年级下·安徽蚌埠·期中)某食品加工厂第一季度的销售额为万元,第三季度的销售额为万元,则该食品加工厂第二、三季度销售额的平均增长率为.【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用.根据题意正确的列方程是解题的关键.设第二、三季度销售额的平均增长率为,依题意得,,计算求出满足要求的解即可.【详解】解:设第二、三季度销售额的平均增长率为,依题意得,,解得,或(舍去),∴第二、三季度销售额的平均增长率为,故答案为:.【题型3与图形有关的问题】满分技法图形问题要定位清晰未知数,并利用等量关系列方程并求出所求数值.9.(23-24八年级下·安徽淮北·期中)阿进同学有一块长,宽的长方形纸板,他想制作一个有盖的长方体盒子.为了合理使用材料,他设计了如图所示的裁剪方案,空白部分为裁剪下来的边角料,其中左侧两个空白部分为正方形.如果裁剪并折出底面积为的有盖盒子(盒盖与盒底的大小形状相同),那么裁去的左侧正方形的边长是(
)
A. B. C. D.【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用,设裁去左侧正方形的边长为,则折成的长方体盒子的底面长为,再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可.【详解】解:设裁去左侧正方形的边长为,则折成的长方体盒子的底面长为,由题意得,
整理得:,解得:(不合题意,舍去)
∴折成的有盖盒子,裁去左侧的正方形边长是,故选:D.10.(23-24八年级下·安徽安庆·期中)某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地,该基地两边靠着一个直角围墙如图(围墙的长足够长),另两边和由总长为80米长的篱笆组成.(1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米,求的长;(2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗?若能,求出的长;若不能,请说明理由.【答案】(1)的长为20米或60米(2)不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地,理由见解析【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式,(1)设的长为米,则的长为米,依题意列出方程,解方程即可求解;(2)根据题意,列出方程,由方程解的情况即可得解;找准等量关系,正确列出一元二次方程是解决此题的关键.【详解】(1)设的长为米,则的长为米,根据题意,得,整理,得,解得:,答:的长为20米或60米.(2)不能,理由如下:根据题意,得,整理,得,,该方程无实数根,不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地.11.(23-24八年级下·安徽蚌埠·期中)《劳动教育》成为一门独立的课程,我校率先行动,在校园内开辟了一块劳动教育基地.八年级数学兴趣小组在课余时间里,利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为米),用长为米的篱笆(篱笆正好要全部用完,且不考虑接头的部分),围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地,在菜地的前端各设计了两个宽米的小门,供同学们进行劳动实践.(1)若设菜地的宽为米,___________米(用含的代数式表示);(2)求当为何值时,围成的菜地面积为平方米;(3)要想围成菜地面积为平方米,可能吗?请计算说明理由.【答案】(1)(2)(3)不能,见解析【分析】本题考查了一元二次方程的应用.(1)根据各边之间的关系,可得出长为米;(2)根据围成的菜地面积为平方米,可得出关于的一元二次方程,解之取其符合题意的值,即可;(3)根据菜地面积若为平方米,即可得出关于的一元二次方程,利用根的判别式即可判断.【详解】(1)解:∵篱笆的总长为米,菜地的前端各设计了两个宽米的小门,且菜地的宽为米,∴长为米.故答案为:;(2)解:根据题意得:,整理得:,解得:,,当时,,不符合题意,舍去;当时,,符合题意;故当围成的菜地面积为平方米时,宽为米(3)解:不能围成面积为平方米的菜地,理由如下:依题意得:,整理得:,∵,∴该方程无实数根,即不能围成面积为平方米的菜地.12.(23-24八年级下·安徽亳州·期中)某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域,而且这三块长方形区域的面积相等,设的长度为.
(1)______;(2)的长度为______m(用含有的代数式表示);(3)当长方形区域的面积为时,求的长度.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)设,根据题意,四边形,四边形,四边形都是矩形,得到,,根据题意,得到,,列式计算即可.(2)根据,计算即可;(3)根据题意,得,解方程计算即可.本题考查了一元二次方程的应用,熟练掌握解方程是解题的关键.【详解】(1)设,根据题意,得四边形,四边形,四边形都是矩形,设,,根据题意,得,,∴,∴,解得,故故答案为:.(2)根据(1),得,,,∴,∴,故答案为:.(3)根据题意,得,整理,得,解得,答:的长度为.13.(23-24八年级下·安徽池州·阶段练习)有两块长为100cm,宽为40cm的长方形硬纸板.
图1
图2(1)如图1,把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形,然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒.若该收纳盒的底面积为,求剪去的小正方形的边长.(2)如图2,把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形,然后折成一个有盖的长方体收纳盒.若和两边恰好重合且无重叠部分,该收纳盒的底面积为.有一个玩具机械狗,其尺寸大小如图3所示,请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒.【答案】(1)2cm(2)不能,详见解析【分析】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.(1)设剪去的小正方形的边长为,则折成的无盖收纳盒的底面为长,宽为的长方形,根据该无盖收纳盒的底面积为,可列出关于的一元二次方程求解;(2)设剪去小长方形的宽为,则折成的有盖的长方体收纳盒的底面为长,宽为,根据盒子的底面积为,可列出关于的一元二次方程,解之可得出值,将其符合题意的值代入及中,可得出折成的有盖的长方体收纳盒的长、宽、高,再结合玩具机械狗的尺寸大小,即可得出玩具机械狗不能完全放入该收纳盒.【详解】(1)解:(1)设剪去的小正方形的边长为,则该收纳盒的底面是长为,宽为的长方形,根据题意得,整理得:,解得(不合题意,舍去),答:剪去的小正方形的边长为.(2)(2)不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒.理由如下:设剪去的小长方形的宽为,则该收纳盒的底面是长为,宽为,根据题意得,整理得,解得(不合题意,舍去),,折成的有盖的长方体收纳盒的长为,宽为,高为,,不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒.【题型4数字问题】满分技法数字问题不算难,巧妙设元是关键正确而巧妙地设出未知数,一般采用如下的间接设元法:(1)三个连续整数的表示:一般设中间一个数是工,则其余两个数分别为x-1,x+1.(2)三个连续偶数或三个连续奇数的两种表示:①设中间偶(奇)数为x,则三个连续偶(奇)数可表示为x-2,x,x十2.②三个连续偶数可以表示为2x-2,2x,2x十2;三个连续奇数可以表示为2x-3,2x-1,2x+1.(3)两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a十b.(4)三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数可表示为100a十10b+c14.(22-23八年级下·安徽阜阳·期中)一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调,得到的两位数比原来的两位数小27,则原来的两位数是【答案】74【分析】设这个两位数的十位数字为a,个数数字为b,然后根据十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调,得到的两位数比原来的两位数小27列出方程求解即可.【详解】解:设这个两位数的十位数字为a,个数数字为b,由题意得,,整理得:,∴,即,解得或(舍去),∴,∴原来的两位数是74,故答案为:74.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键.15.(22-23八年级下·安徽亳州·期中)两个连续奇数的积为,若设其中较小的奇数为,则可列方程为,这两个数分别为.【答案】或【分析】设其中较小的奇数为,则较大的奇数为,根据题意,列方程为,解方程即可.【详解】设其中较小的奇数为,则较大的奇数为,根据题意,得,解得,当时,;当时,.故答案为:,或.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,熟练掌握连续奇数的特点是解题的关键.16.(22-23八年级下·安徽亳州·期中)一个两位数,十位数与个位数字之和是3,把这个数的个位数与十位数字对调后,得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252,求原来的两位数.【答案】原来的两位数是12或21【分析】设原来的两位数十位上的数字为,则个位上的数字为,根据“新两位数与原来的两位数的乘积为252”列出一元二次方程,解方程即可得到答案.【详解】设原来的两位数十位上的数字为,则个位上的数字为,依题意得:,整理得:,解得:,,当时,,当时,,原来的两位数是12或21,答:原来的两位数是12或21.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用,读懂题意,正确列出一元二次方程是解题的关键.【题型5营销问题】满分技法销售问题常用公式:(1)利润=售价-进价,利润率=;(2)打折后的价格=原价×打折数×;(3)单位利润×数量=总利润,单位售价×数量=总售价;(4)售价=进价×(1+利润率);(5)总利润=每件利润×销售量=总收入-总支出.17.(23-24八年级下·安徽亳州·期中)“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式,某带货主播准备销售一种防护品,进货价格为每件20元,并且每件的售价不低于进货价.经过初期试销售调查发现:每周的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间满足如图所示的函数关系.(1)求每周的销售量(件)与每件的售价(元)之间的函数关系式;(不必写出自变量的取值范围)(2)物价部门规定,该防护品每件的利润不许高于进货价的,该带货主播销售这种防护品每周的总利润要想达到3360元,那么每件的售价应定为多少元?【答案】(1)(2)当这种防护品每件的售价定为32元时,该主播每月的总利润可达到3360元.【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用,一元二次方程的实际应用:(1)由图象可知每月销售量(件)与售价(元)之间为一次函数关系,设其函数关系式为,用待定系数法求解即可;(2)由题意得关于x的一元二次方程,解一元二次方程可得答案.【详解】(1)解:由图象可知每月销售量y(件)与售价x(元)之间为一次函数关系,设其函数关系式为,将,代入,得,解得:,∴每月销售y(件)与售价x(元)的函数关系式为;(2)解:根据题意得:,整理得,,解得,,∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的,∴,即,∴不合题意应舍去,∴.∴当这种防护品每件的售价定为32元时,该主播每月的总利润可达到3360元.18.(23-24八年级下·安徽合肥·期中)某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售量之间有如下关系:若当月仅售出1辆汽车,则该部汽车的进价为万元,每多售出辆,所有售出的汽车进价每辆均降低万元,月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司,销售量在辆以内含辆,每辆返利万元;若当月销售量在辆以上,每辆返利万元.(1)若该公司当月售出辆汽车,则每辆汽车的进价为万元;(2)如果该公司把该品牌汽车的售价定为万元辆,并计划当月盈利万元,那么需要销售多少辆汽车?提示:盈利=销售利润+返利)【答案】(1)(2)辆【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元二次方程的应用;(1)利用每辆汽车的进价(月销售量),即可求出结论;(2)设需要销售辆汽车,则每辆的销售利润为()万元,分及>两种情况考虑,利用总利润每辆的销售利润月销售量,可列出关于的一元二次方程,解之取其符合题意的值,即可得出结论.【详解】(1)解:根据题意得:万元,每辆汽车的进价为万元.故答案为:;(2)设需要销售辆汽车,则每辆的销售利润为万元.当时,,整理得:,解得:(不符合题意,舍去);当时,,整理得:,解得:(不符合题意,舍去),(不符合题意,舍去).答:需要销售辆汽车.19.(23-24八年级下·安徽阜阳·期中)某商场销售某种冰箱,每台进货价为3000元,市场调研表明:当销售价为3500元/台时,平均每天能销售10台;而当销售价每降低20元时,平均每天就能多售出1台.该商场为了减少库存,让利于顾客,且想使这种冰箱的销售利润平均每天达到6000元,那么每台冰箱应降价多少元?【答案】每台冰箱应降价200元.【分析】本题考查一元二次方程的实际应用,设每台冰箱应降价x元,根据销售价每降低20元时,平均每天就能多售出1台,销售利润平均每天达到6000元,列出方程进行求解即可.正确的列出方程,是解题的关键.【详解】解:设每台冰箱应降价x元,根据题意得:,解得,,∵商场为了减少库存,让利于顾客,,∴,答:每台冰箱应降价200元.20.(23-24八年级下·安徽马鞍山·期中)“道路千万条,安全第一条”.公安交警部门提醒市民,骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规.某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销售,该品牌头盔月份销售个,月份销售个,且从月份到月份销售量的月增长率相同.(1)求该品牌头盔销售量的月增长率;(2)若此种头盔的进价为元/个,测算在市场中,当售价为元/个时,月销售量为个,若在此基础上售价每上涨元/个,则月销售量将减少个,为使月销售利润达到元,并且尽可能让市民得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为(2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个【分析】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为,根据该品牌头盔月份及月份的月销售量,得出关于的一元二次方程,解之取其正值即可;(2)设该品牌头盔的实际售价应定为元/个,根据“月销售利润每个头盔的利润月销售量”,得出关于的一元二次方程求解,根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可.【详解】(1)解:设该品牌头盔销售量的月增长率为x,由题意,得:,,,解得:,(不合题意,舍去),答:该品牌头盔销售量的月增长率为;(2)解:设该品牌头盔的实际售价应定为元/个,由题意,得:,整理,得:,,或,解得:(为让市民得到实惠,舍去),,答:该品牌头盔的实际售价应定为元/个.【题型6动态几何问题】满分技法解决动点问题的通用策略:动点问题是动态几何问题最常见的形式之一,解决动点问题要先分析出动点的运动特点,包括起始位置、终止位置、运动方向、运动轨迹、运动速度和运动时间,再结合具体的几何图形,运用相关知识列方程求解,注意对所求结果要进行检验,看是否符合题意。21.(23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习)如图中,,,.点P从A开始沿边向点B以的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动,问:经过几秒,的面积等于【答案】或【分析】本题考查了一元二次方程的应用.关键是用含时间的代数式准确表示和的长度,再根据三角形的面积公式列出一元二次方程,进行求解.设出运动所求的时间,可将和的长表示出来,代入三角形面积公式,列出等式,可将时间求出.【详解】解:设点P,Q运动的时间为,则,,则,的面积等于,,即,解方程得,,,经过或时,的面积等于.22.(23-24八年级下·安徽蚌埠·期中)如图,在长方形中,,点P从点A出发沿以的速度向点B运动,同时,点Q从点B出发沿以的速度向点C运动.设运动时间为(1)cm,cm;(用含x的式子表示)(2)若的面积为,求x的值.【答案】(1),(2)1或5【分析】(1)根据点,的运动速度及时间,即可用含的代数式表示出当运动时间为时,的长度;(2)根据的面积为,即可得出关于的一元二次方程,解之即可得出结论.本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积,解题的关键是:(1)根据各数量之间的关系,用含的代数式表示出,的长度;(2)(3)找准等量关系,正确列出一元二次方程.【详解】(1)解:当运动时间为时,,,,.故答案为:;.(2)解:依题意得:,即,整理得:,解得:,.答:的值为1或5.23.(23-24八年级下·安徽亳州·期中)如图,在长方形中,,,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以的速度向点B运动,一直到达点B为止,点Q以的速度向点D运动,设运动时间为.(1)当t为何值时,四边形的面积为?(2)当t为何值时,线段的长为?【答案】(1)当t为5时,四边形的面积为(2)当t为或时.线段的长为【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识,正确表示运动过程中的相关线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键;(1)先表示,.再利用面积公式列方程解题即可;(2)过点Q作于点M,则,表示..再利用勾股定理建立方程求解即可.【详解】(1)解:当运动时间为时,,.由题意得,解得.答;当t为5时,四边形的面积为.(2)如图,过点Q作于点M,则,由题意知..在中.由勾股定理得,即,解得,.经检验符合题意;答:当t为或时.线段的长为.24.(23-24八年级下·安徽安庆·期中)已知中,,点P从点A开始沿边以每秒的速度移动,点Q从点C开始沿以每秒的速度移动,如果分别从A、C两点同时出发,经几秒时间使的面积等于?【答案】2秒【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用.设经x秒时间使的面积等于,根据三角形的面积公式列出方程,即可求解.【详解】解:设经x秒时间使的面积等于,根据题意得:,解得:(不符合题意,舍去),答:经2秒时间使的面积等于.25.(23-24八年级下·安徽合肥·期中)如图,点B在射线上,过点B作射线,点C在射线上,且,点P由点A开始沿射线运动,点Q由点C开始沿射线运动,两点同时出发,速度都是,与直线相交于点D,设点P的运动时间为,的面积为.(1)当点在射线上时,,求的值.(2)求出关于的函数关系式.(3)当点运动多少秒时,.【答案】(1)(2)(3)4秒、6秒或12秒【分析】本题考查了三角形面积公式和一元二次方程的应用,根据已知进行分类讨论是解题的关键;(1)由题在射线上时,秒,此时,,此时,然后根据三角形面积计算公式计算即可得解;(2)分、,两种情况,根据三角形的面积公式求出关于的函数关系式;(3)由即可列出等式,当秒时,则,当秒时,则,解答得到相应的值即可。【详解】(1)解:,,为直角三角形,,当点在射线上时,,点P由点A开始沿射线运动,点Q由点C开始沿射线运动,两点同时出发,速度都是,,,,,,整理得:,解得:(舍去负值),;(2),点P、Q运动速度是,当秒时,P在线段上,此时,,,当秒时,P在射线上,此时,,.关于的函数关系式为:;(3),,为直角三角形,,,当秒时,,整理得:,解得,.当秒时,,整理得:,解得,(不合题意,舍去),∴经过4秒、6秒或12秒时,.【题型7图表信息题】满分技法解决图表信息题策略:1.仔细阅读题目,理解题目要求和所给图表的内容。2.提取关键信息并分析数据关系.分析不同数据之间的关联和差异,理解它们之间的因果关系或相关性。对于复杂的图表,可以尝试将数据转化为表格形式,以便更清晰地分析数据关系。3.构建数学模型.根据题目要求和所提取的信息,构建合适的数学模型或公式。使用数学模型进行计算或推理,得出题目的答案。26.(21-22八年级下·安徽池州·期中)如图是2022年5月份的日历,在日历表上可以用一个方框圈出的四个数.(1)若圈出的四个数中,最小的数为,则最大的数为______(用含的代数式表示);(2)若圈出的四个数中,最小数与最大数的乘积为153,求这个最小数.【答案】(1);(2)9.【分析】(1)设圈出的四个数中,最小的数为,根据日历上两个数之间的关系可得答案;(2)根据最小数与最大数的乘积为105,即可得出关于n的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.【详解】(1)解:设圈出的四个数中,最小的数为,则最大的数为故答案为:(2)设四个数中,最小数为,根据题意,得.解得(不符合题意负值舍去)答:这个最小值为9.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.过关检测1.(23-24八年级下·安徽安庆·期中)某城市美术馆今年1月份接待游客10万人,3月份接待游客12.1万人,则这两个月接待游客人数的月平均增长率为(
).A. B. C. D.【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用.设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x,根据题意,列出方程,即可求解.【详解】解:设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x,根据题意得:,解得:(舍去),答:这两个月接待游客人数的月平均增长率为.故选:C2.(23-24八年级下·安徽合肥·期中)某县为发展教育事业,加强了对教育经费的投入,2022年投入3亿元,预计2024年投入5亿元,设教育经费的年平均增长率为x,下面所列方程正确的是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题,正确理解题意列得方程是解题的关键.设教育经费的年平均增长率为x,则2023年投入亿元,2024年投入亿元,由此得到方程.【详解】解:根据题意,得,故选:A.3.(23-24八年级下·安徽阜阳·期中)电动自行车已成为市民日常出行的首选工具,据某品牌电动自行车经销商1至3月份统计,该品牌电动自行车1月份销售200辆,第一季度共销售该品牌电动自行车662辆,设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x,则x满足的关系式是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的实际应用,根据该品牌电动自行车1月份销售200辆,第一季度共销售该品牌电动自行车662辆,列出方程即可.【详解】解:设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x,由题意,得:;故选B.4.(23-24八年级下·安徽宣城·期中)电影《热辣滚烫》讲述了宅家多年的女孩杜乐莹(由贾玲饰演)在遇到拳击教练昊坤(由雷佳音饰演)后,如何克服生活挑战,重拾自我,开启全新人生的故事.2024年春节(2月10日)一上映就获得全国人民的追捧,第一天票房约4亿元,以后每月票房按相同的增长率增长,历时2个月,至4月10最后一天公映,累计票房收入达34.6亿元,若把平均每月的增长率记作,则方程正确的为(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的应用,根据题意列出方程是解题的关键.设平均每天票房的增长率为,根据一元二次方程增长率问题,列出方程即可求解.【详解】解:设平均每天票房的增长率为,根据题意得:,故选:D.5.(23-24八年级下·安徽合肥·期中)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价,最高销售限价以及实数确定实际销售价格,这里被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数恰好使得,据此可得,最佳乐观系数的值等于(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的应用,根据题设条件,由,得到,整理后得到关于最佳乐观系数的方程,求解即可.解题的关键是正解理解题意并掌握一元二次方程的解法.【详解】解:∵,∴,∵,∴,,∴,∵,∴,∴,解得:或,∵,∴.故选:D.6.(23-24八年级下·安徽·期中)2021年“房住不炒”第三次出现在政府报告中,明确了要稳地价、稳房价、稳预期.为响应中央“房住不炒”的基本政策,某房企业连续降价两次后的平均价格是降价之前的,则平均每次降价的百分率为.【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.设平均每次降价的百分率为,利用经过两次降价后的价格=原价平均每次降价的百分率,即可得出关于的一元二次方程,解之取其符合题意的值即可得出结论.【详解】解:设平均每次降价的百分率为,依题意得:,解得:(不合题意,舍去).故答案为:.7.(22-23八年级下·安徽滁州·期中)如图,把一块长为,宽为的长方形硬纸板的四个角减去四个相同的小正方形,然后把硬纸板的四边沿虚线折起,并用胶
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