专题03 一元二次方程的实际应用-2024年新九年级数学暑假提升讲义（沪科版 温故复习）

专题03一元二次方程的实际应用知识点1：列方程解应用题的一般步骤1.简称：审、设、列、解、验、答.2.注意事项：第1步“审”一般不写出来,但它是最重要的一步，只有审清题意,明确已知量、未知量及它们之间的关系，才能准确地列出方程,第5步“验”一般只写出验根后的结果即可，过程不必详述，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不合题意的根舍去.知识点2：解决几何问题解决此类问题的关键是把实际问题抽象成几何问题，并根据条件列方程计算,注意检验解出的结果是否符合实际.知识点3：解决增长(降低)率问题解决此类问题有两个关键点:（1）增长(降低)率是不变的,每次都一样;（2）要注意增长(降低)次数，每次的增长(降低)基数是不同的，每一次的增长(降低)量也不同.知识点4：解决数字问题解决此类题的关键是厘清数量关系，若题目涉及多个数的和、差、倍、分等关系,可先设其中任意一个数为x，则其他数可用含x的代数式表示出来，再根据题目条件列方程求解.知识点5：解决销售问题解决此类问题的关键是熟练掌握等量关系:“每件利润－售价＝进价”“每件利润×销售量＝总利润”.知识点6：解决动点问题解决这类问题的关键是先设出未知数，再根据题意和图形表示出有关的量，最后由几何图形面积公式构造方程求解.题型归纳【题型1传播问题】满分技法传播问题要认真审题，找到题目的基准量和比较量，利用“基准量×（1±百分率）2=比较量”进行列方程求解.1．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（

）A． B．C． D．2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（

）A．9 B．8 C．7 D．63．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了()A．12人 B．12人 C．13人 D．14人【题型2增长率问题】满分技法(1)平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为a,增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x)，两次增长后的值为a(1+x)2.依此类推,n次增长后的值为a(1+x)n(2)平均降低率是指降低数与基数的比.若基数为a,降低率为,则一次降低后的值为a(1-x),两次降低后的值为a(1-x)2.依此类推,n次降低后的值为a(1-x)n4．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）安徽省年人均是7.03万元，年人均是7.68万元．设人均年平均增长率是，根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．5．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）2024年春节档电影《热辣滚烫》的票房高开低走，正月初一票房约为4.23亿，因受到同期其他电影的影响，票房走低，正月初三票房约为亿，若每天票房的下降率相同，设为，则方程可以列为（

）A． B．C． D．6．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）某市2023年的生产总值比2022年增长了，预计2024年比2023年增长．若这两年年平均增长率为x，则满足的关系是（

）A． B．C． D．7．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）据初步统计，合肥园博园自2023年9月26日开园至12月26日，累计接待游客约632万人，第1个月接待游客约为105万人，如果每月比上月增长的百分数为相同的x，则可列方程为（

）A． B．C． D．8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某食品加工厂第一季度的销售额为万元，第三季度的销售额为万元，则该食品加工厂第二、三季度销售额的平均增长率为．【题型3与图形有关的问题】满分技法图形问题要定位清晰未知数，并利用等量关系列方程并求出所求数值.9．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阿进同学有一块长，宽的长方形纸板，他想制作一个有盖的长方体盒子．为了合理使用材料，他设计了如图所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形．如果裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状相同），那么裁去的左侧正方形的边长是（

）

A． B． C． D．10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地，该基地两边靠着一个直角围墙如图（围墙的长足够长），另两边和由总长为80米长的篱笆组成．(1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米，求的长；(2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践．(1)若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）；(2)求当为何值时，围成的菜地面积为平方米；(3)要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由．12．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域的面积相等，设的长度为．

(1)______；(2)的长度为______m（用含有的代数式表示）；(3)当长方形区域的面积为时，求的长度．13．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．

图1

图2(1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．(2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．【题型4数字问题】满分技法数字问题不算难，巧妙设元是关键正确而巧妙地设出未知数，一般采用如下的间接设元法:(1)三个连续整数的表示:一般设中间一个数是工,则其余两个数分别为x-1,x+1.(2)三个连续偶数或三个连续奇数的两种表示:①设中间偶(奇)数为x,则三个连续偶(奇)数可表示为x-2,x,x十2.②三个连续偶数可以表示为2x-2,2x，2x十2;三个连续奇数可以表示为2x-3,2x-1,2x+1.(3)两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a十b.(4)三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数可表示为100a十10b+c14．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是15．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）两个连续奇数的积为，若设其中较小的奇数为，则可列方程为，这两个数分别为．16．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数．【题型5营销问题】满分技法销售问题常用公式：(1)利润＝售价－进价，利润率＝；(2)打折后的价格=原价×打折数×；(3)单位利润×数量＝总利润，单位售价×数量＝总售价;(4)售价=进价×(1＋利润率);(5)总利润=每件利润×销售量=总收入－总支出.17．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件20元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每周的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．(1)求每周的销售量（件）与每件的售价（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）(2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的，该带货主播销售这种防护品每周的总利润要想达到3360元，那么每件的售价应定为多少元？18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量之间有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为万元，每多售出辆，所有售出的汽车进价每辆均降低万元，月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司，销售量在辆以内含辆，每辆返利万元；若当月销售量在辆以上，每辆返利万元．(1)若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为万元；(2)如果该公司把该品牌汽车的售价定为万元辆，并计划当月盈利万元，那么需要销售多少辆汽车？提示：盈利=销售利润+返利)19．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）某商场销售某种冰箱，每台进货价为3000元，市场调研表明：当销售价为3500元/台时，平均每天能销售10台；而当销售价每降低20元时，平均每天就能多售出1台．该商场为了减少库存，让利于顾客，且想使这种冰箱的销售利润平均每天达到6000元，那么每台冰箱应降价多少元？20．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销售，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【题型6动态几何问题】满分技法解决动点问题的通用策略：动点问题是动态几何问题最常见的形式之一，解决动点问题要先分析出动点的运动特点，包括起始位置、终止位置、运动方向、运动轨迹、运动速度和运动时间，再结合具体的几何图形，运用相关知识列方程求解,注意对所求结果要进行检验，看是否符合题意。21．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于22．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为(1)cm，cm；(用含x的式子表示)(2)若的面积为，求x的值．23．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为．(1)当t为何值时，四边形的面积为？(2)当t为何值时，线段的长为？24．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？25．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，点B在射线上，过点B作射线，点C在射线上，且，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，与直线相交于点D，设点P的运动时间为，的面积为．(1)当点在射线上时，，求的值．(2)求出关于的函数关系式．(3)当点运动多少秒时，．【题型7图表信息题】满分技法解决图表信息题策略：1.仔细阅读题目，理解题目要求和所给图表的内容。2.提取关键信息并分析数据关系.分析不同数据之间的关联和差异，理解它们之间的因果关系或相关性。对于复杂的图表，可以尝试将数据转化为表格形式，以便更清晰地分析数据关系。3.构建数学模型.根据题目要求和所提取的信息，构建合适的数学模型或公式。使用数学模型进行计算或推理，得出题目的答案。26．（21-22八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．过关检测1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某城市美术馆今年1月份接待游客10万人，3月份接待游客12.1万人，则这两个月接待游客人数的月平均增长率为（

）．A． B． C． D．2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（

）A． B． C． D．3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售200辆，第一季度共销售该品牌电动自行车662辆，设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，则x满足的关系式是（

）A． B．C． D．4．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）电影《热辣滚烫》讲述了宅家多年的女孩杜乐莹（由贾玲饰演）在遇到拳击教练昊坤（由雷佳音饰演）后，如何克服生活挑战，重拾自我，开启全新人生的故事．2024年春节（2月10日）一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约4亿元，以后每月票房按相同的增长率增长，历时2个月，至4月10最后一天公映，累计票房收入达34.6亿元，若把平均每月的增长率记作，则方程正确的为（

）A． B．C． D．5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于（

）A． B． C． D．6．（23-24八年级下·安徽·期中）2021年“房住不炒”第三次出现在政府报告中，明确了要稳地价、稳房价、稳预期．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企业连续降价两次后的平均价格是降价之前的，则平均每次降价的百分率为．7．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，把一块长为，宽为的长方形硬纸板的四个角减去四个相同的小正方形，然后把硬纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为．

8．（22-23八年级下·安徽六安·期中）《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为元．9．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点O是矩形内一点，则点O到四个顶点的距离满足关系式，若点O在对角线，，．则．

10．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：按照这个规定，解决下列问题：（1）．（2）关于x的方程（其中）的解为．11．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）某水果店以20元/千克的价格新进-批水果，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数图像是一条线段，如图所示．(1)该水果店想在销售成本不超过1500元的情况下，使销售利润达到1400元，销售价格应定为多少元？(2)在（1）条件下，该水果店为了五一期间促销，经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完，求平均每次降价的百分比．12．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某电商在某短视频平台上直播带货，已知该电商销售的生活用品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商承诺直播间价格不高于110元件．根据之前的市场调研，商家发现当售价为110元件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．(1)当日销售量为30件时，该生活用品的售价为______元/件；(2)求出该生活用品日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数表达式；(3)若要尽可能多的让利于顾客，同时销售该生活用品每天获利1200元，则该生活用品每件售价应定为多少元？

专题03一元二次方程的实际应用知识点1：列方程解应用题的一般步骤1.简称：审、设、列、解、验、答.2.注意事项：第1步“审”一般不写出来,但它是最重要的一步，只有审清题意,明确已知量、未知量及它们之间的关系，才能准确地列出方程,第5步“验”一般只写出验根后的结果即可，过程不必详述，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不合题意的根舍去.知识点2：解决几何问题解决此类问题的关键是把实际问题抽象成几何问题，并根据条件列方程计算,注意检验解出的结果是否符合实际.知识点3：解决增长(降低)率问题解决此类问题有两个关键点:（1）增长(降低)率是不变的,每次都一样;（2）要注意增长(降低)次数，每次的增长(降低)基数是不同的，每一次的增长(降低)量也不同.知识点4：解决数字问题解决此类题的关键是厘清数量关系，若题目涉及多个数的和、差、倍、分等关系,可先设其中任意一个数为x，则其他数可用含x的代数式表示出来，再根据题目条件列方程求解.知识点5：解决销售问题解决此类问题的关键是熟练掌握等量关系:“每件利润－售价＝进价”“每件利润×销售量＝总利润”.知识点6：解决动点问题解决这类问题的关键是先设出未知数，再根据题意和图形表示出有关的量，最后由几何图形面积公式构造方程求解.题型归纳【题型1传播问题】满分技法传播问题要认真审题，找到题目的基准量和比较量，利用“基准量×（1±百分率）2=比较量”进行列方程求解.1．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键．设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．根据等量关系：经过两轮感染后就会有64台电脑被感染求解即可．【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，列方程得：，即．故选：C．2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意找出等量关系是解题关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据题意可列出关于x的方程，再求解即可．【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，依题意得：，解得：（不合题意，舍去），，∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8．故选：C．3．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了()A．12人 B．12人 C．13人 D．14人【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的应用；传染源为人，每次传播人，第一轮传播后，感染的人数一共为人，人则成为第二轮的传染源，因此第二轮感染的人数为人，根据两轮感染的总人数即可列出方程求解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，得，解得：或(舍去)，答：每轮传染中平均一个人传染了个人．故选：D．【题型2增长率问题】满分技法(1)平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为a,增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x)，两次增长后的值为a(1+x)2.依此类推,n次增长后的值为a(1+x)n(2)平均降低率是指降低数与基数的比.若基数为a,降低率为,则一次降低后的值为a(1-x),两次降低后的值为a(1-x)2.依此类推,n次降低后的值为a(1-x)n4．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）安徽省年人均是7.03万元，年人均是7.68万元．设人均年平均增长率是，根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用2023年人均年人均年平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得：．故选：．5．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）2024年春节档电影《热辣滚烫》的票房高开低走，正月初一票房约为4.23亿，因受到同期其他电影的影响，票房走低，正月初三票房约为亿，若每天票房的下降率相同，设为，则方程可以列为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【详解】解：每天票房的下降率相同，设为，根据题意得．故选：C．6．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）某市2023年的生产总值比2022年增长了，预计2024年比2023年增长．若这两年年平均增长率为x，则满足的关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了列一元二次方程，设2022年为元，再利用两种方式求出2024年建立方程即可得．【详解】设2022年为元，由题意得：，整理得：，故选：D．7．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）据初步统计，合肥园博园自2023年9月26日开园至12月26日，累计接待游客约632万人，第1个月接待游客约为105万人，如果每月比上月增长的百分数为相同的x，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设每月比上月增长的百分数为相同的x，则第2个月接待游客约为万人，第3个月接待游客约为万人，再根据3个月累计接待游客约632万人列出对应的方程即可．【详解】解：设每月比上月增长的百分数为相同的x，由题意得，，故选：C．8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某食品加工厂第一季度的销售额为万元，第三季度的销售额为万元，则该食品加工厂第二、三季度销售额的平均增长率为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．设第二、三季度销售额的平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．【详解】解：设第二、三季度销售额的平均增长率为，依题意得，，解得，或（舍去），∴第二、三季度销售额的平均增长率为，故答案为：．【题型3与图形有关的问题】满分技法图形问题要定位清晰未知数，并利用等量关系列方程并求出所求数值.9．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阿进同学有一块长，宽的长方形纸板，他想制作一个有盖的长方体盒子．为了合理使用材料，他设计了如图所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形．如果裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状相同），那么裁去的左侧正方形的边长是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可．【详解】解：设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为，由题意得，

整理得：，解得：(不合题意，舍去)

∴折成的有盖盒子，裁去左侧的正方形边长是，故选：D．10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地，该基地两边靠着一个直角围墙如图（围墙的长足够长），另两边和由总长为80米长的篱笆组成．(1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米，求的长；(2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．【答案】(1)的长为20米或60米(2)不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地，理由见解析【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，（1）设的长为米，则的长为米，依题意列出方程，解方程即可求解；（2）根据题意，列出方程，由方程解的情况即可得解；找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决此题的关键．【详解】（1）设的长为米，则的长为米，根据题意，得，整理，得，解得：，答：的长为20米或60米．（2）不能，理由如下：根据题意，得，整理，得，，该方程无实数根，不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地．11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践．(1)若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）；(2)求当为何值时，围成的菜地面积为平方米；(3)要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由．【答案】(1)(2)(3)不能，见解析【分析】本题考查了一元二次方程的应用．（1）根据各边之间的关系，可得出长为米；（2）根据围成的菜地面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可；（3）根据菜地面积若为平方米，即可得出关于的一元二次方程，利用根的判别式即可判断．【详解】（1）解：∵篱笆的总长为米，菜地的前端各设计了两个宽米的小门，且菜地的宽为米，∴长为米．故答案为：；（2）解：根据题意得：，整理得：，解得：，，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意；故当围成的菜地面积为平方米时，宽为米（3）解：不能围成面积为平方米的菜地，理由如下：依题意得：，整理得：，∵，∴该方程无实数根，即不能围成面积为平方米的菜地．12．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域的面积相等，设的长度为．

(1)______；(2)的长度为______m（用含有的代数式表示）；(3)当长方形区域的面积为时，求的长度．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设，根据题意，四边形，四边形，四边形都是矩形，得到，，根据题意，得到，，列式计算即可．（2）根据，计算即可；（3）根据题意，得，解方程计算即可．本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．【详解】（1）设，根据题意，得四边形，四边形，四边形都是矩形，设，，根据题意，得，，∴,∴,解得，故故答案为：．（2）根据(1),得，，，∴，∴，故答案为：．（3）根据题意，得，整理，得，解得，答：的长度为．13．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．

图1

图2(1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．(2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．【答案】(1)2cm(2)不能，详见解析【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖收纳盒的底面为长，宽为的长方形，根据该无盖收纳盒的底面积为，可列出关于的一元二次方程求解；（2）设剪去小长方形的宽为，则折成的有盖的长方体收纳盒的底面为长，宽为，根据盒子的底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出值，将其符合题意的值代入及中，可得出折成的有盖的长方体收纳盒的长、宽、高，再结合玩具机械狗的尺寸大小，即可得出玩具机械狗不能完全放入该收纳盒．【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，则该收纳盒的底面是长为，宽为的长方形，根据题意得，整理得：，解得（不合题意，舍去），答：剪去的小正方形的边长为．（2）（2）不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．理由如下：设剪去的小长方形的宽为，则该收纳盒的底面是长为，宽为，根据题意得，整理得，解得（不合题意，舍去），，折成的有盖的长方体收纳盒的长为，宽为，高为，，不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．【题型4数字问题】满分技法数字问题不算难，巧妙设元是关键正确而巧妙地设出未知数，一般采用如下的间接设元法:(1)三个连续整数的表示:一般设中间一个数是工,则其余两个数分别为x-1,x+1.(2)三个连续偶数或三个连续奇数的两种表示:①设中间偶(奇)数为x,则三个连续偶(奇)数可表示为x-2,x,x十2.②三个连续偶数可以表示为2x-2,2x，2x十2;三个连续奇数可以表示为2x-3,2x-1,2x+1.(3)两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a十b.(4)三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数可表示为100a十10b+c14．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是【答案】74【分析】设这个两位数的十位数字为a，个数数字为b，然后根据十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27列出方程求解即可．【详解】解：设这个两位数的十位数字为a，个数数字为b，由题意得，，整理得：，∴，即，解得或（舍去），∴，∴原来的两位数是74，故答案为：74．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．15．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）两个连续奇数的积为，若设其中较小的奇数为，则可列方程为，这两个数分别为．【答案】或【分析】设其中较小的奇数为，则较大的奇数为，根据题意，列方程为，解方程即可．【详解】设其中较小的奇数为，则较大的奇数为，根据题意，得，解得，当时，；当时，．故答案为：，或．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握连续奇数的特点是解题的关键．16．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数．【答案】原来的两位数是12或21【分析】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“新两位数与原来的两位数的乘积为252”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【详解】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，依题意得：，整理得：，解得：，，当时，，当时，，原来的两位数是12或21，答：原来的两位数是12或21．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键．【题型5营销问题】满分技法销售问题常用公式：(1)利润＝售价－进价，利润率＝；(2)打折后的价格=原价×打折数×；(3)单位利润×数量＝总利润，单位售价×数量＝总售价;(4)售价=进价×(1＋利润率);(5)总利润=每件利润×销售量=总收入－总支出.17．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件20元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每周的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．(1)求每周的销售量（件）与每件的售价（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）(2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的，该带货主播销售这种防护品每周的总利润要想达到3360元，那么每件的售价应定为多少元？【答案】(1)(2)当这种防护品每件的售价定为32元时，该主播每月的总利润可达到3360元．【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用：（1）由图象可知每月销售量(件)与售价(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为，用待定系数法求解即可；（2）由题意得关于x的一元二次方程，解一元二次方程可得答案．【详解】（1）解：由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为，将，代入，得，解得：，∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为；（2）解：根据题意得：，整理得，，解得，，∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的，∴，即，∴不合题意应舍去，∴．∴当这种防护品每件的售价定为32元时，该主播每月的总利润可达到3360元．18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量之间有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为万元，每多售出辆，所有售出的汽车进价每辆均降低万元，月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司，销售量在辆以内含辆，每辆返利万元；若当月销售量在辆以上，每辆返利万元．(1)若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为万元；(2)如果该公司把该品牌汽车的售价定为万元辆，并计划当月盈利万元，那么需要销售多少辆汽车？提示：盈利=销售利润+返利)【答案】(1)(2)辆【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元二次方程的应用；（1）利用每辆汽车的进价（月销售量），即可求出结论；（2）设需要销售辆汽车，则每辆的销售利润为（）万元，分及＞两种情况考虑，利用总利润每辆的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：根据题意得：万元，每辆汽车的进价为万元．故答案为：；（2）设需要销售辆汽车，则每辆的销售利润为万元．当时，，整理得：，解得：(不符合题意，舍去)；当时，，整理得：，解得：(不符合题意，舍去)，(不符合题意，舍去)．答：需要销售辆汽车．19．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）某商场销售某种冰箱，每台进货价为3000元，市场调研表明：当销售价为3500元/台时，平均每天能销售10台；而当销售价每降低20元时，平均每天就能多售出1台．该商场为了减少库存，让利于顾客，且想使这种冰箱的销售利润平均每天达到6000元，那么每台冰箱应降价多少元？【答案】每台冰箱应降价200元．【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每台冰箱应降价x元，根据销售价每降低20元时，平均每天就能多售出1台，销售利润平均每天达到6000元，列出方程进行求解即可．正确的列出方程，是解题的关键．【详解】解：设每台冰箱应降价x元，根据题意得：，解得，，∵商场为了减少库存，让利于顾客，，∴，答：每台冰箱应降价200元．20．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销售，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为(2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔月份及月份的月销售量，得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可；（2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据“月销售利润每个头盔的利润月销售量”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，由题意，得：，，，解得：，（不合题意，舍去），答：该品牌头盔销售量的月增长率为；（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得：，整理，得：，，或，解得：（为让市民得到实惠，舍去），，答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个．【题型6动态几何问题】满分技法解决动点问题的通用策略：动点问题是动态几何问题最常见的形式之一，解决动点问题要先分析出动点的运动特点，包括起始位置、终止位置、运动方向、运动轨迹、运动速度和运动时间，再结合具体的几何图形，运用相关知识列方程求解,注意对所求结果要进行检验，看是否符合题意。21．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于【答案】或【分析】本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．设出运动所求的时间，可将和的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出．【详解】解：设点P，Q运动的时间为，则，，则，的面积等于，，即，解方程得，，，经过或时，的面积等于．22．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为(1)cm，cm；(用含x的式子表示)(2)若的面积为，求x的值．【答案】(1)，(2)1或5【分析】（1）根据点，的运动速度及时间，即可用含的代数式表示出当运动时间为时，的长度；（2）根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，的长度；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，．故答案为：；．（2）解：依题意得：，即，整理得：，解得：，．答：的值为1或5．23．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为．(1)当t为何值时，四边形的面积为？(2)当t为何值时，线段的长为？【答案】(1)当t为5时，四边形的面积为(2)当t为或时．线段的长为【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确表示运动过程中的相关线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键；（1）先表示，．再利用面积公式列方程解题即可；（2）过点Q作于点M，则，表示．．再利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）解：当运动时间为时，，．由题意得，解得．答；当t为5时，四边形的面积为．（2）如图，过点Q作于点M，则，由题意知．．在中．由勾股定理得，即，解得，．经检验符合题意；答：当t为或时．线段的长为．24．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？【答案】2秒【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设经x秒时间使的面积等于，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解．【详解】解：设经x秒时间使的面积等于，根据题意得：，解得：(不符合题意，舍去)，答：经2秒时间使的面积等于．25．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，点B在射线上，过点B作射线，点C在射线上，且，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，与直线相交于点D，设点P的运动时间为，的面积为．(1)当点在射线上时，，求的值．(2)求出关于的函数关系式．(3)当点运动多少秒时，．【答案】(1)(2)(3)4秒、6秒或12秒【分析】本题考查了三角形面积公式和一元二次方程的应用，根据已知进行分类讨论是解题的关键；（1）由题在射线上时，秒，此时，，此时，然后根据三角形面积计算公式计算即可得解；（2）分、，两种情况，根据三角形的面积公式求出关于的函数关系式；（3）由即可列出等式，当秒时，则，当秒时，则，解答得到相应的值即可。【详解】（1）解：，，为直角三角形，，当点在射线上时，，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，，，，，，整理得：，解得：（舍去负值），；（2），点P、Q运动速度是，当秒时，P在线段上，此时，，，当秒时，P在射线上，此时，，．关于的函数关系式为：；（3），，为直角三角形，，，当秒时，，整理得：，解得，．当秒时，，整理得：，解得，(不合题意，舍去)，∴经过4秒、6秒或12秒时，．【题型7图表信息题】满分技法解决图表信息题策略：1.仔细阅读题目，理解题目要求和所给图表的内容。2.提取关键信息并分析数据关系.分析不同数据之间的关联和差异，理解它们之间的因果关系或相关性。对于复杂的图表，可以尝试将数据转化为表格形式，以便更清晰地分析数据关系。3.构建数学模型.根据题目要求和所提取的信息，构建合适的数学模型或公式。使用数学模型进行计算或推理，得出题目的答案。26．（21-22八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．【答案】(1)；(2)9．【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案；（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为故答案为：（2）设四个数中，最小数为，根据题意，得.解得（不符合题意负值舍去）答：这个最小值为9.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．过关检测1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某城市美术馆今年1月份接待游客10万人，3月份接待游客12.1万人，则这两个月接待游客人数的月平均增长率为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x，根据题意得：，解得：（舍去），答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为．故选：C2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意列得方程是解题的关键．设教育经费的年平均增长率为x，则2023年投入亿元，2024年投入亿元，由此得到方程．【详解】解：根据题意，得，故选：A．3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售200辆，第一季度共销售该品牌电动自行车662辆，设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，则x满足的关系式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据该品牌电动自行车1月份销售200辆，第一季度共销售该品牌电动自行车662辆，列出方程即可．【详解】解：设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，由题意，得：；故选B．4．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）电影《热辣滚烫》讲述了宅家多年的女孩杜乐莹（由贾玲饰演）在遇到拳击教练昊坤（由雷佳音饰演）后，如何克服生活挑战，重拾自我，开启全新人生的故事．2024年春节（2月10日）一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约4亿元，以后每月票房按相同的增长率增长，历时2个月，至4月10最后一天公映，累计票房收入达34.6亿元，若把平均每月的增长率记作，则方程正确的为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设平均每天票房的增长率为，根据一元二次方程增长率问题，列出方程即可求解．【详解】解：设平均每天票房的增长率为，根据题意得：，故选：D．5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题设条件，由，得到，整理后得到关于最佳乐观系数的方程，求解即可．解题的关键是正解理解题意并掌握一元二次方程的解法．【详解】解：∵，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，解得：或，∵，∴．故选：D．6．（23-24八年级下·安徽·期中）2021年“房住不炒”第三次出现在政府报告中，明确了要稳地价、稳房价、稳预期．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企业连续降价两次后的平均价格是降价之前的，则平均每次降价的百分率为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设平均每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的价格=原价平均每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设平均每次降价的百分率为，依题意得：，解得：(不合题意，舍去)．故答案为：．7．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，把一块长为，宽为的长方形硬纸板的四个角减去四个相同的小正方形，然后把硬纸板的四边沿虚线折起，并用胶